浙江省温州市苍南县六校联考2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题

这是一份浙江省温州市苍南县六校联考2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得，，那么点A与点B之间的距离可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可以确定的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】解：∵中，，，
∴，
∴，
故点A与点B之间的距离可能是．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形三边关系，解题的关键是明确三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
2. 下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高B．不轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
3. 若不等式﹣3x＜1，两边同时除以﹣3，得（ ）
A. x＞﹣B. x＜﹣C. x＞D. x＜
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意直接利用不等式的性质进行计算即可得出答案．
【详解】解：不等式﹣3x＜1，两边同时除以﹣3，得x＞﹣．
故选：A．
【点睛】本题主要考查不等式的基本性质．解不等式依据不等式的性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．特别是在系数化为1这一个过程中要注意不等号的方向的变化．
4. 将一副三角尺按如图的方式摆放，其中l1∥l2，则∠α的度数是( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 70°
【答案】C
【解析】
【分析】先由两直线平行内错角相等，得到∠A=30°，再由直角三角形两锐角互余即可得到∠α的度数．
【详解】解：如图所示，
∵l1∥l2，
∴∠A=∠ABC=30°，
又∵∠CBD=90°，
∴∠α=90°﹣30°=60°，
故选C．
【点睛】此题考查了平行线的性质和直角三角形的性质.注意：两直线平行，内错角相等．
5. 如图，， ，要使，需添加一个条件，下列所给的条件及相应的判定定理不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用全等三角形的判定方法分别进行分析即可．
【详解】解：∵∠A=∠D=90°，
∴△ABC和△DFE都是直角三角形，
A、添加条件AB=DF能用(SAS)判定△ABC≌△DFE，正确，不符合题意；
B、添加条件∠B=∠F能用(AAS)判定△ABC≌△DFE，正确，不符合题意；
C、添加条件BC=FE能用(HL)判定△ABC≌△DFE，故原题说法错误，符合题意；
D、添加条件∠ACB=∠DEF能用(ASA)判定△ABC≌△DFE，正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6. 给出下列命题：①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何一外角等于两内角之和；③两边和一角对应相等的两个三角形全等，下列属于真命题的是（ ）
A. ①③B. ②③C. ①②D. ①
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用三角形的三边关系、外角的性质、全等三角形的判定方法等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①三角形任何两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；
②三角形任何一外角等于不相邻的两内角之和，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③两边和夹角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
真命题有①，
故选：D．
7. 如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了轴对称的性质：轴对称两个图形的对应边相等，对应角相等，熟记性质是解题的关键．
【详解】解：∵与关于直线对称，交MN于点O，
∴，，，但不一定正确，
故选：D．
8. 如图，．若和分别垂直平分和，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．由，可求得的度数，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而求得的度数，则可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵和分别垂直平分和，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
9. 已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点D，以O为圆心，长为半径画弧，交于点C，连接．②以D为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接．则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角性质，由作图步骤①，可知，利用等边对等角，可得出，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，由作图步骤②，可知，利用等边对等角，可求出的度数，由是的外角，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数，根据作图的步骤，找出是解题的关键．
【详解】由作图步骤①可知：，
∴．
在中，，
∴．
由作图步骤②可知：，
∴．
∵是的外角，
∴，
∴．
故选：B．
10. 如图，在四边形中，，，．为中点，交于点，于点，交于点，的延长线交于点．若，则下列结论正确的
①；
②；
③若，则四边形的面积为25；
④．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识．先根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质推导出，，，即可证明，得，可判断①正确；由，，，可证明，得，则，所以，可判断②正确，由，可判断③错误；连接，设，由，可推导出，，则，得，所以，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【详解】解：，，
，
∵，
，
为中点，
，，
，，
，
，
，，
，
，，故①正确；
于点，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
，
，
，
，故③错误；
连接，设，
，
，
，
，，
，
，
，
，故④错误，
故选：B．
二、填空题（每题3分，共24分）
11. 如图，若∠α＝38°，根据尺规作图的痕迹，则∠AOB的度数为 ______．
【答案】76°
【解析】
【分析】由尺规作图的作法得到∠AOB=2∠α，代入数据即可得到答案．
【详解】解：由尺规作图可知，∠AOB=2∠α，
∵∠α=38°，
∴∠AOB=76°，
故答案：76°．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解题的关键．
12. 在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，则点D到的距离是 _____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质．
作于点M，由作图知平分且，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出．
【详解】解：如图所示，过点D作于点M，
由作图知平分，且，
∴，
故答案为：3．
13. 按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是_____；使代数式的值小于20的最大整数x是__________．
【答案】 ①. 1 ②. 7
【解析】
【分析】当时，代数式的值，根据1＜20，可确定输出的值为1，列不等式，求解即可得答案．
【详解】解：当时，，
∵，
∴当时，输出的值为1，
，
移项合并得，
系数化1得，
∴x最大整数=7．
故1；7．
【点睛】本题考查流程图与代数式求值，列不等式，不等式的最大整数解，掌握代数式求值，列不等式是解题关键．
14. 如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是 _______．
【答案】17
【解析】
【详解】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理；
连接，先由勾股定理求得的长，再根据线段垂直平分线的性质得到，则，然后根据（当且仅当A、P、C共线时取等号）求出的最小值为的长，所以周长的最小值为．
【分析】解：连接，如图，
在中，，，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵（当且仅当A、P、C共线时取等号），
∴的最小值为的长，
∴周长的最小值．
故答案为：17．
15. 直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，则直角三角形的面积为________．
【答案】##6平方厘米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，根据周长列出关于另外两直角边的关系，再利用勾股定理列出另一关系，联立即可解得两直角边之积，再进行面积的计算．
【详解】解：设另外两直角边分别为，．
则 ①
②
①②得：，
，
直角三角形的面积；
故答案为：．
16. 如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，则的度数__度，再沿折叠成图．则图中的的度数是度______．
【答案】 ①. 140° ②. 120°
【解析】
【分析】根据平行线的性质得，∠EFB=∠DEF，从而求出∠GFC的度数，进而求解求解．
【详解】∵AD∥BC，
∴∠EFG=∠DEF=20°，
∴在图b中，∠GFC=180°-2∠EFG=140°，=180°-2∠DEF=140°
∴∠GFE=∠GFC-∠EFB=140°-20°=120°．
故答案是：140°；120°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质以及折叠的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”，是解题的关键．
17. 在中，．现将按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理可求，由折叠的性质可得，根据勾股定理可求的长，的长．
【详解】解：∵，
∴，
∵将按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
18. 如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC'与AB交于点E，连接AC'，若AD＝AC'＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM=1，C'M=DM=，BM=2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长，则可得出答案．
【详解】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，
∵AD=AC′=2，D是AC边上的中点，
∴DC=AD=2，
由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，
∴DC=DC'=2，BC=BC'，CM=C'M，
∴AD=AC′=DC'=2，
∴△ADC'为等边三角形，
∴∠ADC'=∠AC'D=∠C'AC=60°，
∵DC=DC'，
∴∠DCC'=∠DC'C=×60°=30°，
在Rt△C'DM中，∠DC'C=30°，DC'=2，
∴DM=1，C'M=DM=，
∴BM=BD-DM=3-1=2，
在Rt△BMC'中，
BC'=，
∵S△BDC'=BC'•DH=BD•CM，
∴，
∴DH=，
∵∠DBC=∠DBC'，
∴点D到BC的距离为．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形翻折问题和解直角三角形以及勾股定理等，解题的关键是掌握相关性质并通过面积法求线段的长度．
三、解答题（共46分）
19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列问题（仅用无刻度的直尺作图，且保留必要的作图痕迹）：
（1）在上找一点D，使；
（2）在上找一点E，使平分．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）取格点T，连接交于点D，构建，得到，点D即为所求；
（2）取格点P，连接，得到，取的中点Q，连接交于点E，利用等腰三角形的性质得到平分，则点E即为所求．
【小问1详解】
解：如图，点D即为所求；
【小问2详解】
解：如图，点E即为所求．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的高，角平分线等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
20. 莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，2021年5月莆仙戏《踏伞行》获评为“2020年度国家舞台艺术精品创作扶持工程重点扶持剧目”．该剧中“油纸伞”无疑是最重要的道具，依伞设戏，情节新颖，结构巧妙，谱写了一曲美轮美奂、诗意盎然的传统戏曲乐歌．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈D沿着伞柄滑动时，总有伞骨，，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为什么？
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用SSS证明，即可得到，由此证得结论．
【详解】证明：∵在和中，
，
∴，
∴，
即AP平分．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
21. 已知：如图，点B，E，F，C在同一条直线上，，，．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
（1）由，两边加上，得到，利用即可得证．
（2）根据全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质和三角形内角和定理解答即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，则,
∵，
∴，
∴．
22. 如图，是的高，是的角平分线，是中点，，．
（1）求的度数；
（2）若与的周长差为3，，能否求出的值？若能，请写出理由和结果；若不能，请你补充条件并解答．
【答案】（1）
（2）能，，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高．
（1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算即可；
（2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【小问1详解】
解：是的高，
，
，
，
是的角平分线，，
，
；
小问2详解】
解：能，，理由如下：
是中点，
，
与的周长差为3，
，
，
，
，
23. 如图，在等边三角形中，D是上的一点，E是延长线上一点，连接、，已知．
（1）求证：是等腰三角形．
（2）当，时，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质．
（1）根据等边三角形的性质，即可证明结论；
（2）设，则，得，根据三角形内角和定理可得，过D作于H，根据等腰直角三角形的性质即可得的长，进而可得结论．
【小问1详解】
证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
【小问2详解】
解：设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，过D作于H，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
24. 问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

