中考数学二轮复习几何模型重点突破讲练专题10 几何变换中的三角形全等模型（2份打包，原卷版+教师版）

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【模型1】全等三角形中的平移变换
【说明】平移前后的三角形全等。
平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．
【模型2】全等三角形中的折叠变换模型
【说明】折叠问题实质上是利用了轴对称的性质。
轴对称变换的性质：
①关于直线对称的两个图形是全等图形.
②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.
③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
【模型3】全等三角形中的旋转变换模型
旋转变换的性质：图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任
意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.
【例1】如图， SKIPIF 1 < 0 是由 SKIPIF 1 < 0 经过平移得到的，AC分别交DE、EF于点G、H，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（ ）
A．150°B．140°C．120°D．30°
【例2】如图，纸片 SKIPIF 1 < 0 的对边 SKIPIF 1 < 0 ，将纸片沿 SKIPIF 1 < 0 折叠， SKIPIF 1 < 0 的对应边 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点G．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的大小是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【例3】如图，在等腰 SKIPIF 1 < 0 和等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．

(1)观察猜想：如图1，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系是_________；
(2)探究证明：把 SKIPIF 1 < 0 绕直角顶点 SKIPIF 1 < 0 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)拓展延伸：把 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 在平面内转动一周，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 时，连接 SKIPIF 1 < 0 ，直接写出 SKIPIF 1 < 0 最大面积_________．
一、单选题
1．如图，三角形 SKIPIF 1 < 0 ，三角形 SKIPIF 1 < 0 均为边长为4的等边三角形，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，三角形 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转时，线段 SKIPIF 1 < 0 长的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD的边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A．3B．2 SKIPIF 1 < 0 C．5D． SKIPIF 1 < 0
3．如图，ABCD是一张矩形纸片，AB＝20，BC＝4，将纸片沿MN折叠，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是B，C的对应点，MB′与DC交于K，若△MNK的面积为10，则DN的最大值是（ ）
A．7.5B．12.5C．15D．17
4．如图，现有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①CQ＝CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN＝2 SKIPIF 1 < 0 ；④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．②③C．①②④D．①③④
5．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点D为BC的中点，直角 SKIPIF 1 < 0 绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：① SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ，其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．如图，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中，点M在 SKIPIF 1 < 0 边上，把 SKIPIF 1 < 0 沿直线 SKIPIF 1 < 0 折叠，使点B落在 SKIPIF 1 < 0 边上的点E处，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点B作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为F，若 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 的长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③S△DGF＝48；④S△BEF＝ SKIPIF 1 < 0 ．其中所有正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题
9．如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AD=6cm，则∠EAD的正弦值为_____．
10．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将 SKIPIF 1 < 0 DAE绕点D逆时针旋转90°，得到 SKIPIF 1 < 0 DCM．若AE=1，则FM的长为__．
11．如图，点E在正方形ABCD的CD边上，连结BE，将正方形折叠，使点B与E重合，折痕MN交BC边于点M，交AD边于点N，若tan∠EMC＝ SKIPIF 1 < 0 ，ME＋CE＝8，则折痕MN的长为___________．
12．如图，△ABC，△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°．使△DEP的顶点P与△ABC的顶点A重合，PD，PE分别与BC相交于点F、G，若BF＝6，CG＝4，则FG＝_____．
13．如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，点E是 SKIPIF 1 < 0 的中点，将正方形 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折叠，得到点B的对应点为点F，延长 SKIPIF 1 < 0 交线段 SKIPIF 1 < 0 于点P，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长度为___________．
14．如图，在边长为6的正方形ABCD内作 SKIPIF 1 < 0 ，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将 SKIPIF 1 < 0 绕点A顺时针旋转90°得到 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则BE的长为__________．
三、解答题
15．如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连接CD，将线CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE.
(1)求证：ΔACD ≌ ΔBCE；
(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数.
