新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第八十二中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 已知反比例函数的图象经过点，则的值是（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数，将点代入求解即可得到答案；
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得：，
故选：D．
2. 用配方法解方程下列配方结果正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
先将常数项移至等式右边，再两边配上一次项系数一半的平方即可．
【详解】解：

即
故选： A．
3. 如图，六边形与六边形是位似图形，O为位似中心，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查位似图形的性质，根据对应边之比等于位似比直接求解即可得到答案．
【详解】解：∵六边形与六边形是位似图形，，
∴，
故选：D．
4. 零陵古城，亦称永州古城，是历经两千年营建而成的古城．零陵是一座山水江河交融的城市，一座充满生机活力的城市，一座文化底蕴深厚的城市，是中国山水诗的发祥地之一．一座具有两千多年历史的文明古城，是湖南四大历史文化名城之一．据有关统计，2018年零陵区接待国内外游客约为640万人，预计2020年接待国内外游客约为810万人，则这两年游客的年平均增长率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了增长率，解题关键是要注意增长率的基础，还要注意解的合理性．设年平均增长率为，根据增长率公式列出方程即可求解，但还要判定解的合理性．
【详解】解：设这两年游客的年平均增长率为，
由题意可得，
即，
解得，（舍去），
即这两年游客的年平均增长率为，
故选：B．
5. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ）
A. ∠AED=∠BB. ∠ADE=∠CC. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可．
【详解】解：由题意得∠DAE=∠CAB，
A、当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；
B、当∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；
C、当=时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；
D、当=时，不能推断△ABC∽△AED，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
6. 已知，则函数和的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用反比例函数以及一次函数图象的性质分别分析得出答案．
【详解】解：∵k1<0∴反比例函数的图象分布在一、三象限，一次函数的图象经过二、三、四象限，且过(0,−3)点，
∴只有选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象以及一次函数图象，正确掌握各函数图象分布规律是解题关键．
7. 关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个实数根D. 没有实数根
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根与判别式的关系，根据计算判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
∴原方程有两个实数根，
故选：C．
8. 如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将其折叠，使AB边落在对角线AC上，得到折痕AE，则点E到点B的距离为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由于AE是折痕，可得到AB=AF，BE=EF，再求解设BE=x，在Rt△EFC中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．
【详解】解： 矩形ABCD，

设BE=x，
∵AE为折痕，
∴AB=AF=1，BE=EF=x，∠AFE=∠B=90°，
在Rt△ABC中，
∴在Rt△EFC中，，EC=2-x，
∴，
解得：，
则点E到点B的距离为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理和矩形与折叠问题；二次根式乘法运算，利用对折得到，再利用勾股定理列方程是解本题的关键．
9. 如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成矩形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，，且，则这个矩形零件的长为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设矩形零件的宽为，则长为，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
【详解】解：设矩形零件的宽为，则长为，
四边形为矩形，
，
∴△AEH∽△ABC，
∴，
∴
解得：，
，，
故选：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出AI的长度，然后列出比例式是解题的关键．
10. 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的B在反比例的图象上，且，则k的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，证明△BOD∽△OAC，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求得△OBD的面积，再根据反比例函数中k的几何意义求解．
【详解】解：作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．
∵∠ABO=30°且OA⊥OB，
∴tan30°=，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
又∵直角△AOC中，∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠BOD=∠OAC，
又∵∠BDO=∠ACO=90°，
∴△BOD∽△OAC，
∴=（）2=，
∴S△ODB=3S△OAC，
又∵点A在反比例函数y=的图象上，
∴S△OAC=，
∴S△ODB=，
∴k=-9．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方，以及反比例函数的比例系数k的几何意义．
二、填空题(本大题共8个小愿，每小题4 分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内)
11. 已知线段a、b、c、d成比例，且，，，则_____．
【答案】18
【解析】
【分析】本题考查比例线段，根据成比例线段的概念，得．再根据比例的基本性质，求得d的值．
【详解】解：线段a、b、c、d成比例，
，
，
又，，，
．
12. 若点和点在反比例函数图像上，则与的大小关系是：_______（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【解析】
【分析】本题考查了比较反比例函数值的大小，直接把点和点代入反比例函数，求出与的值，再比较出其大小即可．
【详解】解：∵点和点在反比例函数图像上，
∴，，
∵，
∴，
故答案为＜．
13. 若 ，则 _____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了比例性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质．
【详解】∵，
∴设（），则，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 若是关于的一元二次方程，则 ______．
【答案】1
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键．直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x的最高次幂为2，得出m的值进而得出答案．
【详解】解：由题意知：且，
解得，
故答案为：．
15. 如图，已知函数y1=，y2=在第一象限的图象．过函数y1=的图象上的任意一点A作x轴的平行线交函数y2=的图象于点B，交y轴于点C．若△AOB的面积S=l,则k的值为
【答案】6
【解析】
【分析】
【详解】根据反比例函数图形几何意义可以得出△OAC的面积为，
△OBC的面积为，
由图像可知，
可得，
解得k=6
故答案为：6
考点：1反比例函数图像上点的几何意义;2反比例函数解析式的确定.
16. 若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为________．
【答案】-2
【解析】
【详解】试题解析：由韦达定理可得，

