24年新高考数学二轮复习专题突破精练之 取整函数问题-

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例1．（2024·山西吕梁·校考模拟预测）用[]表示不大于实数a的最大整数，如[1.68]=1，设分别是方程及的根，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】因为分别是方程，的根，
则分别是函数及的零点，
而函数是单调递增函数，又，，则 ，
函数在上单调递增，，，则，
因此，所以.
故选：C
例2．（2024·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）高斯是德国数学家､天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德､牛顿并列，同享盛名.用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作，是指不超过实数的最大整数，例如，该函数被广泛应用于数论､函数绘图和计算机领域.若函数，则当时，的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，得，解得，
则的定义域为，
当时，令，函数在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的值域为，所以的值域为，
故选：C.
例3．（2024·全国·高三专题练习）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（ ）
A．2026B．2025C．2024D．2023
【答案】B
【解析】由得，
又，所以数列是以4为首项和公比的等比数列，
故，
由累加法得
，
所以，
∵，
又，∴，
令，，
，
∴，
代入得.
故选：B．
例4．（2024·四川成都·高三校考开学考试）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：，已知函数，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以,
又，所以,
由高斯函数的定义可得：函数的值域为,
故选：C.
例5．（2024·全国·高三专题练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．已知，，则函数的值域为 ．
【答案】
【解析】根据题意，设，
则，
当时，，所以，即，所以，此时的取值为1；
当时，，所以，即，所以，此时的取值为；
综上，的值域为，
故答案为：.
例6．（2024·重庆·高三四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）已知，函数在有极值，设，其中为不大于的最大整数，记数列的前项和为，则 .
【答案】615
【解析】函数，求导得：，
因，函数在有极值，则存在，有，解得，
于是得，即，而，
因此，数列的前100项中有1个0，3个1，5个2，7个3，9个4，11个5，13个6，15个7，17个8，19个9，
而，
所以.
故答案为：615
例7．（2024·吉林长春·长春市第二中学校考模拟预测）定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，.当时，的值域为.记集合中元素的个数为，则的值为 .
【答案】
【解析】先由题意求出，再求，接着求出，即可得到的通项公式，表示出，用裂项相消法求出即可.表示不超过的最大整数，
当时，，
，
在各区间内的元素个数为，，，，，，
，
，
.
故答案为：.
例8．（2024·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：，.已知数列满足，，，若，为数列的前项和，则 .
【答案】
【解析】由，得.
又，所以数列构成以2为首项，2为公比的等比数列，
所以.
又，累加得，
即，
所以.
又因为满足上式，所以，所以.
因为，所以，
即，所以.
故.
所以.
故答案为：.
例9．（2024·全国·高三专题练习）对于正整数n，设是关于x的方程的实数根.记，其中表示不超过x的最大整数，则 ；设数列的前n项和为则 .
【答案】 0 1010
【解析】（1）当时，，
设单调递减，
，，所以，
（2）令，则方程化为：
令，则在单调递增
；
由零点存在定理可得：，，
当，，
当，，
所以当，
故答案为：①0；②1010
例10．（2024·全国·高三专题练习）已知表示不超过实数的最大整数，如，，为取整函数，是函数的零点，则 ．
【答案】2
【解析】因为与在上都单调递增，所以在上也单调递增，
又因为，
所以在上存在唯一零点，且零点落在区间上，
由于是的零点，则是的唯一零点，且，
所以.
故答案为：2.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·全国·高三专题练习）定义表示不超过的最大整数，.例如：，.①；②存在使得；③是成立的充分不必要条件；④方程的所有实根之和为，则上述命题为真命题的序号为（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①④
【答案】D
【解析】,故①正确；
由可知，可知，所以，故②错误，故AC错误；
, ,，故③错误，故B错误；
对于，显然不是方程的解，可化为，
考察函数和的图象的交点，除了(-1,0)外，其余点关于点(0,1)对称，从而和为零，故总和为，故④正确.故D正确.
故选：D
2．（2024·全国·高三专题练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如，.已知，，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】易知，在上单调递减，上单调递增.
当时， ；当时，；当时，；
所以，则函数的值域为.
故选：C.
3．（2024·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有解之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，使，则，
可得，，
若k为奇数，则，所以，
，则，
解得，或，
当时，，，，，
当时，，，，，
若k为偶数，则，所以，
，则，
解得，或，
当时，，，，
当时，，，，，
因此，所有解之和为：，
故选：C.
