当阳市第一高级中学2024届高三模拟考试（一）数学试卷(含答案)

这是一份当阳市第一高级中学2024届高三模拟考试（一）数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.
C.D.
2．设i是虚数单位，若，并且复数z的实部与虚部相等，则( )
A.B.C.D.
3．记为等比数列的前n项的和，，，则( )
A.B.C.D.
4．随着互联网的飞速发展，直播带货开始成为一种新兴的商品销售模式.下图是某知名主播在2022年9月1日晚间直播带货时在各时段的销售额及订单量数据.根据图中数据，下列说法正确的是( )
（注：单笔订单均价＝某一时段销售额÷该时段订单量）
A.时间段销售额和订单量都是所有时间段里最低的
B.订单量最高的时段，其单笔订单均价最低
C.若某个时段订单量比上个时段高，则该时段销售额也比上个时段高
D.单笔订单均价最高的时段是
5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺，问积几何？其意思是今有坝堤为底面是等腰梯形的直四棱柱，下底长2丈，上底长8尺，高4尺，纵长12丈7尺（已知1丈为10尺），问这段坝堤的体积是多少立方尺？根据表述，这段坝堤的体积是( )
A.立方尺B.立方尺C.立方尺D.立方尺
6．双曲线左、右顶点分别为，，过且倾斜角为的直线与双曲线C的渐近线交于第一象限内一点P，，则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.2D.5
7．2021年湖北省新高考将实行模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.现有甲、乙两名学生准备选物理，假设他们都对后面四科没有偏好，则甲和乙至少一人选择化学的概率为( )
A.B.C.D.
8．已知是偶函数，当时，，则不等式的解集是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题中为真命题的是( )
A.命题“，”的否定是“，”
B.直线的倾斜角是
C.定义在上的偶函数的最大值为12
D.已知，，，则的最大值为1
10．设函数，则使成立的充分不必要条件可以是( )
A.B.C.D.
11．已知函数，为的极大值点，为的图象的对称轴，且在上有且仅有5个零点，则的取值可以是( )
A.B.C.D.
12．已知抛物线的焦点为F，准线方程为l，，是抛物线上的两点，则下列结论正确的是( )
A.准线l的方程为
B.若直线过F，则
C.若，则的最小值为2
D.若，则线段的中点M到x轴的距离为1
三、填空题
13．已知，，，则_________.
14．的展开式中的系数为，则_________.
15．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，则_________.
四、双空题
16．已知平面四边形中，，，，如图1，将沿折起到位置，使得平面平面，如图2，则异面直线与所成角的余弦值为_________；该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为_________.
五、解答题
17．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
，，的周长为.
（1）求角A的大小；
（2）求的面积S.
18．已知等差数列N，其公差不为零，是和的等比中项，.
（1）求数列N的通项公式；
（2）设是N的前n项和，，求数列的前n项和.
19．如图，四棱锥中，，，平面平面，已知，，，.
（1）若点E为棱上一点，且，求证：平面；
（2）若点M为的中点，求二面角的余弦值.
20．已知椭圆C：的长轴长为，且过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线，与椭圆C相交于A，B两点（点A在点B的右侧），点B关于x轴的对称点为点，设直线，的斜率分别为，，且，求k的值.
21．教育是民族振兴、社会进步的重要基石，是功在当代、利在千秋的德育工程，教育能够促进人的全面发展、增强中华民族的创新能力、对实现中华民族伟大复兴具有决定性意义.为响应国家号召，为教育事业奉献微薄之力，某师范院校演讲与口才协会决定每年度举办两次下乡支教活动，现已知第一次支教活动共有n名男志愿者，，，，，，和4名女志愿者，，，报名参加，若该协会决定从中随机选派3名志愿者参与希望小学支教活动，已知抽取的志愿者中包含但不包含的概率为.