故答案为
17. 为实数，则的最小值是______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查配方法的应用，主要应用有：用配方法分解因式；用配方法化简求值；用配方法确定代数式的最值；用配方法证明等式；用配方法解方程有关问题；用配方法求函数最值；利用完全平方公式把含有x的项化成平方的形式，再进一步求解．
【详解】解：原式，
因为，
所以，
则代数式的最小值是5，
故答案是：5．
18. 如图，若△ABC内一点P满足，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，，，P为△ABC的布罗卡尔点，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】作CH⊥AB于H．首先证明，再证明△PAB∽△PBC，可得，即可求出PA、PC．
【详解】解：作CH⊥AB于H．
∵CA=CB，CH⊥AB，∠ACB=90°，
∴AH=BH，∠ACH=∠BCH=45°，∠CAB=∠CBA=45°，
∴BC=CH，
∴AB=2BH=2=，
∵∠PAC=∠PCB=∠PBA，
∴∠PAB=∠PBC，
∴△PAB∽△PBC，
，
∵，
∴PA=，PC=，
∴PA+PC=，
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题．
三．解答题(本大题共8个小题，共 78分．解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤)
19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点

（1）求这两个函数表达式；
（2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．
（1）先用待定系数法求解反比例函数解析式，从而得出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据图象，即可进行解答．
【小问1详解】
∵反比例的图象过点，即，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
又∵点在函数的图象上，
∴，，
∴
又∵一次函数过、两点，
即，
解之得，
∴一次函数的解析式为；
【小问2详解】
由图像可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．
21. 在△ABC中，AB＝12，AE＝14，BD＝6，BC＝24，且∠BAE＝∠DAC．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）求DE的长．
【答案】（1）证明见解析 （2）４
【解析】
【分析】（1）先证明，再由∠ABD=∠CBA，即可证明△ABD∽△CBA；
（2）由相似三角形的性质可得∠BAD=∠C，证明∠BAD=∠CAE，得到∠CAE=∠C，则AE=CE=14，即可推出DE=BC-CE-BD=4．
【小问1详解】
解：∵AB＝12，AE＝14，BD＝6，BC＝24，
∴，
又∵∠ABD=∠CBA，
∴△ABD∽△CBA；
【小问2详解】
解：∵△ABD∽△CBA
∴∠BAD=∠C，
∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE-∠DAE=∠DAC-∠DAE，即∠BAD=∠CAE，
∴∠CAE=∠C，
∴AE=CE=14，
∴DE=BC-CE-BD=4．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
22. 为预防新冠病毒，零陵区某中学定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与时间之间成一次函数关系；燃烧完后与时间之间成反比例函数关系．根据图象解答下列问题：

