人教版七年级数学下册同步精讲精练8.3实际问题与二元一次方程组(二)(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步精讲精练8.3实际问题与二元一次方程组(二)(原卷版+解析)，共58页。试卷主要包含了3 实际问题与二元一次方程组，5，5，7%，第二种的年利率为2，95，6+×0，5+45等内容，欢迎下载使用。


知识点一
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
◆1、列方程组解决实际问题是把“未知”化为“已知”的过程，其关键是把已知量和未知量联系起来，找出题中的等量关系，列出方程组.
◆2、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审：审题，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设：设元，找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）找：找等量关系，挖掘题目中的所有条件，找出两个等量关系．
（4）列：根据等量关系，列出方程组．
（5）解：解方程组，求出未知数的值．
（6）答：检验所求解是否符合实际意义，然后作答．
知识点二
实际问题中的基本数量关系：
◆◆球赛积分问题：
①胜场数+平场数+负场数=总场数；
②胜场积分+平场积分+负场积分=总积分.
◆◆银行利率问题：
①利息=本金×利率×时间 ；②本息和=本金＋利息
题型一 球赛积分问题
【例题1】（2022春•大荔县期末）2022年2月6日女足亚洲杯决赛，在逆境中铿锵玫瑰没有放弃，逆转夺冠!某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，某班开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该班获胜的场数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式1-1】（2022秋•市中区校级期末）一张竞赛试卷有25道题，做对一道题得4分，做错一道题倒扣1分，小明做了全部试题得到70分，则他做对的题有（ ）
A．16道B．17道C．18道D．19道
【变式1-2】足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分某队前16场比赛中负6场得26分，则该队胜 场．
【变式1-3】（2022•新城区校级二模）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．
【变式1-4】（2022秋•安乡县期末）在一次有12个队参加的足球循环赛（每两队之间必须比赛一场）中，规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某队在这次循环赛中所胜场数比所负场多两场，结果积18分，问该队战平几场？
【变式1-5】（2021春•德宏州期末）在一次数学知识竞赛中，共有20道题，规定：答错或不答一道题扣分相同，当答题结束时，A同学答对14道题，得分为58分；B同学答对11道题，得分为37分．请问答对一道题得几分，答错或不答一道题扣几分．
题型二 增长率（下降率）或百分比问题
【例题2】（2022秋•城阳区期末）某农场去年计划生产小麦和玉米共15吨，实际生产了17吨，其中小麦超产15%，玉米超产10%．该农场去年实际生产小麦、玉米各（ ）吨，
A．5，10B．23，11C．11.5，5.5D．11，23
【变式2-1】（2022春•广平县校级月考）某商场2020年的总利润为100万元，2021年的总收入比2020年增加10%，总支出比2020年减少5%，2021年的总利润为140万元，则2020年的总收入和总支出分别是（ ）
A．300万元，210万元B．300万元，200万元
C．400万元，300万元D．410万元，310万元
【变式2-2】某商场新购进一种服装，每套售价1000元，若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价比原来提高了2%，则调价前上衣的单价是（ ）
A．200元B．480元C．600元D．800元
【变式2-3】（2021秋•丰顺县校级期末）青岛市某实验中学在对口援助边远山区活动中，原计划赠书3000册，由于学生积极响应，实际赠书3780册，其中初中部比原计划多赠了20%，高中部比原计划多赠了30%，则该校初中部原计划赠书 册，高中部原计划赠书 册．
【变式2-4】（2022秋•渠县校级期末）随着国家“亿万青少年学生阳光体育运动”活动的启动，某区各所中小学也开创了体育运动的一个新局面．你看某校七年级（1）、（2）两个班共有100人，在两个多月的长跑活动之后，学校对这两个班的体能进行了测试，大家惊喜的发现（1）班的合格率为96%，（2）班的合格率为90%，而两个班的总合格率为93%，求七年级（1）、（2）两班的人数各是多少？
【变式2-5】（2022•澄迈县模拟）有两块试验田，原来可产花生470千克，改用良种后共产花生532千克，已知第一块田的产量比原来增加16%，第二块田的产量比原来增加10%，问这两块试验田改用良种后，各增产花生多少千克？
题型三 几何图形问题
【例题3】（2022秋•章丘区校级期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（ ）
A．60厘米B．80厘米C．100厘米D．120厘米
【变式3-1】（2022秋•北碚区校级期末）如图，利用两个外形一致的长方形木块测量一张桌子的高度，
首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．81cmB．83cmC．85cmD．87cm
【变式3-2】（2022秋•台江区校级期末）如图，长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形，相关数据图中所示，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．16B．18C．20D．22
【变式3-3】（2022•苏州模拟）小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，求小长方形的面积．
【变式3-4】（2021春•滨江区校级期末）在长为10m，宽为8m的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．则花圃的面积为（ ）
A．16B．8C．32D．24
【变式3-5】（2022春•东港区校级期中）用如图（1）中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如
图（2）所示的竖式和横式两种无盖纸盒．现仓库里有80张正方形纸板和160张长方形纸板，问两种纸盒
各做多少个，恰好将库存纸板用完？
题型四 年龄问题
【例题4】（2022春•滨州期末）甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的2倍，则乙现在的年龄
是（ ）
A．10岁B．15岁C．20岁D．30岁
【变式4-1】今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求今年哥哥和妹妹的年龄．设哥哥今年x岁，妹妹今年y岁，得到的方程组（ ）
A．x+2=3(y+2)，x=2y.B．x−2=3(y−2)，x=2y.
