江苏省无锡市辅仁中学 2023-2024学年九年级上学期第一次月考卷数学试题

这是一份江苏省无锡市辅仁中学 2023-2024学年九年级上学期第一次月考卷数学试题，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，根据一元二次方程的定义逐个判断即可，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
【详解】解：A、，化简后得，是一元一次方程，故选项不符合题意；
B、，当，不是一元二次方程，故选项不符合题意；
C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意；
D、，化简后得，是一元二次方程，故选项符合题意；
故选：D．
2. 下列命题：①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；②相等的弧所对的圆周角相等；③经过圆内任意一点可以作一条直径；④弧分为优弧和劣弧，其中真命题的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查判断命题真假，圆周角定理，直径定义，弧定义．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故①正确；
∵在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，故②错误；
∵经过圆上任意一点作直径可分为两种情况，一是过圆心点可以作无数条直径，二是过非圆心点只能作一条直径，故③错误；
∵弧分为优弧和劣弧还有半圆，故④错误，
故选：A．您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 性价比最高 3. 点为半径为的上一点，若，则点与的位置关系为（ ）
A. 在⊙O外B. 在⊙O上C. 在⊙O内D. 都有可能
【答案】D
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】∵PQ=OP，OQ的大小不能确定，
∴点Q与⊙O的位置关系不能确定．
故选D．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键
4. 如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC=（ ）
A. 35° B. 55° C. 70° D. 110°
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=900，由内角和定理求得∠B=550,根据同弧所对的圆周角相等可得∠ADC=550.故选B.
考点：1、直径所对的圆周角是直角.2、同弧所对的圆周角相等.
5. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是
A. 50（1+x2）=196B. 50+50（1+x2）=196
C. 50+50（1+x）+50（1+x）2=196D. 50+50（1+x）+50（1+2x）=196
【答案】C
【解析】
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量增长前的量增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么可以用分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【详解】解：依题意得八、九月份的产量为、，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，解题关键是掌握一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．
6. 半径为2的圆中，弦的长分别2和，则的度数是（ ）
A. B. 或C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形，根据题意画出图形，作出辅助线，分类讨论：两弦在圆心的异侧时，当两弦在圆心的同侧时，进而可求解，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：①如图1，当两弦在圆心的异侧时，
过O作于点D，于点E，连接，
，，
，，
，
，，
，，
；
②如图2，当两弦在圆心的同侧时，同①可知，，
，．
．
故选D．
7. 如图，是半圆直径，半径于点O，平分交弧于点D，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】①根据题意得，则有，结合角平分线得，即可得到，则①正确；②过点E作，由角平分线的性质得，在中，，则，故②错误；③结合，，且，则③错误；④作，由角平分线的性质得，求得，进一步求得，故④正确．
【详解】解：①∵是半圆直径，
∴，
∴，
∵平分交弧于点D，
∴，
∴，
则，故①正确；
②过点E作，如图，
∵，平分交弧于点D，
∴，
在中，，则，故②错误；
③在和中，，，
∵，
∴，故③错误；
④作，如图，
∵平分交弧于点D，
∴，
∴，
∵是半圆直径，
∴，
∴，，
∴，
∴，故④正确．
综上所述，只有①④正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆的性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质和圆周角定理，解题的关键是作辅助线并熟悉等腰三角形的性质和圆周角定理．
8. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为( )
A. 100°B. 110°C. 115°D. 120°
【答案】B
【解析】
【分析】连接AD，BD，由圆周角定理可得∠ABD＝20°，∠ADB＝90°，从而可求得∠BAD＝70°，再由圆的内接四边形对角互补得到∠BCD=110°.
【详解】如下图，连接AD，BD，
∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ABD=∠AED＝20°，
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°-20°=70°，
∴∠BCD=180°-70°=110°.
故选B
【点睛】本题考查圆中的角度计算，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是关键.