4．（2024·全国·高三专题练习）已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，故；
分和的情况讨论，显然有．
若，此时；
若，则；
若，因为，故，即．
且随着的增大而增大．
若，此时；
若，则；
若，因为；，故，即，
且随着的减小而增大．
又因为一定是不同的对应不同的值．
所以为使函数有且仅有3个零点，只能使，2，3；或，，．
若，有；
若，有；
若，有；
若，有；
若，有；
若，有；
若，有；
若，有
综上所述，或，
故选：B．
5．（2024·全国·高三专题练习）对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如：．如果定义函数，那么下列命题中正确的一个是（ ）
A．B．方程有且仅有一个解
C．函数是周期函数D．函数是减函数
【答案】C
【解析】由题意可知：f（x）=x-[x]∈[0，1），∴函数f（x）的最大值为1，A不对；
又知函数每隔一个单位重复一次，所以函数是以1为周期的函数．
所以C正确，B不正确、在每个周期数单调递增，在定义域上不单调，D不正确．
故选C．
二、多选题
6．（2024·全国·高三校联考竞赛）已知定义域为的函数，其中代表不超过的最大整数.设数列满足：是在上最大值，数列满足：且，则下列说法正确的是（ ）
A．最小值为
B．在有个极值点
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于A选项，令，，
则，当且仅当时取等号，
此时，故，故A错误；
对于B选项，当时，令，其中，
则，则，
，
令，则，
因为，其中，，
，
其中，，
由零点存在定理可知，，使得，
，使得，
所以，函数在上有个极值点，
同理可知，函数在上有个极值点，
当时，，
当时，，所以，是函数的一个极值点，
综上所述，在上有个极值点，故B正确；
对于C选项，当时，，
所以在最大值仅可能在取得；
同理在上的最大值仅可能在取得.
对，有成立，
故最大值在上取得，即，故C正确；
对于D选项，，，
，
即，，
故不是上的最大值点，是上的最大值，
故，故D正确.
故选：BCD.
7．（2024·甘肃·高三武威第六中学校联考开学考试）已知函数（，其中表示不大于的最大整数），则（ ）
A．是奇函数B．是周期函数
C．在上单调递增D．的值域为
【答案】BD
【解析】由题意，表示不大于的最大整数，则，
所以，则函数是以3为周期的函数，
当时，，
当时，，
则，
又是以3为周期的函数，则的值域为和D均正确；，所以，故不是奇函数，A错误；
当时，，故在上无单调性，C错误.
故选：BD.
8．（2024·全国·高三专题练习）设表示不超过x的最大整数，如：，，又称为取整函数，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ）
A．是奇函数
B．，，若，则
C．，
D．不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】A．取和0.5，函数值分别为和0，故A不正确；
B．设，则，，，，
则，因此，故B正确；
C．设（，），
当时，，，
此时，
当时，，，
此时，
综合可得，C正确；
D．不等式，可得：，或，
∴，或，因此不等式的解集为，故D正确．
故选：BCD．
9．（2024·全国·高三专题练习）设函数，若表示不超过的最大整数，则的函数值可能是（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】AB
【解析】因为，则，
所以函数的值域是，
则的范围是，
于是的函数值可能是或，
故选：.
10．（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）已知函数定义域为R，满足，当时， .若函数的图象与函数的图象的交点为，，，(其中表示不超过的最大整数)，则（ ）
A．是偶函数B．C．D．
【答案】BC
【解析】函数，显然，而，即，因此不是偶函数，A错误；
函数定义域为，满足，当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
因此当时，函数在上递减，
在上递增，当时，取得最大值，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
因此当时，函数，
在同一坐标平面内作出函数的部分图象，如图，
当时，函数的图象有唯一公共点，
因为，因此，，而满足的整数有个，即，B正确；
显然，
所以，C正确；
，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，D错误.
故选：BC
11．（2024·全国·校联考模拟预测）已知函数定义域为，满足，当时，.若函数的图象与函数的图象的交点为，（其中表示不超过的最大整数），则（ ）
A．是偶函数B．
C．D．
【答案】BC
【解析】函数，显然，而，即，因此不是偶函数，A错误；
函数定义域为，满足，当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
因此当时，函数在上递减，
在上递增，当时，取得最大值，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
因此当时，函数，
在同一坐标平面内作出函数的部分图象，如图，
当时，函数的图象有唯一公共点，
因为，因此，，而满足的整数有个，即，B正确；
显然，
所以，C正确；
，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，D错误.
12．（2024·全国·高三专题练习）已知，定义：表示不超过的最大整数，例如.若函数，其中，则（ ）
A．当时，存在零点
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BCD
【解析】对于选项A，因为，，.
所以当时，，所以不存在零点.
故选项A错误.
对于选项B，因为，
所以，即，所以.
当时，令，则，
令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，所以，
所以在上递增，所以.
故选项B正确.
对于选项C，因为有，所以在不能是减少的，
假设，设，则，
当时，；当时，，
故在为减函数，在上为增函数，
而，，，
又当时，，故在上有两个不同的零点，
设较小的零点为，则.
若，则，
取，则，
而，，故，这与题设矛盾.
若，则，故，
取，则，
而，，故，这与题设矛盾.
又，所以正确.
故选项C正确.
对于选项D，因为，
所以，
令，
所以，
所以，，所以，所以，
即.
故选项D正确.
故选：BCD
13．（2024·浙江宁波·高三统考期末）对于任意实数，表示为不超过的极大整数，如，，（ ）
A．若时，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】ABD
【解析】由题意，对于任意实数，表示为不超过的极大整数，
设，其中分别是的整数部分，分别是的小数部分，
A项，，故，则，故A正确；
B项，，，
，
∴，B正确；
C项，，，，
∴，故C错误；
D项，，
∴，故D正确；
故选：ABD.