C．x+2=2(y+2)，x=3y．D．x−2=3(y−2)，x=3y．
【变式4-2】（2022春•封丘县月考）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
【变式4-3】（2021•无锡模拟）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是多少岁？
【变式4-4】（2022秋•汉寿县期末）小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是多少岁？
【变式4-5】（2022•南陵县自主招生）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差．
题型五 分段计费问题
【例题5】为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节约用水的目的，规定：每户居民每月用水不超过15m3时，按基本价格收费；超过15m3时，不超过的部分仍按基本价格收费，超过的部分要加价收费，该市某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示：
（1）求该市居民用水的两种收费价格；
（2）若该居民6月份交水费80元，那么该居民这个月水量为多少m3．
【变式5-1】某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另行收费，甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了20元”；乙说：“我乘这种出租车走了23千米，付了38元”．请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？
【变式5-2】先阅读下列一段文字，然后解答问题．
某运输部分规定：办理托运，当物品的重量不超过16kg时，需付基础费30元和保险费a元；为限制过重物品的托运，当物品的重量超过16kg时，除了付以上基础费和保险费外，超过部分每千克还需付b元超重费．设某件物品的重量为x（kg）．
当x≤16时，支付费用为 元（用含a的代数式表示）；当x＞16时，支付费用
为 元（用含x和a，b的代数式表示）；
（2）甲、乙两人各托运一次物品，物品的重量和支付费用如表所示：
试根据以上提供的信息确定a，b的值．
【变式5-3】（2022秋•宣州区期末）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）
（1）已知陈女士家三月份用电256度，缴纳电费154.56元，四月份用电318度，缴纳电费195.48元请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值．
（2）5月份开始用电增多，陈女士缴纳电费280元，求陈女士家5月份的用电量．
【变式5-4】（2021春•肥城市期末）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过15吨（含15吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过15吨时，超过部分每吨按市场调节价收费．小明家1月份用水23吨，交水费88.5元，2月份用水19吨，交水费70.5元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少？
（2）小明家3月份用水25吨，他家应交水费多少元？
题型六 分配问题
【例题6】（2022春•利津县期末）某厂第二车间的人数比第一车间的人数的45少30人．如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间的人数就是第一车间的34．问这两个车间原来各有多少人？设第一车间原来有x人，第二车间原来有y人，依题意可得（ ）
A．y=45x−30y=34(x−10) B．y=45x+30y+10=34(x−10)
C．y=45x−30y=34x−10 D．y=45x−30y+10=34(x−10)
【变式6-1】某抗洪救灾小组A地段28人，B地段有15人，现又调来29人分配在A、B两个地段，要求使A地段的人数是B地段人数的2倍，则调往A地段和B地段的人数分别为 ．
【变式6-2】某校师生共100人到两个车间参加劳动，到第一车间的人数比到第二车间的人数两倍少8人，到两个车间的人数分别 ．
【变式6-3】（2021秋•香坊区校级期中）某车间有2个小组，甲组是乙组人数的2倍，若从甲组调8人到乙组，那么甲组人数比乙组人数的一半还多6人，则原来乙组的人数为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【变式6-4】某厂第二车间的人数比第一车间的人数的45少30人．如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间就是第一车间的34．问这两个车间各有多少人？
【变式6-5】定安县服装厂第二车间的人数比第一车间的人数的2倍少10人．如果从第二车间调5人到第一车间后，两个车间的人数一样多．问这两个车间各有多少人？
题型七 银行利率问题
【例题7】（2021秋•郫都区校级月考）某人善于理财，她以两种方式共储蓄1000元．一种储蓄的年利率为3%，另一种储蓄的年利率为4%，一年后本息和为1035元（不考虑利息税），则两种储蓄的存款分别为（ ）
A．400元，600元B．500元，500元
C．300元，700元D．800元，200元
【变式7-1】小张以两种形式共储蓄了5000元，假设第一种的年利率为3.7%，第二种的年利率为2.25%，一年后得到利息156元，那么小张以第一种形式储蓄的钱数是（ ）
A．2000元B．2500元C．3000元D．3500元
【变式7-2】某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，还贷期间每年需付出8.42万元利息．已知甲种贷款每年的利率为12%，乙种贷款每年的利率为13%，则该公司乙种贷款的数额 万元．
【变式7-3】（2021春•荆州期末）某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，每年需付出3.2万元利息．已知甲种贷款每年的利率为4.5%，乙种贷款每年的利率为5%，则该公司申请的甲种贷款的数额为 万元．
【变式7-4】李红去年在中国农业银行以甲、乙两种存款形式总共储蓄了8000元人民币．其中甲种储蓄的年利率为10%，乙种储蓄的年利率为12%，一年后共得利息860元整．问李红的甲、乙两种储蓄各是多少元？
【变式7-5】某人以两种形式一共储蓄了8000元人民币，其中甲种储蓄的年利率为10%，乙种储蓄的年利率为12%，一年后共得利息860元整，问甲、乙两种储蓄存储各多少元？
题型八 图表信息问题
【例题8】（2021秋•平远县期末）梅州金柚，声名远播，今年又是一个丰收年．某经销商为了打开销路，对1000个金柚进行打包优惠出售．打包方式及售价如图．假设用这两种打包方式恰好装完全部柚子．当销售总收入为7280元时．
（1）若这批金柚全部售完，请问纸盒装共包装了多少箱，编织袋装共包装了多少袋？
（2）若该经销商留下b（b＞0）箱纸盒装送人，其余纸盒装全部售出，求b的值．
【变式8-1】（2022秋•南关区校级月考）根据小亮与小丽的一段对话，求笔和笔记本的单价．
【变式8-2】（2022春•潍坊期中）在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某景区游玩，如图是购买门票时，小明与他爸爸的对话，试根据图中的信息，解答下列问题：
（1）他们共去了几个成人，几个学生？
（2）小明想要换哪种方式购票？该购票方式是否更合算？请通过计算说明．
【变式8-3】（2022秋•崂山区校级期末）某校准备组织学生到潍坊进行社会实践活动，为便于管理，所有人员必须乘坐同一列高铁，高铁单程票价格如下表所示，二等座学生票可打7.5折．若所有人员都买一等座单程火车票，共需花费5395元；若所有人员都买二等座单程火车票，在学生享受购票折扣后，总票款为2730元．
（1）参加社会实践活动的老师与学生各有多少人？
（2）若二等座火车票只能买到30张，则如何购票最省钱？此时总票款是多少元？
【变式8-4】（2022秋•中原区校级期中）请用二元一次方程组解决问题：
某校八年级（1）班和（2）班的学生一块到航天科普教育基地进行社会大课堂活动，两班学生共104人，其中（1）班学生比（2）班学生少，教育基地门票价格如下：
原计划两班都以班为单位购票，则一共应付1136元，请回答下列问题：
（1）八年级（1）班有多少学生？
（2）你作为组织者如何购票最省钱？比原计划省多少钱？
【变式8-5】（2022春•南湖区校级期中）某市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表：
经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6600元．请回答以下问题：
（1）甲、乙两个乐团各有多少名学生？
（2）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．
题型九 解决方案决策问题
【例题9】（2021春•越秀区校级期中）为了丰富学生的课外活动，学校决定购进5副羽毛球拍和m只羽毛球，已知一副羽毛球拍的价格是羽毛球的16倍少2元，用50元可以买一副羽毛球拍和10只羽毛球：
（1）一副羽毛球拍和一只羽毛球的价格各是多少？
（2）甲乙两商店举行促销活动，甲商店给出的优惠是：所有商品打八折；乙商店的优惠是：买一副羽毛球拍送4只羽毛球．求当m＝30时，学校购买这批羽毛球拍和羽毛球最少需要多少元？
【变式9-1】（2022秋•咸阳校级期末）元旦当天，学校准备给老师购买一批围巾和袜子作为节日礼物，已知一条围巾比一仅袜子的标价多22元，买一条围巾的钱可以买6双袜子还剩2元，甲商场给出的节日优惠为：每购买5条围巾，送2双袜子；乙商场给出的节日优惠为：购买围巾超过10条，则袜子打五折．
（1）用二元一次方程组的知识求围巾和袜子的单价；
（2）学校计划购买围巾50条，袜子25双，只选择其中一家商场，你认为学校应该到哪个商场购买更合算？
【变式9-2】（2022秋•城阳区期末）为保障师生健康安全，学校计划从商场购进一批免洗手消毒液和医用口罩．两商场的标价相同，如果按照商场标价购买，购买60瓶免洗手消毒液和20包医用口罩，共需花费2100元，如果购买45瓶免洗手消毒液和40包医用口罩，共需花费1950元．
（1）求商场每瓶免洗手消毒液和每包医用口罩的标价分别是多少元？
（2）甲乙商场开展促销活动：甲商场，所有购买商品均打八折；乙商场，商品按照标价销售，每购买20瓶免洗手消毒液送10包医用口罩．某校计划购进免洗手消毒液80瓶，50包医用口罩，到哪家商场购买更合算？请说明理由．
【变式9-3】（2022秋•汝城县校级期末）某中学八年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学阳光体育课间使用，共买了3个篮球和5个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜30元．
（1）求篮球和排球的单价各是多少吗？
（2）商店里搞活动，有两种套餐，①套装打折：五个篮球和五个排球为一套装，套装打八折；②满减活动：999减100，1999减200；两种活动不重复参与，学校打算买15个篮球，13个排球作为奖品，请问如何安排更划算？
【变式9-4】（2022秋•越秀区校级期中）商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利润＝（售价﹣进价）×销售量]
（1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）现商场决定再用30万同时购进A，B两种设备，共有哪几种进货方案？
【变式9-5】（2022春•辰溪县期末）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来表，除了医务人员主动请要走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
（2）现有31吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
解题技巧提炼
球赛积分问题等量关系式：
胜局场数+平局场数+负局场数=总场数．
胜局积分+平局积分+负局积分=总积分．
解题技巧提炼
增长率（下降率）或百分比问题等量关系式：
（1）增长率问题：原有量×（1+增长率）=增长后的量．
（2）下降率问题：原有量×（1－下降率）=下降后的量．
解题技巧提炼
利用二元一次方程组解决几何图形问题，必须要掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式及对应关系，要善于从图形中获取解题所需的信息,从而得到等量关系式建立方程进而求解．
解题技巧提炼
二元一次方程组解决年龄问题的基本关系是抓住两个人年龄的增长数相等。年龄问题的特点是：时间发生变化，年龄在增长，但是年龄差始终不变．年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用，解题时，我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键.