【答案】问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：仍然成立，理由见解析；实际应用：此时两舰艇之间距离为320海里
【解析】
【分析】问题背景：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，得到△AEF≌△AGF，证明EF=FG，得到答案；
探索延伸：连接EF，延长AE，BF相交于点C，利用全等三角形的性质证明EF=AE+FB．
实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，首先证明，∠FOE=∠AOB，利用结论EF=AE+BF求解即可．
【详解】解：问题背景：由题意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，
∴BE=DG，EF=GF，
∴EF=FG=DF+DG=BE+FD．
故答案为：EF=BE+FD．
探索延伸：EF=BE+FD仍然成立．
理由：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADG，
又∵AB=AD，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
又∵∠EAF=∠BAD，
∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=∠BAD﹣∠EAF，
=∠BAD﹣∠BAD=∠BAD，
∴∠EAF=∠GAF．
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=FG，
又∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+FD．
实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，

在四边形AOBC中，
∵∠AOB=30°+90°+20°=140°，∠FOE=70°=∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=60°+120°=180°，符合探索延伸中的条件，
∴结论EF=AE+FB成立．
即，EF=AE+FB=2×(70+90)=320(海里)
答：此时两舰艇之间的距离为320海里．
【点睛】本题考查的是四边形知识的综合运用，掌握三角形全等的判定和性质、理解方位角的概念是解题的关键，注意规律的总结和运用．