江西省九江市同文中学多校联考2024届高三下学期3月月考数学试题

这是一份江西省九江市同文中学多校联考2024届高三下学期3月月考数学试题，共12页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知数列为等比数列，，，则，已知抛物线C，若，，，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集为R，集合，则
A．B．C．D．
2．已知a为实数，复数为纯虚数，则
A．－1B．1C．－2D．2
3．下列函数图象的对称轴方程为，的是
A．B．
C．D．
4．设，为两个平面，下列条件中，不是“与平行”的充要条件的是
A．内有无数条直线与平行B．，垂直于同一条直线
C．，平行于同一个平面D．内有两条相交直线都与平行
5．已知数列为等比数列，，，则
A．B．C．2D．
6．已知抛物线C：的焦点为F，其准线与x轴交于点M，N为C上一点，且，
A．B．C．D．
7．已知3名男同学、2名女同学和1名老师站成一排，女同学不相邻，老师不站两端，则不同的排法共有
A．336种B．284种C．264种D．186种
8．若，，，则
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某厂近几年陆续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间x（单位：年）与当年所需要支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计资料：
根据表中的数据可得到经验回归方程为，则
A．
B．y与x的样本相关系数
C．表中维修费用的第60百分位数为6
D．该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元
10．已知函数有3个不同的零点，，，且，则
A．B．的解集为
C．是曲线的切线D．点是曲线的对称中心
11．已知a，b，，关于x的不等式的解集为，则
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知圆O为圆锥PO的底面圆，等边三角形ABC内接于圆O，若圆锥PO的体积为，则三棱锥的体积为________．
13．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和．大衍数列从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…．记大衍数列的通项公式为若，则数列的前30项和为________．
14．已知M是椭圆上一点，线段AB是圆C：的一条动弦，且，则的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求b；
（2）D为边AC上的一点，，，，求BD的长度和的大小．
16．（15分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，，为等边三角形．
（1）证明：平面PCD．
（2）若为等边三角形，求平面PBD与平面PAD夹角的余弦值．
17．（15分）
某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前200名的顾客，均可获得3次抽奖机会．每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响．中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金．
（1）已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率．
（2）已知该商场开业促销活动的经费为4.5万元，问该活动是否会超过预算？请说明理由．
18．（17分）
已知双曲线M：与双曲线N：的渐近线相同，且M经过点，N的焦距为4．
（1）求M和N的方程；
（2）如图，过点的直线l（斜率大于0）与双曲线M和N的左、右两支依次相交于点A，B，C，D，若，求直线l的方程．
19．（17分）
已知函数．
（1）讨论的单调性．
（2）证明：当时，．
（3）证明：．
高三数学考试参考答案
1．D【解析】本题考查集合的补集运算，考查逻辑推理的核心素养．
依题意得，则．
2．C【解析】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力．
，所以．
3．B【解析】本题考查三角函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力．
由题可知，所求函数的周期为，故，排除C，D．对于A选项，，不符合题意，对于B选项，，符合题意．故选B．
4．A【解析】本题考查面面平行，考查逻辑推理的核心素养．
对于A，内有无数条直线与平行，可得与相交或．其他选项等价于平面与平面平行．
5．C【解析】本题考查等比数列，考查运算求解能力．
，解得．
因为，且，，同号，所以，所以．