月份
用水量/m3
水费/元
4
16
50
5
20
70
解题技巧提炼
列二元一次方程组解分段计费问题，常见的等量关系有：总收费=标准内收费＋标准外收费，解题的关键是弄清某次收费包含哪几段费用.
物品的重量（kg）
支付费用（元）
18
38
25
53
阶梯
电量x（单位：度）
电费价格（单位：元/度）
一档
0＜x≤180
a
二档
180＜x≤400
b
三档
x＞400
0.95
解题技巧提炼
分配问题即分配前后总量不变，分配后两量之间有新的倍比关系．解这类题要注意分析分配后两量之间的关系，从而找到等量关系．
解题技巧提炼
银行储蓄问题：
①利息=本金×利率×期数；
②本息和（本利和）=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×（1+利率×期数）；
③实得利息=利息-利息税； ④利息税=利息×利息税率；
⑤年利率=月利率×12．
解题技巧提炼
解决图表信息问题，关键是读懂题意，从图表中获取有用的信息，然后对这些信息进行加工处理，并联系相关的数学知识找出相等关系，从而实现信息的转换，顺利地解决问题．
青岛北﹣潍坊票价
一等座
二等座
83（元）
52（元）
购票张数
1～50张
51～100张
100张以上
每张票的价格
12元
10元
8元
购买服装的套数
1～39套（含39套）
40～79套（含79套）
80套及以上
每套服装的价格
100元
80元
60元
解题技巧提炼
解决方案决首先要列举出所有可能的方案，再按照题中的要求分别求出各种方案的具体结果，从中选择最优方案．
A
B
进价（万元/套）
1.5
1.2
售价（万元/套）
1.65
1.4
甲种货车（辆）
乙种货车（辆）
物资总量（吨）
第一次
2
1
10
第二次
1
2
11
七年级下册数学《第八章 二元一次方程组》
8.3 实际问题与二元一次方程组（二）
知识点一
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
◆1、列方程组解决实际问题是把“未知”化为“已知”的过程，其关键是把已知量和未知量联系起来，找出题中的等量关系，列出方程组.
◆2、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审：审题，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设：设元，找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）找：找等量关系，挖掘题目中的所有条件，找出两个等量关系．
（4）列：根据等量关系，列出方程组．
（5）解：解方程组，求出未知数的值．
（6）答：检验所求解是否符合实际意义，然后作答．
知识点二
实际问题中的基本数量关系：
◆◆球赛积分问题：
①胜场数+平场数+负场数=总场数；
②胜场积分+平场积分+负场积分=总积分.
◆◆银行利率问题：
①利息=本金×利率×时间 ；②本息和=本金＋利息
题型一 球赛积分问题
【例题1】（2022春•大荔县期末）2022年2月6日女足亚洲杯决赛，在逆境中铿锵玫瑰没有放弃，逆转夺冠!某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，某班开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该班获胜的场数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】设该班获胜的场数为x场，平场为y场，由题意：某班开局11场保持不败，积23分，胜一场得3分，平一场得1分，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设该班获胜的场数为x场，平场为y场，
由题意得：x+y=113x+y=23，
解得：x=6y=5，
即该班获胜的场数为6场，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式1-1】（2022秋•市中区校级期末）一张竞赛试卷有25道题，做对一道题得4分，做错一道题倒扣1分，小明做了全部试题得到70分，则他做对的题有（ ）
A．16道B．17道C．18道D．19道
【分析】设小明做对的题为x道，做错的题为y道，由题意：做对一道题得4分，做错一道题倒扣1分，小明做了全部试题得到70分，列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设小明做对的题为x道，做错的题为y道，
根据题意得：x+y=254x−y=70，
解得：x=19y=6，
即他做对的题为19道，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式1-2】足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分某队前16场比赛中负6场得26分，则该队胜 场．
【分析】设该队胜了x场，平了y场，根据该队前16场比赛中负6场得26分，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设该队胜了x场，平了y场，
依题意，得：x+y+6=163x+y=26，
解得：x=8y=2．
故答案为：8．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式1-3】（2022•新城区校级二模）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．
【分析】设该队获胜x场，平y场，利用总积分＝3×获胜场次数+1×平的场次数，结合“该队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设该队获胜x场，平y场，
依题意得：x+y=113x+y=25，
解得：x=7y=4．
答：该队获胜7场．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式1-4】（2022秋•安乡县期末）在一次有12个队参加的足球循环赛（每两队之间必须比赛一场）中，规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某队在这次循环赛中所胜场数比所负场多两场，结果积18分，问该队战平几场？
【分析】本题是12个队进行单循环赛，每个队都要与除了它自己之外的11个队赛一场，所以一个队的比赛总场数为11．本题中有两个等量关系：胜的场数+平的场数+负的场数＝11；胜的积分+平的积分＝18．
【解答】解：设该队胜x场，平y场．
则x+y+(x−2)=113x+y=18
解得x=5y=3．
答：该队战平3场．
【点评】本题中隐含一个等量关系：12个队进行单循环赛，每个队都要与除了它自己之外的11个队赛一场，所以一个队的比赛总场数为11．需要知道这个知识点．
【变式1-5】（2021春•德宏州期末）在一次数学知识竞赛中，共有20道题，规定：答错或不答一道题扣分相同，当答题结束时，A同学答对14道题，得分为58分；B同学答对11道题，得分为37分．请问答对一道题得几分，答错或不答一道题扣几分．
【分析】设答对一道题得x分，答错或不答一道题扣y分，根据“A同学答对14道题，得分为58分；B同学答对11道题，得分为37分”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出答对一道题的得分及答错或不答一道题扣的分值．
【解答】解：设答对一道题得x分，答错或不答一道题扣y分，
依题意得：14x−(20−14)y=5811x−(20−11)y=37，
解得：x=5y=2．
答：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分．
题型二 增长率（下降率）或百分比问题
【例题2】（2022秋•城阳区期末）某农场去年计划生产小麦和玉米共15吨，实际生产了17吨，其中小麦超产15%，玉米超产10%．该农场去年实际生产小麦、玉米各（ ）吨，
A．5，10B．23，11C．11.5，5.5D．11，23
【分析】设该农场去年计划生产小麦x吨，玉米y吨，由题意：去年计划生产小麦和玉米共15吨，实际生产了17吨，其中小麦超产15%，玉米超产10%．列出二元一次方程组，解方程组，即可得出结论．
【解答】解：设该农场去年计划生产小麦x吨，玉米y吨，
则该农场去年实际生产小麦（1+15%）x吨，玉米（1+10%）y吨，
依题意得：x+y=15(1+15%)x+(1+10%)y=17，
解得：x=10y=5，
∴（1+15%）x＝（1+15%）×10＝11.5，（1+10%）y＝（1+10%）×5＝5.5．
即该农场去年实际生产小麦11.5吨，玉米5.5吨，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式2-1】（2022春•广平县校级月考）某商场2020年的总利润为100万元，2021年的总收入比2020年增加10%，总支出比2020年减少5%，2021年的总利润为140万元，则2020年的总收入和总支出分别是（ ）
A．300万元，210万元B．300万元，200万元
C．400万元，300万元D．410万元，310万元
【分析】设2020年的总收入和总支出分别为x，y万元，根据题意列方程求解即可．
【解答】解：设2020年的总收入和总支出分别为x，y万元，
由题意可得：x−y=100(1+10%)x−(1−5%)y=140，
解得x=300y=200，
故选：B．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题中的等量关系，正确列出方程组．
【变式2-2】某商场新购进一种服装，每套售价1000元，若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价比原来提高了2%，则调价前上衣的单价是（ ）