（1）求药物燃烧完后与时间的函数表达式；
（2）当每立方米空气中的含药量低于4时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒人员不能停留在教室里？
【答案】（1）
（2）从消毒开始，第2分钟到第分钟消毒人员不能停留在教室里
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法先求药物燃烧时与时间的函数表达式，再用待定系数法求药物燃烧完后与时间的函数表达式即可；
（2）分别求出药物燃烧时和药物燃烧后，时，x的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：设药物燃烧时y关于x的函数表达式为，
把和代入，得：
，
解得：，
∴药物燃烧时y关于x的函数表达式为，
当时，，
设药物燃烧后y关于x的函数表达式为，
把代入，
∴，
∴，
∴药物燃烧后y关于x的函数表达式为；
【小问2详解】
解：对于，当时，
解得：；
对于，当时，
解得：，
∴从消毒开始，第2分钟到第分钟学生不能停留教室里．
23. 已知关于的一元二次方程
（1）若方程有实数根，求实数 的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，，且满足， 求实数的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，即，解不等式即可得到的范围；
（）根据一元二次方程 的根与系数的关系得到， ，则，即 ，利用因式分解法解得，，然后由（）中的的取值范围即可得到的值；
此题考查了一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记，一元二次方程的两个根为，，则，，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
【小问1详解】
解：，
若方程有实数根，则，
解得；
【小问2详解】
由根与系数的关系可知：， ，
∵，
∴，
∴
整理得：，
解得，，
∵，
∴．
24. 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程．
解：原方程可变形，得，
，
，
直接开平方，得，．
我们称这种解法为“平均数法”
（1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程：
解：原方程可变形，得，
，
，
直接开平方，得，．
上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是______，______，______，______．
（2）请用“平均数法”解方程：．
【答案】（1）5，3，2，﹣12；（2），
【解析】
【分析】（1）根据“平均数法”的定义求解即可得出a、b、c、d的值；
（2）根据“平均数法”的定义求解即可．
【详解】解：（1）解：原方程可变形，得，
，
，
直接开平方，得，．
∴a=5，b=3，c=2，d=﹣12，
故答案为：5，3，2，﹣12；
（2）解：原方程可变形，得，
，
，
直接开平方，得，．
【点睛】本题考查解一元二次方程、平方差公式，熟悉一元二次方程的解法，理解“平均数法”解一元二次方程的方法是解答的关键．
25. 如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，．
（1）求，的值并写出反比例函数的表达式；
（2）连接，已知在线段上存在一点，使的面积等于5，请求出点的坐标．
（3）设是轴上的一个动点，是否存在点使得的的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1），，；（2）；（3）存在，点．
【解析】
【分析】（1）将点A，点B坐标代入可求k=4m=2n，由CD=n-m=3，即可求解；
（2）由面积和差关系列出等式，即可求解；
（3）作点B关于x轴对称点F（6，-2），连接AF交x轴于点P，此时PA+PB有最小值，求出AF的解析式，即可求解．
【详解】解：（1）点，在反比例函数的图象上，
，
即，
，
，
，，
点，点，
，
反比例函数的表达式为；
（2）设点，
，，，，
，
，
点；
（3）的周长，
又是定值，
当的值最小是，的周长最小，
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时有最小值，

设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，解题的关键是求出函数解析式，根据反比例函数的性质解题.
26. 如图，在矩形中，厘米，厘米．点P沿边从A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（），那么：
（1）当t为何值时，．
（2）计算四边形的面积，并提出一个与计算结果有关的结论．
（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似？
【答案】（1）
（2）四边形的面积是，在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变（答案不唯一）
（3）当经过秒或3秒时，与相似
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定及矩形动点问题，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
（1）根据题意得出，由于，列方程并解出即可；
（2）根据计算即可得出结论；
（3）由于以点Q、A、P为顶点的三角形与的对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【小问1详解】
解：厘米，厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动，
∴，
，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：在中，
∵，QA边上的高，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
∴由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变；
【小问3详解】
解：在矩形中，
，
分两种情况：
当时，即，
解得：（秒）；
当时，即，
解得：（秒）．
故当经过秒或3秒时，与相似．