6．A【解析】本题考查抛物线，考查数形结合的数学思想．
如图，过N分别作准线和x轴的垂线，与准线交于点P，与x轴交于点Q，则，，所以．
7．A【解析】本题考查排列组合，考查逻辑推理的核心素养．
女同学不相邻的排法有种；女同学不相邻，老师站两端的排法有种．故所求的不同排法有种．
8．D【解析】本题考查指数函数值的大小比较，考查逻辑推理的核心素养．
，故．设，则，
当时，，，故，则．
若，则，从而，从而．
9．ABC【解析】本题考查经验回归方程，考查数据分析的核心素养．
由题可知，，．
因为，且，所以表中维修费用的第60百分位数为6．经验回归方程只是估计值，不是确定值．故选ABC．
10．AC【解析】本题考查函数的性质，考查逻辑推理的核心素养．
设，则常数项为．因为，所以，解得，把代入，得，解得，所以A正确．，解得或，所以B错误．令，解得或，当切点为时，切线方程为，故C正确．因为，，所以点不是曲线的对称中心，故D错误．故选AC．
11．BCD【解析】本题考查函数的性质以及不等式的应用，考查逻辑推理的核心素养．
由，可得，因为关于x的不等式的解集为，所以，，，所以，，，则，故A错误，B正确．令，，，
则，令，则，，且．
因为，，
所以，故，
可得．
又因为在上单调递增，且，，
所以，即，
所以，故C，D正确．故选BCD．
12．【解析】本题考查圆锥的体积，考查空间想象能力．
设圆锥PO的高为h，圆O的半径为r，所以，即．等边三角形ABC的边长为，所以．
13．240【解析】本题考查数列求和，考查逻辑推理的核心素养．
因为，所以数列的前30项和为．
14．70【解析】本题考查椭圆与圆的应用，考查逻辑推理的核心素养．
设D为弦AB的中点，由，，所以点D的轨迹方程为，即圆心为，半径为，所以．设，则，所以的最大值为．故的最大值为70．
15．解：（1）设外接圆的半径为R，
由及正弦定理，得，
则，即，
则．
（2）由，可知，．
在中，，，
在中，，所以，
所以，解得，
则，．
评分细则：
【1】第一问另解：利用余弦定理可得，化简可得．
【2】第二问另解：，
化简可得，
所以，则．
在中，．
16．（1）证明：取E为PD的中点，连接BE，CE．因为为等边三角形，所以．
因为，所以．
又，所以平面BCE．
因为平面BCE，所以．
又因为，，所以平面PCD．
（2）解：以C为原点，CD，CB所在直线分别为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面PBD的法向量为，
则即令，得．
设平面PAD的法向量为，
则即令，得．
因为，所以平面PBD与平面PAD夹角的余弦值为．
评分细则：
【1】第一问另解：因为，，，所以．
又因为，，，所以平面PCD．
【2】若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．
17．解：（1）设顾客甲获得了300元奖金为事件A，甲第一次抽奖就中奖为事件B，
，
，
所以，即顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率为．
（2）设X为某顾客获得的奖金，则X可能的取值为0，100，300，500．
由题意知，，
，
，
，
，．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
所以预计此活动的最高费用为元元．
综上，该活动不会超过预算．
评分细则：
【1】第一问共6分，未说明理由，直接写出答案，扣3分．
【2】第二问共9分，未写出不扣分，未说明的单调性，直接代入，扣3分．
18．解：（1）由题可知
解得，，
所以M的方程为．
又，则，
所以N的方程为．
（2）设直线l的方程为，l与M交于A，D，l与N交于B，C．设，，联立得，
则，得且，，．
设，，联立得，
则，得且，，．
因为，所以线段AD的中点与线段BC的中点重合，记线段AD的中点为E，则，，两式相减可得．
因为，所以，则．
由，可得，
又，解得，
所以直线l的方程为．
评分细则：
【1】第一问共6分，正确写出M的方程得4分，正确写出N的方程得2分．
【2】若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．
19．（1）解：，则．
当时，，则在R上单调递减；
当时，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：令，所以．
设，则，所以在上单调递增，即在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．
当时，则，所以，则，
所以存在唯一的，使得，且当时，，当时，，且，即，
因此．
设，则，
所以在上单调递增，
所以当时，，即．
综上，当时，．
（3）证明：由（2）可知，当时，，当且仅当时，等号成立．
令，则，
．
评分细则：
【1】第一问共5分，未对a进行讨论，写出在上单调递减，在上单调递增，扣3分．
【2】若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7