A．200元B．480元C．600元D．800元
【分析】设调价前上衣的单价是x元，裤子的单价是y元，根据“调价前每套售价1000元，若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价比原来提高了2%”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设调价前上衣的单价是x元，裤子的单价是y元，
依题意，得：x+y=1000(1+5%)x+(1−10%)y=1000×(1+2%)，
解得：x=800y=200，
即调价前上衣的单价是800元，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式2-3】（2021秋•丰顺县校级期末）青岛市某实验中学在对口援助边远山区活动中，原计划赠书3000册，由于学生积极响应，实际赠书3780册，其中初中部比原计划多赠了20%，高中部比原计划多赠了30%，则该校初中部原计划赠书 册，高中部原计划赠书 册．
【分析】设原计划初中部赠书x册，高中部赠书y册，根据原计划赠书3000册和初中部多捐赠的书+高中部多捐赠的书＝3780﹣3000可得方程组，解方程组即可．
【解答】解：设原计划初中部赠书x册，高中部赠书y册，
依题意有：20%x+30%y=3780−3000x+y=3000，
解得：x=1200y=1800，
故答案为：1200；1800．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，为了少出差错，减少运算量，最好根据增加的书数来列等量关系．
【变式2-4】（2022秋•渠县校级期末）随着国家“亿万青少年学生阳光体育运动”活动的启动，某区各所中小学也开创了体育运动的一个新局面．你看某校七年级（1）、（2）两个班共有100人，在两个多月的长跑活动之后，学校对这两个班的体能进行了测试，大家惊喜的发现（1）班的合格率为96%，（2）班的合格率为90%，而两个班的总合格率为93%，求七年级（1）、（2）两班的人数各是多少？
【分析】设（1）班有x人，（2）班有y人，根据题目中所述的两个等量关系可得出方程组，解出即可得出答案．
【解答】解：设（1）班有x人，（2）班有y人，
依题意得：x+y=10096%x+90%y=100×93%，
解得：x=50y=50．
答：（1）、（2）班各有50个人．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解决此类题目的关键是仔细审题，将等量关系找到，然后用方程解决．
【变式2-5】（2022•澄迈县模拟）有两块试验田，原来可产花生470千克，改用良种后共产花生532千克，已知第一块田的产量比原来增加16%，第二块田的产量比原来增加10%，问这两块试验田改用良种后，各增产花生多少千克？
【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是“原来两块试验田可产花生470千克”和“改用良种后两块田共产花生532千克，第一块田的产量比原来增加16%，第二块田的产量比原来增加10%后的产量”，列方程组求解即可．
【解答】解：设第一，二块田原产量分别为x千克，y千克．
得x+y=47016%x+10%y=532−470，
解得x=250y=220，
所以16%x＝40，10%y＝22．
答：第一块田增产40千克，第二块田增产22千克．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
题型三 几何图形问题
【例题3】（2022秋•章丘区校级期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（ ）
A．60厘米B．80厘米C．100厘米D．120厘米
【分析】设小长方形地砖的长为x厘米，宽为y厘米，由大长方形的宽为60厘米，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设小长方形地砖的长为x厘米，宽为y厘米，
根据题意得：x+y=603x=2x+3y，
解得：x=45y=15，
则每个小长方形的周长＝2（x+y）＝120（厘米），
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式3-1】（2022秋•北碚区校级期末）如图，利用两个外形一致的长方形木块测量一张桌子的高度，
首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．81cmB．83cmC．85cmD．87cm
【分析】设桌子的高度为xcm，长方形木块的长比宽长ycm，根据图中的数据，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设桌子的高度为xcm，长方形木块的长比宽长ycm，
根据题意得：x+y=90x−y=80，
解得：x=85y=5，
∴桌子的高度是85cm．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式3-2】（2022秋•台江区校级期末）如图，长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形，相关数据图中所示，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．16B．18C．20D．22
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据长方形长与宽之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣9×小长方形的面积，即可求出结论．
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
依题意，得：x+4y=9x−y=4，
解得：x=5y=1，
∴S阴影＝9×（4+3y）﹣9×xy＝18．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式3-3】（2022•苏州模拟）小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，求小长方形的面积．
【分析】设小长方形的宽为xcm，长为ycm，根据图1中大长方形的长、图2中大正方形的边长的不同表示方法得出方程组，解方程组求出小长方形的宽和长即可解决问题．
【解答】解：设小长方形的宽为x cm，长为y cm，
则图1中大长方形的长可以表示为5x cm或3y cm，图2中大正方形的边长可以表示为（2x+y）cm或（2y+3）cm，
那么可得出方程组为：5x=3y2x+y=2y+3，
解得：x=9y=15，
则小长方形的面积为：9×15＝135（cm2），
答：小长方形的面积为135cm2．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，观察图形得出等量关系，列出方程组是解题的关键．
【变式3-4】（2021春•滨江区校级期末）在长为10m，宽为8m的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．则花圃的面积为（ ）
A．16B．8C．32D．24
【分析】设每个小矩形花圃的长为xm，宽为ym，观察图形，根据矩形空地的长和宽，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出每个矩形小花圃的长和宽，再将其代入3xy中即可求出花圃的面积．
【解答】解：设每个小矩形花圃的长为xm，宽为ym，
依题意得：2x+y=10x+2y=8，
解得：x=4y=2，
∴3xy＝3×4×2＝24．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及生活中的平移现象，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式3-5】（2022春•东港区校级期中）用如图（1）中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如
图（2）所示的竖式和横式两种无盖纸盒．现仓库里有80张正方形纸板和160张长方形纸板，问两种纸盒
各做多少个，恰好将库存纸板用完？
【分析】设竖式纸盒做x个，横式纸盒做y个，根据现仓库里有80张正方形纸板和160张长方形纸板，列二元一次方程组，求解即可．
【解答】解：设竖式纸盒做x个，横式纸盒做y个，
根据题意，得4x+3y=160x+2y=80，
解得x=16y=32，
答：竖式纸盒做16个，横式纸盒做32个，恰好将库存纸板用完．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．
题型四 年龄问题
【例题4】（2022春•滨州期末）甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的2倍，则乙现在的年龄
是（ ）
A．10岁B．15岁C．20岁D．30岁
【分析】设甲现在的年龄是x岁，乙年龄为y岁，根据甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的2倍，列出方程组解答即可．
【解答】解：甲现在的年龄是x岁，乙年龄为y岁，
根据题意得：
x−y=15x−5=2(y−5)
解得：x=35y=20，
答：乙现在的年龄是20岁．
故选：C．
【点评】此题考查了二元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
【变式4-1】今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求今年哥哥和妹妹的年龄．设哥哥今年x岁，妹妹今年y岁，得到的方程组（ ）
A．x+2=3(y+2)，x=2y.B．x−2=3(y−2)，x=2y.