9. 如图，E是的直径上一点，，，过点E作弦，P是弧上一动点，连接，过点A作，垂足为Q，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．
先根据圆周角定理判断点Q在以为直径的圆上，连接并延长交于点，当Q与重合时，最小，最小值为，然后根据勾股定理求解相关线段长即可，确定Q的运动轨迹是解答的关键．
【详解】解：如图：连接、，
∵，
∴，
∴点Q在以为直径的圆上，以为直径作，
如图:连接并延长交于点，当Q与重合时，最小，最小值为，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，即的最小值为．
故选：A．
10. 已知在扇形中，，，C为弧的中点，D为半径上一动点，点B关于直线的对称点为M，若点M落在扇形内（不含边界），则长的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，延长，使，连接交于点M，连接，过点C作，交于点E，交于点D，连接，，此时是点D在左边的边界点，求出的长；过点C作于点D，连接，此时点M在上，点D为右边的边界点，求出的长即可得出答案．
【详解】解：连接，延长，使，连接交于点M，连接，过点C作，交于点E，交于点D，连接，，如图所示：
∵C为弧的中点，，
∴，
∵，
∴点F在上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与关于对称，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
即当点D运动到此位置时，点M恰好在扇形的边界上，当点D继续向右运动时，点M在扇形内部；
过点C作于点D，连接，此时点M在上，当点D继续向右运动时，点M在扇形外部，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
即，
解得：，
∴长的取值范围是，故A正确；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，三角形外角的性质，解题的关键是找出边界点的位置，求出相应的长度．
二、填空题：
11. 方程的解是______．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种解法是解题的关键．
先移项、然后再运用因式分解解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
，
，
，．
故答案为：，．
12. 已知为内一点，，如果的半径是，那么过点的最短弦长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，熟练掌握“垂直于弦的直径平分这条弦”是解题的关键．
过作，交于，连接，根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方可求得的值，根据垂直于弦的直径平分这条弦，即可求解．
【详解】解：过作，交于，连接；如图：
在中，，，
∴，
故．
故答案为：．
13. 已知正方形的周长为8，那么该正方形的外接圆的半径长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查是正多边形与圆，正确的作出直角三角形并利用特殊的直角三角形求解是解题的关键．
先根据正方形的性质求出边长，再根据正弦的定义计算即可解答．
【详解】解：∵正方形的周长为8，
∴边长，
∵四边形是正方形，
∴，,
∴．
故答案为．
14. 圆内接四边形的内角，则________度．
【答案】
【解析】
【分析】设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=4x，根据圆内解四边形的性质得∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，则2x+4x=180°，解得x=30°，然后计算出∠B后利用互补求∠D的度数．
【详解】解：设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=4x．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，
∴2x+4x=180°，
解得：x=30°，
∴∠D=180°﹣3x=180°﹣90°=90°．
故答案为90．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了方程的思想的运用．
15. 在半径为13的中，弦，弦和间的距离为7，若，则的长为_____________．
【答案】10或
【解析】
【分析】本题考查的是垂径定理和勾股定理，根据题意画出图形，由于与的位置不能确定，故分与在圆心O的同侧和与在圆心O的异侧两种情况进行讨论，然后利用垂径定理和勾股定理求解即可．在解答此类题目时要注意进行分类讨论，不要漏解．
【详解】解：当与在圆心O的同侧时，如图1所示：
过点O作于点F，交于点E，连接，．
∵，，
∴，
∴．
在中，，
∴．
在中，，
∴；
当与在圆心O的异侧时，如图2所示：
过点O作于点F，反向延长交于点E，连接，．
∵，，
∴，
∴．
在中，，
∴．
在中，，
∴．
综上所述，的长为10或
故答案为：10或．
16. 如图，为的直径，点E是延长线上的一点，交于点D、C，，，则的度数为______．

【答案】
【解析】
【分析】连接,则,设,利用三角形的外角和圆内接四边形的性质解题即可．
【详解】如图所示：

连接,
∵是的直径,
∴,
设,
∵
∴
∵四边形内接于,
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查直径所对的圆周角是直角，以及圆内接四边形的性质和三角形的外角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