14．（2024·重庆·高三校联考阶段练习），表示不超过的最大整数，我们把，称为取整函数，以下选项关于“取整函数”正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，，则
【答案】ABC
【解析】对于A，当时，，故A正确；
对于B，设 则
所以或，
当时，，
此时，即；
当时，
此时即；
综上，，故B正确；
对于C ，当时，，
所以，故C正确；
对于D，若，设,则，
所以从而，故D错误；
故选：ABC.
15．（2024·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，如：[1.2]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，y＝[x]又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ）
A．∀x∈R，[2x]＝2[x]
B．∀x∈R，[x]+
C．∀x，y∈R，若[x]＝[y]，则有x﹣y＞﹣1
D．方程x2＝3[x]+1的解集为
【答案】BC
【解析】对于A：取x＝，[2x]＝[1]＝1，2[x]＝2[]＝0，故A错误；
对于B：设[x]＝x﹣a，a∈[0，1），
所以[x]+[x+]＝[x]+[[x]+a+]＝2[x]+[a+]，
[2x]＝[2[x]+2a]＝2[x]+[2a]，
当a∈[0，）时，a+∈[，1），2a∈[0，1），
则[a+]＝0，[2a]＝0，
则[x]+[x+]＝2[x]，[2x]＝2[x]，
故当a∈[0，）时，[x]+[x+]＝2[x]成立；
当a∈[，1）时，a+∈[1，），2a∈[1，2），
则[a+]＝1，[2a]＝1，
则[x]+[x+]＝2[x]+1，[2x]+2[x]+1，
故当a∈[，1）时，[x]+[x+]＝2[x]成立，综上B正确；
对于C：设[x]＝[y]＝m，
则x＝m+t，0≤t＜1，y＝m+s，0≤s＜1，
则|x﹣y|＝|（m+t）﹣（m+s）|＝|t﹣s|＜1，因此x﹣y＞﹣1，故C正确；
对于D：由x2＝3[x]+1知，x2一定为整数且3[x]+1≥0，
所以[x]≥，
所以[x]≥0，
所以x≥0，
由[x]2≤x2＜（[x]+1）2，得[x]2≤3[x]+1＜（[x]+1）2，
由[x]2≤3[x]+1，解得≤[x]≤≈3.3，只能取0≤[x]≤3，
由3[x]+1＜（[x]+1)2，解得[x]＞1或[x]＜0（舍），故2≤[x]≤3，
所以[x]＝2或[x]＝3，
当[x]＝2时，x＝，当[x]＝3时，x＝，
所以方程x2＝3[x]+1的解集为，故D错误．
故选：BC．
16．（2024·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如.则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．
C．若函数，则的值域为
D．函数的值域为
【答案】ACD
【解析】对于A，，，有，则函数在上单调递增，A正确；
对于B，当时，，有，B错误；
对于C，
，
当时，，，有，
当时，，，有，
所以函数的值域为，C正确；
对于D，函数，，，
因此，有，所以，D正确.
故选：ACD
17．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（ ）
A．在上是增函数B．是奇函数
C．的值域是D．的值域是
【答案】BC
【解析】根据题意知，，在定义域上单调递增，
且，在上单调递增，∴在上是增函数，故A正确；
∵，，
∴，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；
∵，∴，，，∴，
即，∴，故C错误，D正确.
故选：BC
三、填空题
18．（2024·全国·模拟预测）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，．已知实数满足，，则 ．
【答案】0
【解析】，又，
构造函数为单调递增函数，，，
所以．又．
因为，所以，，
设，，，，所以函数在上单调递减，
所以，所以．
故答案为：0
19．（2024·全国·高三专题练习）n是小于100的正整数，并且满足等式：，其中[x]表示不超过x的最大整数，这样的正整数n共有 个．
【答案】16
【解析】由高斯函数的性质，，当且仅当是整数时取等号，
，当且仅当是整数时取等号，
，当且仅当是整数时取等号，
所以，当且仅当是整数时，上式等号成立，
因此是整数，又因为整数n小于100，所以满足条件的n有个．
故答案为：16
20．（2024·安徽淮北·统考一模）记不超过的最大整数为.若函数既有最大值也有最小值，则实数的值可以是 （写出满足条件的一个的值即可）.
【答案】（答案不唯一，取内得任一值即可）.
【解析】取，，.
则.
题意等价于在区间上既有最大值，又有最小值.
当时，在上为增函数，只有最小值，无最大值；
当时，在上递减，在上递增，此时，有最小值，无最大值；
当时，在上递减，在上递增，此时，最大值为，最小值为；
当时，在上为减函数，有最大值，无最小值.
综上，的取值范围是.
故答案为：（答案不唯一，取内得任一值即可）
21．（2024·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则函数的值域是 .
【答案】
【解析】因为，定义域为，
因为在定义域上单调递增，则在定义域上单调递减，
所以在定义域上单调递减，
当时，；
当时，，即；
当时，；
所以，当时，则，于是；
当时，则，于是；
当时，.
综上所述，的值域为.
故答案为：.