C．x+2=2(y+2)，x=3y．D．x−2=3(y−2)，x=3y．
【分析】设今年哥哥x岁，妹妹y岁，根据今年哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍，可得x＝2y，再根据2年前哥哥的年龄是妹妹年龄的3倍可得x﹣2＝3（y﹣2），进而可得答案．
【解答】解：设今年哥哥x岁，妹妹y岁，由题意得：
x=2yx−2=3(y−2)．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
【变式4-2】（2022春•封丘县月考）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，由题意：小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，
由题意得：y=x+23y+5=2(x+5)+8，
解得：x=10y=33，
答：大头儿子现在的年龄为10岁．
【变式4-3】（2021•无锡模拟）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是多少岁？
【分析】设小民爷爷是x岁，小民是y岁，根据爷爷及小民年龄之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设小民爷爷是x岁，小民是y岁，
依题意得：x−y=y+40x+(x−y)=125，
解得：x=70y=15．
答：小民爷爷是70岁．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式4-4】（2022秋•汉寿县期末）小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是多少岁？
【分析】设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，根据题意可得等量关系：老师今年的年龄−学生今年的年龄＝学生今年的年龄﹣3；老师42岁−老师今年的年龄＝老师今年的年龄−学生今年的年龄，根据等量关系列出方程，即可解答．
【解答】解：设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，
由题意得：y−x=x−342−y=y−x，
解得：x=16y=29，
答：数学老师今年的年龄是29岁，
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
【变式4-5】（2022•南陵县自主招生）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差．
【分析】甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意：甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，列出二元一次方程组，即可解决问题．
【解答】解：甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，
由题意可得：x−y=y−10x−y=25−x，
即x−2y=−102x−y=25，
由此可得，3（x﹣y）＝15，
∴x﹣y＝5，
即甲、乙现在的年龄的差为5岁．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
题型五 分段计费问题
【例题5】为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节约用水的目的，规定：每户居民每月用水不超过15m3时，按基本价格收费；超过15m3时，不超过的部分仍按基本价格收费，超过的部分要加价收费，该市某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示：
（1）求该市居民用水的两种收费价格；
（2）若该居民6月份交水费80元，那么该居民这个月水量为多少m3．
【分析】（1）分两种情况：当x＜6时；当x＞6时；求得用户用水为x立方米时的水费；
先判断这个月一定超过15立方米，再根据等量关系：15立方米的水费+超过15立方米的水费=80元，列出方程求解即可.
【解答】解：（1）设基本水费价格为：x元/m3，超过的部分水费价格为：y元/m3，
15x+y=5015x+5y=70， 解得： x=3y=5，
答：基本水费价格为：3元/m3，超过的部分水费价格为：5元/m3；
（2）∵3×15=45＜80（元），
∴这个月一定超过15立方米，
则15×3+5（a﹣15）=80， 解得：a=22．
答：这个月该用户用水22立方米．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
【变式5-1】某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另行收费，甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了20元”；乙说：“我乘这种出租车走了23千米，付了38元”．请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？
【分析】首先根据题意设出未知数，找出其中的相等关系：①出租车走了11千米，付了20元；
②出租车走了23千米，付了38元，列出方程组，解出得到答案.
【解答】解：设出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，
由题意得：x+(11−3)y=20x+(23−3)y=38
解得：x=8y=1.5
答：出租车的起步价是8元，超过3千米后，每千米的车费是1.5元．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
【变式5-2】先阅读下列一段文字，然后解答问题．
某运输部分规定：办理托运，当物品的重量不超过16kg时，需付基础费30元和保险费a元；为限制过重物品的托运，当物品的重量超过16kg时，除了付以上基础费和保险费外，超过部分每千克还需付b元超重费．设某件物品的重量为x（kg）．
当x≤16时，支付费用为 元（用含a的代数式表示）；当x＞16时，支付费用
为 元（用含x和a，b的代数式表示）；
（2）甲、乙两人各托运一次物品，物品的重量和支付费用如表所示：
试根据以上提供的信息确定a，b的值．
【分析】（1）当x≤16时，只需付基础费30元+保险费a元，所以支付费用为（a+30）元；当x＞16时，需付费用为基础费30元+保险费a元+超重费，即[a+30+（x﹣16）b]元．
（2）结合表格，根据当x＞16时，需付费用为基础费30元+保险费a元+超重费，列方程组求解．
【解答】解：（1）当x≤16时，支付的费用为：a+30；
当x＞16时，支付的费用为：a+30+（x﹣16）b．
故答案为：a+30，a+30+（x﹣16）b；
（2）①由题意得a+30+(18−16)b=38a+30+(25−16)b=53，
解得：a=267b=157．
【点评】本题考查了二元一次方程组，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
【变式5-3】（2022秋•宣州区期末）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）
（1）已知陈女士家三月份用电256度，缴纳电费154.56元，四月份用电318度，缴纳电费195.48元请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值．
（2）5月份开始用电增多，陈女士缴纳电费280元，求陈女士家5月份的用电量．
【分析】（1）根据各档的电费价格和所用的电数以及所缴纳电费，列出方程组，进行求解即可；
（2）根据题意先判断出陈女士所用的电所在的档，再设陈女士家五月份用电量为m度，根据价格表列出等式，求出m的值即可．
【解答】解：（1）由题意得：180a+(256−180)b=154.56180a+(318−180)b=195.48，
解得：a=0.58b=0.66，
答：a的值是0.58，b的值是0.66；
（2）∵180×0.58+（400﹣180）×0.66＝249.6＜280，
∴5月份陈女士家用电量超过400度．
设陈女士家五月份用电量为m度，根据题意得：
249.6+（m﹣400）×0.95＝280，
解得：m＝432
答：陈女士家5月份的用电量为432度．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
【变式5-4】（2021春•肥城市期末）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过15吨（含15吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过15吨时，超过部分每吨按市场调节价收费．小明家1月份用水23吨，交水费88.5元，2月份用水19吨，交水费70.5元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少？
（2）小明家3月份用水25吨，他家应交水费多少元？
【分析】（1）设每吨水的政府补贴优惠价是x元，市场调节价是y元，根据“小明家1月份用水23吨，交水费88.5元，2月份用水19吨，交水费70.5元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价；
（2）利用小明家3月份应交水费＝15×3.5+超过15吨的部分×4.5，即可求出小明家3月份应交水费的金额．
【解答】解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价是x元，市场调节价是y元，
依题意得：15x+(23−15)y=88.515x+(19−15)y=70.5，