17. 如图，正方形的边长为2，将长为2的线段的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动，如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按滑动到A止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按滑动到B止，在这个过程中，线段的中点M所经过的路径长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要是考查了正方形的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式是解题的关键．
如图：根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点M到正方形各顶点的距离都为1，故点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个圆弧，点M所经过的路线为半径为1圆的周长，求出即可．
【详解】解：连接，
当Q在A、B之间运动时，及B点形成直角三角形，
∵M为中点，
∴总有，
∴M点的运动轨迹是以点B为圆心的四分之一圆．
同理，当Q在B、C之间运动时，M点的运动轨迹是以点C为圆心的四分之一圆，
∴点M经过的路线为半径圆的周长，即为．
故答案为：．
18. 如图，已知矩形中，，，点E在边上，点F为的中点，将绕点E逆时针旋转得，当______时，点A、C、G三点共线．
【答案】
【解析】
【分析】如图：连接．过点B作于T，连接．过点E作于H．利用勾股定理面积法求出，证明，推出，推出，设,则,再求出，构建方程求出x即可解答．
【详解】解：连接．过点B作于T，连接．过点E作于H．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
,
∴
∵，
∴B，T，E，G四点共圆，
∴，
∴，
设,则
∵，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查旋转变换、矩形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识点，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键．
三、解答题
19. 解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），
（2），
（3）
（4），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，
（1）直接运用解一元二次方程求解即可；
（2）运用公式法解一元二次方程求解即可；
（3）运用公式法解一元二次方程求解即可；
（4）直接运用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
．
【小问2详解】
解：，
∵，
∴，
∴，
∴，．
【小问3详解】
解：，
，
，
．
【小问4详解】
解：，
，
，
，
，．
20. 已知一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时m的值．
【答案】（1）且
（2）0或
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程的解、根的判别式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
（1）根据根判别式以及一元二次方程的定义列不等式组求解即可；
（2）先根据题意得出，然后代入解方程得出，，然后分相同的根为1和3两种情况求m的值即可．
【小问1详解】
解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴解得：且．
【小问2详解】
解：∵且，k是符合条件的最大整数，
∴，
∴，解得，．
当相同的根为1时，有，解得；
当相同的根为3时，有，解得．
故m的值为0或．
21. （1）如图1，是的直径、C、D是上的两点，若，弧弧．
求：①的度数；
②求的度数；
（2）如图2，的弦垂直平分半径，若的半径为4，求弦的长．
【答案】（1）①； ；（2）
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）①根据圆周角定理得到，可得，根据圆内接四边形的性质即可求出；②根据得到，利用等腰三角形的性质计算即可；
（2）连接，根据弦垂直平分半径，可求出的长，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论．
【详解】解：（1）①∵是直径，
∴，
∵，
∴．
∵四边形是的圆内接四边形，
∴，
∴，
②∵，
∴，
∴；
（2）连接，
∵弦垂直平分半径，，
∴．
∵，即，
解得，
∴．
22. （1）如图①，用尺规作图作出圆的一条直径EF（不写作法,保留作图痕迹）；
（2）如图②，A、B、C、D为圆上四点，AB∥CD，AB＜CD，请只用无刻度的直尺，画出圆的一条直径EF（不写画法，保留画图痕迹）．
【答案】见解析
【解析】
【详解】试题分析：根据垂径定理，作出一条弦长的中垂线得出答案；连接AC，BD，根据中垂线的性质得出答案．
试题解析：
考点：垂径定理
23. 如图，某地欲搭建圆弧形拱桥，设计要求跨度米，拱高米．

（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥一端点B的4米处欲立一桥墩支撑，求桥墩高度．
【答案】（1）米
（2）
【解析】
【分析】（1）设该圆弧所在圆的半径为r，圆心为O，连接，求出，，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；
（2）如图所示，连接，过作交延长线于Q，求出，由（1）得，证明四边形是矩形，得到，在中，由勾股定理得，则．
【小问1详解】
解：设该圆弧所在圆的半径为r，圆心为O，连接，
由题意得，三点共线，且
∵，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴该圆弧所在圆的半径为米；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，过作交延长线于Q，
由题意可得，，
∴，
由（1）得，
∵
