湖南省宁乡市第一高级中学2021届高三下学期第一次模拟考试数学试卷

这是一份湖南省宁乡市第一高级中学2021届高三下学期第一次模拟考试数学试卷，共9页。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
（满分：150分，时间：120分钟）
一、单选题(本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意)
1．已知集合，，则A∩CUB（ ）
A．B．C．D．
2．设复数z满足（i是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
3．为了研究某公司工作人员人数x（单位：名）和月销售量y（单位：万元）的关系，从该公司随机抽取10名工作人员，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系。已知，，.若该公司工作人员为25名，据此估计其月销售量为（ ）
A．195B．200C．205D．210
4．已知非零向量，满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．已知四棱锥的底面四边形是正方形，侧棱平面，，且直线与平面所成的角的正切值为，则四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．设双曲线的左、右焦点为，渐近线方程为，过直线交双曲线左支于两点，则的最小值为（ ）
A．9B．10C．14D．
二、多选题(本大题共 4 小题，每题5分，共 20 分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得 5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩（单位：秒）服从正态分布，且．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在间的个数记为X，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．的图象关于点对称
C．将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象
D．在上的最大值为2
11．设数列的前项和为，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称数列为“数列”．则以下数列为“数列”的是（ ）
A．是等差数列，且，公差
B．是等比数列，且公比满足
C．
D．，
12．已知函数，若函数的图象与的图象有两个不同的交点，则实数的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)
13．将五名学生和三名老师分成三组参加志愿者服务，要求每个小组至少一名老师，至少一名学生，则不同的分组方法数是 .（答案用数字表示）
14．已知，则_____．
15．在单调递增数列中，已知，，且，，成等比数列，，， 成等差数列，那么 ．
16．已知椭圆离心率为，为椭圆的右焦点，，是椭圆上的两点，且.若，则实数的取值范围是______.
四、解答题(本大题共6 小题，共 70分，17题为10分，18-22每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．记的内角的对边分别为，，，为边的中点，已知．
(1)求；
(2)当时，求的最大值．
18．为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和，且每场比赛中犯规4次以上的概率为．
(1)求甲队第二场比赛获胜的概率；
(2)用表示比赛结束时比赛场数，求的期望；
(3)已知球员在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率．
19．如图，在四棱锥中，，，四边形ABCD是菱形，，E是棱PD上的动点，且．
(1)证明：平面ABCD．
(2)是否存在实数，使得平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20．已知正项数列前项和为，
（1）求的值，并求数列的通项公式;
（2）设，数列前项和为，求使不等式成立的正整数组成的集合.
21．已知在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且．
(1)求的标准方程；
(2)已知为轴上的点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，当直线的斜率为1时，求点的坐标．
22．已知函数.
(1)若单调递增，求的值；
(2)设是方程的两个实数根，求证：.
参考答案
1-8 DACCCCBA
9．BD 10．BD 11．BC 12．CD
13．
14．
15．
16．
17．（1）由及正弦定理，
得，即，
又中，，则，故，
又，则．
（2）∵，
∴，当且仅当时取等号．
∵为边的中点，
∴，
两边平方得到，
由上知，，
∴
故，当且仅当时取等号．
故的最大值为．
18．（1）设“第i场甲队获胜”，“球员第i场上场比赛”，，2，3．
由全概率公式．
（2）的可能取值为2，3．
由题意知，由（1）知，
则，，
，
，．
（3），此时，
．
19．（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以．
因为，AC，平面PAC，且，
所以平面PAC．因为平面PAC，所以．
因为，所以，所以．
因为AB，平面ABCD，且，所以平面ABCD．
（2）取棱CD的中点F，连接AF，易证AB，AF，AP两两垂直，故以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．
设，则，，，，
故，，．
所以，则．
设平面ACE的法向量为，则，
令，得．
平面PAB的一个法向量为．
设平面PAB与平面ACE所成的锐二面角为，则，
整理得，解得或（舍去）．
故存在实数，使得平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值是．
20．
（1）解：由已知，得当时，；
当时，，代入已知有，
即．又，
故或（舍，
即，
由定义得是以1为首项，1为公差的等差数列，
，则；
（2）由题得，
所以数列前项和.
因为，
所以，
所以.
所以正整数组成的集合为{1,2}
21．（1）因为，，
所以，
又，所以，.
故的标准方程为：．
（2）
设，，，，，
的方程为，由得．
则，，同理．
所以直线的斜率为,
设的方程为，
联立得．
则，所以，.
所以点的坐标为．
22．（1）由单调递增，转化为恒成立，分离参数法可求；
（2）由是方程的两个实数根，化简得，，两式作和与差，消去参数，转化为证明，整体换元，转化变形为的证明，构造函数，利用导数证明即可．
【详解】（1），，
则，
由单调递增，则，即，
则有恒成立，
当时， 对任意都成立；
当时，，
则恒成立，
设，则为减函数，当时，则，
且，所以；
当时，，则恒成立，
由为减函数，当时，则，
且，所以；
综上所述，；
（2）方程，
所以，则有，
且，由，得．
要证，只要证明，即证，
记，则，，
因此只要证明，即．
记，，
令，则，
当时，，
所以函数在上递增，则，
即，
则在上单调递增，，
即成立，
．