解得：x=3.5y=4.5．
答：每吨水的政府补贴优惠价是3.5元，市场调节价是4.5元．
（2）15×3.5+（25﹣15）×4.5
＝15×3.5+10×4.5
＝52.5+45
＝97.5（元）．
答：小明家3月份用水25吨，他家应交水费97.5元．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
题型六 分配问题
【例题6】（2022春•利津县期末）某厂第二车间的人数比第一车间的人数的45少30人．如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间的人数就是第一车间的34．问这两个车间原来各有多少人？设第一车间原来有x人，第二车间原来有y人，依题意可得（ ）
A．y=45x−30y=34(x−10) B．y=45x+30y+10=34(x−10)
C．y=45x−30y=34x−10 D．y=45x−30y+10=34(x−10)
【分析】根据题意可知，第二车间的人数＝第一车间的人数×45−30，（第一车间﹣10）×34=第二车间+10，根据这两个等量关系，可列方程组．
【解答】解：设第一车间的人数是x人，第二车间的人数是y人．依题意有：
y=45x−30y+10=34(x−10)，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程组．
【变式6-1】某抗洪救灾小组A地段28人，B地段有15人，现又调来29人分配在A、B两个地段，要求使A地段的人数是B地段人数的2倍，则调往A地段和B地段的人数分别为 ．
【分析】设调往A地段x人，B地段y人，根据总共调来29人；A地段的人数是B地段人数的2倍，可得出方程组，解出即可．
【解答】解：设调往A地段x人，B地段y人，
由题意得，x+y=2928+x=2(15+y)，
解得x=20y=9．
所以调往A、B地段分别是20人，9人．
故答案为：20，9．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，难度一般．
【变式6-2】某校师生共100人到两个车间参加劳动，到第一车间的人数比到第二车间的人数两倍少8人，到两个车间的人数分别 ．
【分析】根据题意可知此题存在两个等量关系，即第一车间的人数+第二车间的人数＝100人，第一车间的人数＝第二车间的人数两倍﹣8，根据这两个等量关系可列出方程组．
【解答】解：设到第一车间的人数为x人，到第二车间的人数为y人，
则可列方程组为x+y=100x=2y−8，
解得x=64y=36
答：到第一、第二车间的人数分别为64人和36人．
故填64，36．
【点评】解题关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．特别是第一车间的人数＝第二车间的人数两倍﹣8这个等量关系式．
【变式6-3】（2021秋•香坊区校级期中）某车间有2个小组，甲组是乙组人数的2倍，若从甲组调8人到乙组，那么甲组人数比乙组人数的一半还多6人，则原来乙组的人数为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】设原来乙组有x人，甲组有y人，由题意：甲组是乙组人数的2倍，若从甲组调8人到乙组，那么甲组人数比乙组人数的一半还多6人，列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设原来乙组有x人，甲组有y人，
依题意，得：y=2xy−8=12(x+8)+6，
解得：x=12y=24，
即原来乙组有12人，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式6-4】某厂第二车间的人数比第一车间的人数的45少30人．如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间就是第一车间的34．问这两个车间各有多少人？
【分析】根据题意可知，第二车间的人数＝第一车间的人数×45−30，（第一车间﹣10）×34=第二车间+10，根据这两个等量关系，可列方程组．
【解答】解：设第一车间的人数是x人，第二车间的人数是y人．依题意有：
y=45x−3034(x−10)=y+10，
解得x=250y=170．
答：第一车间有250人，第二车间有170人．
【点评】注意要根据题意给出的等量关系第二车间的人数＝第一车间的人数×45−30，（第一车间﹣10）×34=第二车间+10，来列出方程组，计算出的数据要符合现实．
【变式6-5】定安县服装厂第二车间的人数比第一车间的人数的2倍少10人．如果从第二车间调5人到第一车间后，两个车间的人数一样多．问这两个车间各有多少人？
【分析】设第一车间原来有x个工人，第二车间原来有y个工人．根据“第二车间工人人数比第一车间工人人数的2倍少10人，若从第二车间抽调5人到第一车间，那么两个车间的人数一样多”列出方程组并解答．
【解答】解：设第一车间原来有x个工人，第二车间原来有y个工人．
依题意得：y=2x−10y−5=x+5，
解得：x=20y=30．
答：第一车间20人，第二车间30人．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
题型七 银行利率问题
【例题7】（2021秋•郫都区校级月考）某人善于理财，她以两种方式共储蓄1000元．一种储蓄的年利率为3%，另一种储蓄的年利率为4%，一年后本息和为1035元（不考虑利息税），则两种储蓄的存款分别为（ ）
A．400元，600元B．500元，500元
C．300元，700元D．800元，200元
【分析】设年利率为3%的储蓄存了x元，年利率为4%的储蓄存了y元，根据“两种储蓄共存了1000元，且一年后本息和为1035元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出两种储蓄的存款金额．
【解答】解：设年利率为3%的储蓄存了x元，年利率为4%的储蓄存了y元，
依题意得：x+y=1000(1+3%)x+(1+4%)y=1035，
解得：x=500y=500．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式7-1】小张以两种形式共储蓄了5000元，假设第一种的年利率为3.7%，第二种的年利率为2.25%，一年后得到利息156元，那么小张以第一种形式储蓄的钱数是（ ）
A．2000元B．2500元C．3000元D．3500元
【分析】可以设第一种储蓄的钱数为x元，第二种为y元，根据本金×利率＝利息及两种储蓄共5000元，可以列出两个方程，求方程组的解即可．
【解答】解：设第一种储蓄的钱数为x元，第二种为y元，根据题意得：
x+y=50003.7%x+2.25%y=156，
解得：x=3000y=2000，
即第一种储蓄的钱数为3000元，第二种储蓄为2000元．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
【变式7-2】某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，还贷期间每年需付出8.42万元利息．已知甲种贷款每年的利率为12%，乙种贷款每年的利率为13%，则该公司乙种贷款的数额 万元．
【分析】设该公司甲种贷款的数额为x万元，乙种贷款的数额为y万元，根据两种贷款共68万元且每年需付出8.42万元利息，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设该公司甲种贷款的数额为x万元，乙种贷款的数额为y万元，
依题意，得：x+y=6812%x+13%y=8.42，
解得：x=42y=26．
故答案为：26．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式7-3】（2021春•荆州期末）某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，每年需付出3.2万元利息．已知甲种贷款每年的利率为4.5%，乙种贷款每年的利率为5%，则该公司申请的甲种贷款的数额为 万元．
【分析】设该公司申请的甲种贷款的数额为x万元，申请的乙种贷款的数额为y万元，根据该公司申请的甲、乙两种贷款共68万元且每年需付出3.2万元利息，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设该公司申请的甲种贷款的数额为x万元，申请的乙种贷款的数额为y万元，
依题意得：x+y=684.5%x+5%y=3.2，
解得：x=40y=28．
故答案为：40．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式7-4】李红去年在中国农业银行以甲、乙两种存款形式总共储蓄了8000元人民币．其中甲种储蓄的年利率为10%，乙种储蓄的年利率为12%，一年后共得利息860元整．问李红的甲、乙两种储蓄各是多少元？
【分析】设甲种储蓄存储x元，乙种储蓄存储y元，根据两种存储一共存款8000元，结合利息＝本金×年利率，列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设甲种储蓄存储x元，乙种储蓄存储y元，
根据题意得：x+y=800010%x+12%y=860，
解得：x=5000y=3000；
答：甲种储蓄存储5000元，乙种储蓄存储3000元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用；找出等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
【变式7-5】某人以两种形式一共储蓄了8000元人民币，其中甲种储蓄的年利率为10%，乙种储蓄的年利率为12%，一年后共得利息860元整，问甲、乙两种储蓄存储各多少元？
【分析】设甲种储蓄存储x元，乙种储蓄存储y元，根据两种存储一共存款8000元结合利息＝本金×年利率即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲种储蓄存储x元，乙种储蓄存储y元，