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴桥墩高度为．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24. 某厂家授权一淘宝卖家销售该厂生产的儿童写字台，双方就每套写字台的进价与销售达成如下协议：若当月仅售出1套写字台，则写字台的进价为800元/套，在此基础上，每多售出1套，进价就降低10元/套（即售出2套时、进价为790元/套，依此类推）但每套进价不低于500元．月底厂家将一次性返利付给淘宝实家，当月所售写字台可返利50元/套．
（1）若该淘宝卖家当月售出5套，则每套写字台的进价为______元，若该淘宝卖家当月售出35套，则每套写字台的进价为______元；
（2）如果写字台的销售价为1200元，该卖家计划当月盈利9600元，那么要卖出多少套写字台?（盈利=销售利润+返利）
【答案】（1）760；500
（2）要卖出16套写字台
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式、不等式的应用等知识点，审清题意、明确数量关系，列出代数式以及掌握分类讨论思想是解题的关键．
（1）根据“”列代数式求值即可；
（2）设要卖出x套写字台，则每套写字台的销售利润为元，分及两种情况分别求解，然后再比较即可解答．
【小问1详解】
解：该淘宝卖家当月售出5套，则每套写字台的进价为：（元）；
由，则当月售出35套，则每套写字台的进价为500元．
【小问2详解】
解： 设要卖出x套写字台．
由题意可得：每套写字台的进价为：
．
①当时，
每套写字台的销售利润为元
根据题意得：，
整理得：，解得：（舍去），；
②当时，根据题意得：，解得（舍去）．
答：要卖出16套写字台．
25. 如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明，利用平行线证明，利用圆的性质证明，再证明即可得到结论；
（2）如图，连接，利用平行线的性质及圆的基本性质，再利用圆内接四边形的性质证明，从而可得结论．
【详解】证明：（1），
，
，
，
又,


四边形是平行四边形．
（2）如图，连接
，
四边形是的内接四边形
【点睛】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
26. 如图1、在直角坐标系中，，，P是y轴的正半轴上一动点，
（1）C是直线上一动点，连接，若点C在第二象限，且为等腰直角三角形，求出所有满足条件的点C的坐标；
（2）如图2，作点O关于直线的对称点Q，连接，过直线AB上一点D作x轴的平行线，交y轴于点E，已知点D的横坐标为
①连接，的最小值为______．
②当点Q落在直线上时，求的面积．
【答案】（1）点C的坐标为或
（2）①；②的面积为或25
【解析】
【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析、一次函数与几何的综合、等腰三角形的判定等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
（1）先求得直线的函数表达式为，再说明为等腰直角三角形，然后分和两种情况解答即可；
（2）①根据轴对称的性质即可解答；②先求得，再运用勾股定理可得，然后分点P在点B的下方和上方两种情况解答即可．
【小问1详解】
解：设直线的函数表达式为：，则，解得：，
∴直线的函数表达式为：；
∵P是y轴的正半轴上一动点，
∴，
∴为等腰直角三角形，只有或，
如图1所示：
图1
当时，
设，直线的函数表达式为：，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，解得：，（不合题意舍去），
∴，
当时，C点正好是当时，的中点，
∴，即，
∴满足条件的点C的坐标为或．
【小问2详解】
解：①∵作点O关于直线的对称点Q，Q的轨迹为以A为圆心为半径的圆弧，
∴当Q在上时，值最小，；
②当点Q落在直线上时，
∵D点的横坐标为，
∴纵坐标为：，即,
过点Q作于，连接，交于点M，则，
∴，
当点P在点B的下方时，如图2所示：，
图2
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即：，解得：，
∴；
当点P在点B的上方时，如图3所示：，
图3
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即：，解得：，
∴，
∴当点Q落在直线上时，的面积为或25．
27. 图，在ABC中，，AC=3，AB=4，ADBC于点D，射线CE平行AB交AD的延长线于点E，P是射线CE上一点（在点E的右侧），连结AP交BC于点F．
（1）求证：．
（2）若，求的值；
（3）以PF为直径的圆经过△BDE中的某一个顶点时，求所有满足条件的EP的长．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
（3）或4或0
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质得到，再根据，得到，得到，即可得解；
（2）根据相似三角形得到，根据已知条件求得，，，再证明，即可得解；
（3）设，则，设以PF为直径的圆的圆心为O，分三种情况进行讨论：当经过点E时，当经过点B时，当经过点D时计算即可得解；
【小问1详解】
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵AC=3，AB=4，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，即的值为；
【小问3详解】
，
∴，
∵AC=3，AB=4，
∴，
∴，
设以PF为直径的圆的圆心为O，
∵以PF为直径的圆经过中的某一个顶点。
∴分三种情况讨论：
当经过点E时，连接EF，
∵PF为的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当经过点B时，连接BP，
∵，AC=3，AB=4，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵PF为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当经过点D时，
此时，点P与点E重合，点D与点F重合，则；
综上所述，的长为或4或0．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，准确计算是解题的关键．