（1）求n的值；
（2）根据希望小学的需求，该协会决定第二次选派5名志愿者去该校支教，已知第二次报名的男、女人数分别与第一次报名的男、女人数一样，若用X表示第二次支教的女志愿者人数，求X的分布列及数学期望.
22．已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，求证：.
参考答案
1．答案：A
解析：因为集合，或，故选A.
2．答案：C
解析：因为的实部与虚部相等，所以，解得，所以,故选C.
3．答案：B
解析：因为，所以，公比为，所以.
故选B.
4．答案：D
解析：单笔订单均价最低的时段应该是20：00—20：30；在22：00—22：30，
订单量比上个时段高，但销售额比上个时段低；订单量最低的时段应该是21：00—21：30，选D.
5．答案：B
解析：该坝堤的体积为立方尺，故选B.
6．答案：C
解析：在中，，即所以，所以，所以是直角三角形，，因此，故离心率,故选C.
7．答案：D
解析：记事件A表示“甲和乙至少一人选择化学”，则.故选D.
8．答案：B
解析：设，则，因为当时，，所以当时，，即在上单调递增，因为是偶函数，所以，所以是偶函数，因为，所以，即，所以，则，解得，故选B.
9．答案：CD
解析：
10．答案：AC
解析：，解得或，故选AC.
11．答案：BD
解析：由题意可得，即，所以，，又因为在上有且仅有个零点，所以，即，所以，当时，，又为的极大值点，所以，，又，所以，所以，当时，，有且仅有5个零点，符合题意；当时，，由，，可得，所以，当时，，有且仅有5个零点，符合题意；综上，所有可能的取值为或.故选BD.
12．答案：BCD
解析：抛物线的方程化为，易知准线l的方程为，选项A错误；根据抛物线的性质知，过F时，，选项B正确；若，则过F，则的最小值即抛物线通径的长，即为2，选项C正确；过点A，B，M分别作准线的垂线，，，垂足分别为，，，则，则，线段的中点M到x轴的距离为，选项D正确.故选BCD.
13．答案：
解析：可得，所以.
14．答案：
解析：的展开式的通项公式，
令，解得，所以，解得.
15．答案：
解析：原式.
16．答案：；
解析：如图，取，，的中点E，F，G，则或其补角即为与所成角，
；
将三棱锥补成直三棱柱，设上下底面的外心分别是M，N，
取的中点O，则O就是外接球的球心，又，
，所以，所以球O的表面积为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以由正弦定理得，即，所以，又，所以.
（2）因为，的周长为，所以，
，所以，
所以.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为是和的等比中项，所以，即，化简得，因为，所以，因为，即，解得，，所以.
（2）因为，所以，所以，所以，
，
相减得，
所以.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：在棱上取一点F，使，又，所以，，又，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又在平面内，不在平面内，所以平面.
（2）因为平面平面，所以可在平面内过点A作的垂线，
同时垂直于平面，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
在中，，，，
由余弦定理得，，所以，可得，则，，，，，，，，
设平面，平面的法向量分别为，，
由，可得，
由，可得，
所以，
又二面角是锐角，所以二面角的余弦值为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意知，所以，
又过点，所以，可得，
所以椭圆C的方程为.
（2）设，，则，
由得，
由根与系数的关系得，，
所以
，
所以或（舍），所以.
21．答案：（1）6
（2）见解析
解析：（1）记“抽取的志愿者中包含但不包含”为事件A，则，解得，（舍去），则n的值为.
（2）由题意知X可能的值为，1，2，3，4，则，，，，，所以X的分布列为
.
22．答案：（1）当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为
（2）证明见解析
解析：（1）.
由于，，故当时，令，得；
令，得.
此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
当时，，，
令，得或；令，得.
此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
当时，，令，得；令，得，
此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）由于，故由（1）可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
从而在时取得极大值，并且也是最大值，即.
又，，所以.
设，则，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
从而，
于是.
X
0
1
2
3
4
P