根据题意得：x+y=800010%x+12%y=860，
解得：x=5000y=3000．
答：甲种储蓄存储5000元，乙种储蓄存储3000元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据数量关系利息＝本金×年利率结合两种存储一共存款8000元列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
题型八 图表信息问题
【例题8】（2021秋•平远县期末）梅州金柚，声名远播，今年又是一个丰收年．某经销商为了打开销路，对1000个金柚进行打包优惠出售．打包方式及售价如图．假设用这两种打包方式恰好装完全部柚子．当销售总收入为7280元时．
（1）若这批金柚全部售完，请问纸盒装共包装了多少箱，编织袋装共包装了多少袋？
（2）若该经销商留下b（b＞0）箱纸盒装送人，其余纸盒装全部售出，求b的值．
【分析】（1）纸盒装共包装了x箱，编织袋装共包装y 袋，列出方程组计算可得答案；
（2）设纸盒装共包装了m箱，编织袋装共包装m 袋，根据销售总收入为7280元列方程求解即可．
【解答】（1）设纸盒装共包装了x箱，编织袋装共包装y 袋，
由题意，得8x+18y=100064x+126y=7280，
解得：x=35y=40，
答：纸盒装共包装了35箱，编织袋装共包装了40袋．
（2）设纸盒装共包装了m箱，编织袋装共包装n袋，
由8m+18n＝1000，可得 m=1000−18n8=125−94n，
由题意得，64×(125−94n−b)+126n=7280，
解得：n＝40−329b，
∵m，n，b都是整数，且m≥0，n＞0，b＞0，
∴b＝9，m＝107，n＝8，
∴b的值为9．
【点评】本题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解题目所述的意思，转化为方程思想求解，难度一般．
【变式8-1】（2022秋•南关区校级月考）根据小亮与小丽的一段对话，求笔和笔记本的单价．
【分析】设笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，利用总价＝单价×数量，结合小丽两次购买笔和笔记本的数量及总价，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，
依题意得：4x+5y=468x+4y=44，
解得：x=1.5y=8．
答：笔的单价为1.5元，笔记本的单价为8元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式8-2】（2022春•潍坊期中）在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某景区游玩，如图是购买门票时，小明与他爸爸的对话，试根据图中的信息，解答下列问题：
（1）他们共去了几个成人，几个学生？
（2）小明想要换哪种方式购票？该购票方式是否更合算？请通过计算说明．
【分析】（1）设去了x个成人，去了y个学生，根据爸爸说的话，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）计算团体票所需费用，和400元比较即可求解．
【解答】解：（1）设去了x个成人，去了y个学生，
依题意得：x+y=1440x+0.5×40y=400，
解得：x=6y=8，
答：他们共去了6个成人，8个学生．
（2）小明想要换团体票购票方式购票，该购票方式更合算，理由如下：
若按团体票购票：16×40×0.6＝384（元），
∵384＜400，
∴按团体票购票更省钱．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式8-3】（2022秋•崂山区校级期末）某校准备组织学生到潍坊进行社会实践活动，为便于管理，所有人员必须乘坐同一列高铁，高铁单程票价格如下表所示，二等座学生票可打7.5折．若所有人员都买一等座单程火车票，共需花费5395元；若所有人员都买二等座单程火车票，在学生享受购票折扣后，总票款为2730元．
（1）参加社会实践活动的老师与学生各有多少人？
（2）若二等座火车票只能买到30张，则如何购票最省钱？此时总票款是多少元？
【分析】（1）设参加社会实践活动的老师有x人，学生有y人，由题意：二等座学生票可打7.5折．若所有人员都买一等座单程火车票，共需花费5395元；若所有人员都买二等座单程火车票，在学生享受购票折扣后，总票款为2730元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）由二等座学生票可打7.5折，且学生为50人，即可得出最省钱的购票方案．
【解答】解：（1）设参加社会实践活动的老师有x人，学生有y人，
由题意得：(x+y)×83=539552x+52×0.75y=2730，
解得：x=15y=50，
答：参加社会实践活动的老师有15人，学生有50人；
（2）若二等座火车票只能买到30张，且30张二等座火车票都为学生票，
则需要购买（15+50﹣30）张一等座火车票最省钱，
此时总票款为：30×52×0.75+35×83＝4075（元），
答：30张二等座火车票都为学生票，再购买35张一等座火车票最省钱，此时总票款为4075元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式8-4】（2022秋•中原区校级期中）请用二元一次方程组解决问题：
某校八年级（1）班和（2）班的学生一块到航天科普教育基地进行社会大课堂活动，两班学生共104人，其中（1）班学生比（2）班学生少，教育基地门票价格如下：
原计划两班都以班为单位购票，则一共应付1136元，请回答下列问题：
（1）八年级（1）班有多少学生？
（2）你作为组织者如何购票最省钱？比原计划省多少钱？
【分析】（1）根据表格中的数据和两个班人数之间的关系可以列出相应的方程组，从而可以得到八年级（1）班的人数；
（2）根据表格中的数据和（1）中的结果，可知两个班一起购买最省钱，从而可以求得可以省多少钱．
【解答】解：（1）设八年级（1）班有x人，则八年级（2）班有y人，
∵x＜y，
∴x+y=10412x+10y=1136，
∴x=48y=56，
答：八年级（1）有48人；
（2）两个班一起购票最省钱，
1136﹣8×104＝1136﹣832＝304（元），
即可以节省304元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的知识解答．
【变式8-5】（2022春•南湖区校级期中）某市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表：
经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6600元．请回答以下问题：
（1）甲、乙两个乐团各有多少名学生？
（2）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．
【分析】（1）设甲、乙个乐团各有x名、y名学生准备参加演出．根据题意，显然各自购买时，甲乐团每套服装是100元，乙乐团每套服装是80元．根据等量关系：①共75人；②分别单独购买服装，一共应付6600元，列方程组求解即可；
（2）利用甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，列出方程探讨答案即可．
【解答】解：（1）设甲乐团有x名；乙乐团有y名，
根据题意，得x+y=75100x+80y=6600，
解得x=30y=45，
答：甲乐团有30名；乙乐团有45名；
（2）由题意，得3a+5b＝65，变形得b＝13−35a，，
∵每位乐团的人数不少于5人且人数为正整数，
∴a=5b=10或a=10b=7，
∴共有两种方案：①从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人；
②从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调7人．
【点评】本题考查二元一次方程组与二元一次方程解实际应用题，读懂题意，准确找到等量关系列方程是解决问题的关键．
题型九 解决方案决策问题
【例题9】（2021春•越秀区校级期中）为了丰富学生的课外活动，学校决定购进5副羽毛球拍和m只羽毛球，已知一副羽毛球拍的价格是羽毛球的16倍少2元，用50元可以买一副羽毛球拍和10只羽毛球：
（1）一副羽毛球拍和一只羽毛球的价格各是多少？
（2）甲乙两商店举行促销活动，甲商店给出的优惠是：所有商品打八折；乙商店的优惠是：买一副羽毛球拍送4只羽毛球．求当m＝30时，学校购买这批羽毛球拍和羽毛球最少需要多少元？
【分析】（1）设一副羽毛球拍的价格是x元，一只羽毛球的价格是y元，根据“一副羽毛球拍的价格是一只羽毛球的价格的116倍少2元，用50元可以买一副羽毛球拍和10只羽毛球”，列出方程组，解方程组即可；
（2）当m＝30时，分别求得在两商店的消费额以及在两商店混合买的消费额，然后比较大小，从而得到答案．
【解答】解：（1）设一副羽毛球拍的价格是x元，一只羽毛球的价格是y元，
由题意得：x=16y−2x+10y=50，
解答：x=30y=2，
答：一副羽毛球拍的价格是30元，一只羽毛球的价格是2元；
（2）当m＝30时，
甲商店消费额为：0.8×（5×30+2×30）＝168（元），
乙商店消费额为：5×30+2×（30﹣5×4）＝170（元），
从甲商店买羽毛球，从乙商店买羽毛球拍，消费额为：（30﹣5×4）×2×0.8+5×30＝166（元），
∵166＜168＜170，
∴当m＝30时，学校购买这批羽毛球拍和羽毛球最少需要166元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式9-1】（2022秋•咸阳校级期末）元旦当天，学校准备给老师购买一批围巾和袜子作为节日礼物，已知一条围巾比一仅袜子的标价多22元，买一条围巾的钱可以买6双袜子还剩2元，甲商场给出的节日优惠为：每购买5条围巾，送2双袜子；乙商场给出的节日优惠为：购买围巾超过10条，则袜子打五折．