16．如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 内一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数．
17．如图（1），已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．
（1）求△ABC所扫过的图形面积；
（2）试判断，AF与BE的位置关系，并说明理由；
（3）若∠BEC=15°，求AC的长．
18．已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．
(1)如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．直接写出BD和CE数量关系和位置关系．
(2)如图2，当点D在线段BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE，画出图形．（1）的结论还成立吗?若成立，请证明； 若不成立，说明理由．
19．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点E为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，点F在边 SKIPIF 1 < 0 上，连结 SKIPIF 1 < 0 ，沿 SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 折叠得到 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图1，当点P落在 SKIPIF 1 < 0 上时，求 SKIPIF 1 < 0 的度数．
（2）如图2，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的度数．
20．如图 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)直接写出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的数量关系：______；
(2)将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 剪开，让点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 重合．
①按图 SKIPIF 1 < 0 放置 SKIPIF 1 < 0 ，将线段 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 平移至 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
②按图 SKIPIF 1 < 0 放置 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长度．
21．如图1，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=30°，将Rt△ABC绕C点顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到Rt△DCE
（1）当α＝15°，则∠ACE＝ °；
（2）如图2，过点C作CM⊥BF于M，作CN⊥EF于N，求证：CF平分∠BFE．
（3）求Rt△ABC绕C点顺时针旋转，当旋转角α（0°＜α＜90°）为多少度时，△CFG为等腰三角形．
22．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB=AC= SKIPIF 1 < 0 ，点D，E分别在边AB，AC上，且 SKIPIF 1 < 0 ，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为 SKIPIF 1 < 0 ，如图2，连接CE，BD，CD．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如图3，当 SKIPIF 1 < 0 时，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ．
23．【问题提出】如图①，在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 边上的中线 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长 SKIPIF 1 < 0 到点E，使 SKIPIF 1 < 0 ，再连结 SKIPIF 1 < 0 （或将 SKIPIF 1 < 0 绕着点D逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ），把 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 集中在 SKIPIF 1 < 0 中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是____________．
【应用】如图②，在 SKIPIF 1 < 0 中，D为边 SKIPIF 1 < 0 的中点、已知 SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【拓展】如图③，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点D是边 SKIPIF 1 < 0 的中点，点E在边 SKIPIF 1 < 0 上，过点D作 SKIPIF 1 < 0 交边 SKIPIF 1 < 0 于点F，连结 SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为____________．
24．已知，四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转（ SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如图 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 如图 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形；
SKIPIF 1 < 0 如图 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直接写出在 SKIPIF 1 < 0 旋转的过程中，线段 SKIPIF 1 < 0 长度的最小值．
25．折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，如折小花、飞机、小船等，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质发展空间观念，在思考问题的过程中建立几何直观．
【操作发现】（1）如图1将一个正方形先沿EF折叠得到图2，再将图2进行第二次折叠，使点E和点F重合，折痕与正方形的边交于点M、N，如图3，打开这张正方形的纸得到两条折痕EF和MN，如图4这两条折痕的位置关系为 ， SKIPIF 1 < 0 ＝ ．
【探究证明】（2）如图5，将AB＝1，AD＝3的长方形按（1）的方式进行折叠，同样得到两条折痕EF和MN，（1）中的结论是否还成立，如果成立请证明，如果不成立请说明理由．
【拓展延伸】（3）Rt△ABC中，BC＝1，AC＝3，将△ABC沿着斜边AB翻折后得的三角形与原来三角形组合成一个四边形ACBD，将四边形ACBD分别沿着顶点A和顶点D折叠得到两条互相垂直的折痕，交四边形的另两条边于点M和点N， SKIPIF 1 < 0 ＝ ．
26．如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF，裁成一个边长为4的正方形ABCD和一个长为4、宽为2的长方形CEFD如图2．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至 SKIPIF 1 < 0 ，旋转角为a．
(1)当点 SKIPIF 1 < 0 恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；
(2)如图3，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 存在两次全等，请你帮助小军直接写出当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 全等时，旋转角a的值．