重庆市杨家坪中学2023-2024学年高三下学期第二次月考数学试题（Word版附解析）

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总分: 150分 时间: 120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，，则集合为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
3. 记为等差数列的前项和，若则数列的前2024项和为（ ）
A. B. C. D.
4. 北京大兴国际机场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题．现有5辆车停放在8个并排的泊车位上，要求停放的车辆相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有（ ）种．
A. 120B. 240C. 480D. 960
5. “古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）．根据以上信息，当圆心角对应弧长时，的“古典正弦”值为（ ）
A. B. C. D.
6. 一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为，其中为输出信号功率最大值（单位：），为频率（单位：），为输出信号功率数学期望，为输出信号的方差，带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽度。现已知输出信号功率为（如图所示），则其带宽为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，圆锥的高，底面直径是圆上一点，且，若与所成角为，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知分别是双曲线的左，右顶点，是双曲线上的一动点，直线，与交于两点，的外接圆面积分别为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数与所用时间（单位：）的5组数据为：，根据以上数据可得经验回归方程为：，则（ ）
A.
B. 回归直线必过点
C. 加工60个零件的时间大约为
D. 若去掉，剩下4组数据的经验回归方程会有变化
10. 在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C.
D. 若，且，则△为等边三角形
11. 已知函数的定义域为R，满足，且，则（ ）
A.
B. 为奇函数
C.
D.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12. 复数 则 ______
13. 已知抛物线过点，则拋物线的准线方程为__________.
14 己知正实数满足则当 取得最小值时，______
四、解答题：本题共5 小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. “村BA”后，贵州“村超”又火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事——榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各 50名进行调查，部分数据如表所示：
（1）根据所给数据完成上表，依据α=0.005的独立性检验，能否有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关?
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球的概率均为 ，这名女生进球的概率为 ，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3 人进球总次数X的分布列和数学期望.
附:
16. 如图1，在四边形中，，，，将沿着折叠，使得（如图2），过D作，交于点E．
（1）证明：；
（2）求；
（3）求平面与平面的夹角的余弦值．
17. 设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列.
（1）求通项公式；
（2）令，为数列的前项积，证明：.
18. 已知P为平面直角坐标系xOy上的动点，记其轨迹为曲线C.
（1）请从以下两个条件中选择一个，求对应曲线C的方程.
①已知点，直线，动点P到点T的距离与到直线l的距离之比为;
②已知点A 是圆F 上的任意一点，点F为圆F的圆心，点与点F关于原点对称，线段的垂直平分线与线段AF交于点P；
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分.
（2）延长OP至， 使，点的轨迹为曲线E，过点P的直线交曲线E于M，N两点，求面积的最大值.
19. 关于的函数，我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法——“牛顿切线法”.
（1）证明：有唯一零点，且；
（2）现在，我们任取(1,a)开始，实施如下步骤：
在处作曲线切线，交轴于点；
在处作曲线的切线，交轴于点；
……
在处作曲线的切线，交轴于点；
可以得到一个数列，它的各项都是不同程度的零点近似值.
（i）设，求的解析式(用表示)；
（ii）证明：当，总有.
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
20
女生
15
合计
100
α
0.1
0.05
0.01
0005
0.001
x
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828