（1）用二元一次方程组的知识求围巾和袜子的单价；
（2）学校计划购买围巾50条，袜子25双，只选择其中一家商场，你认为学校应该到哪个商场购买更合算？
【分析】（1）设围巾的单价为x元，袜子的单价为y元，由题意：一条围巾比一双袜子的标价多22元，买一条围巾的钱可以买6双袜子还剩2元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）分别求出学校在甲、乙商场购买围巾50条，袜子25双的费用，再比较即可．
【解答】解：（1）设围巾的单价为x元，袜子的单价为y元，
由题意得：x=y+22x=6y+2，
解得：x=26y=4，
答：围巾的单价为26元，袜子的单价为4元；
（2）去甲商场购买50条围巾，送20双袜子，费用为：50×26+（25﹣20）×4＝1310（元）；
去乙商场购买50条围巾，袜子25双，费用为：50×26+25×4×0.5＝1350（元），
∵1310＜1350，
∴学校应该到甲商场购买更合算．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式9-2】（2022秋•城阳区期末）为保障师生健康安全，学校计划从商场购进一批免洗手消毒液和医用口罩．两商场的标价相同，如果按照商场标价购买，购买60瓶免洗手消毒液和20包医用口罩，共需花费2100元，如果购买45瓶免洗手消毒液和40包医用口罩，共需花费1950元．
（1）求商场每瓶免洗手消毒液和每包医用口罩的标价分别是多少元？
（2）甲乙商场开展促销活动：甲商场，所有购买商品均打八折；乙商场，商品按照标价销售，每购买20瓶免洗手消毒液送10包医用口罩．某校计划购进免洗手消毒液80瓶，50包医用口罩，到哪家商场购买更合算？请说明理由．
【分析】（1）设商场每瓶免洗手消毒液的标价为x元，每包医用口罩的标价为y元，由题意：购买60瓶免洗手消毒液和20包医用口罩，共需花费2100元，如果购买45瓶免洗手消毒液和40包医用口罩，共需花费1950元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）分别求出到甲商场购买的花费和到乙商场购买的花费，再比较即可．
【解答】解：（1）设商场每瓶免洗手消毒液的标价为x元，每包医用口罩的标价为y元，
由题意得：60x+20y=210045x+40y=1950，
解得：x=30y=15，
答：商场每瓶免洗手消毒液的标价为30元，每包医用口罩的标价为15元；
（2）到甲商场购买更合算，理由如下：
到甲商场购买的花费为：（30×80+15×50）×0.8＝2520（元），
到乙商场购买的花费为：30×80+15×（50﹣80÷20×10）＝2550（元），
∵2520＜2550，
∴到甲商场购买更合算．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式9-3】（2022秋•汝城县校级期末）某中学八年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学阳光体育课间使用，共买了3个篮球和5个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜30元．
（1）求篮球和排球的单价各是多少吗？
（2）商店里搞活动，有两种套餐，①套装打折：五个篮球和五个排球为一套装，套装打八折；②满减活动：999减100，1999减200；两种活动不重复参与，学校打算买15个篮球，13个排球作为奖品，请问如何安排更划算？
【分析】（1）设篮球的单价是x元，排球的单价为y元，根据“共买了3个篮球和5个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜30元”，列出关于x和y的二元一次方程组，解之即可，
（2）根据“商店里搞活动，有两种套餐，①套装打折：五个篮球和五个排球为一套装，套装打八折；②满减活动：999减100，1999减200；两种活动不重复参与，学校打算买15个篮球，13个排球作为奖品”，分别列出按照套装①和套装②购买所需付款，即可求得答案．
【解答】解：（1）设篮球的单价是x元，排球的单价为y元，
根据题意得：
x−y=303x+5y=570，
解得：
x=90y=60，
答：篮球的单价是90元，排球的单价为60元，
（2）按照套装①打折，
买15个篮球和15个排球需付款：15×90×0.8+15×60×0.8＝1800（元），
按照套装②打折，
15个篮球需付款：15×90＝1350（元），
13个排球需付款：13×60＝780（元），
共需付款：1350+780﹣200＝1930（元），
即按照套装①购买更划算，
答：按照套装①购买更划算．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系，列出二元一次方程是解题的关键．
【变式9-4】（2022秋•越秀区校级期中）商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利润＝（售价﹣进价）×销售量]
（1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）现商场决定再用30万同时购进A，B两种设备，共有哪几种进货方案？
【分析】（1）设购进A品牌的教学设备x套，B品牌的教学设备y套，根据购进两种教学设备的总费用及全部销售后获得的总毛利润，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设可以购进m套A品牌的教学设备，n套B品牌的教学设备，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各进货方案．
【解答】解：（1）设购进A品牌的教学设备x套，B品牌的教学设备y套，
依题意得：1.5x+1.2y=66(1.65−1.5)x+(1.4−1.2)y=9，
解得：x=20y=30．
答：购进A品牌的教学设备20套，B品牌的教学设备30套；
（2）设可以购进m套A品牌的教学设备，n套B品牌的教学设备，
依题意得：1.5m+1.2n＝30，
∴m＝20−45n．
又∵m，n均为正整数，
∴m=16n=5或m=12n=10或m=8n=15或m=4n=20，
∴共有4种进货方案，
方案1：购进16套A品牌的教学设备，5套B品牌的教学设备；
方案2：购进12套A品牌的教学设备，10套B品牌的教学设备；
方案3：购进8套A品牌的教学设备，15套B品牌的教学设备；
方案4：购进4套A品牌的教学设备，20套B品牌的教学设备．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程（或二元一次方程）是解题的关键．
【变式9-5】（2022春•辰溪县期末）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来表，除了医务人员主动请要走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
（2）现有31吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
【分析】（1）设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，根据两次满载的运输情况表格中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，根据租用的客车一次运载31吨物资且每辆均全部装满货物，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案．
【解答】解：（1）设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，
依题意得：2x+y=10x+2y=11，
解得：x=3y=4．
答：甲种货车每辆能装货3吨，乙种货车每辆能装货4吨．
（2）设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，
依题意得：3m+4n＝31，
∴n=31−3m4．
又∵m，n均为正整数，
∴m=1n=7或m=5y=4或m=9n=1，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用甲种货车1辆，乙种货车7辆；
方案2：租用甲种货车5辆，乙种货车4辆；
方案3：租用甲种货车9辆，乙种货车1辆．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
解题技巧提炼
球赛积分问题等量关系式：
胜局场数+平局场数+负局场数=总场数．
胜局积分+平局积分+负局积分=总积分．
解题技巧提炼
增长率（下降率）或百分比问题等量关系式：
（1）增长率问题：原有量×（1+增长率）=增长后的量．
（2）下降率问题：原有量×（1－下降率）=下降后的量．
解题技巧提炼
利用二元一次方程组解决几何图形问题，必须要掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式及对应关系，要善于从图形中获取解题所需的信息,从而得到等量关系式建立方程进而求解．
解题技巧提炼
二元一次方程组解决年龄问题的基本关系是抓住两个人年龄的增长数相等。年龄问题的特点是：时间发生变化，年龄在增长，但是年龄差始终不变．年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用，解题时，我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键.
月份
用水量/m3
水费/元
4
16
50
5
20
70
解题技巧提炼
列二元一次方程组解分段计费问题，常见的等量关系有：总收费=标准内收费＋标准外收费，解题的关键是弄清某次收费包含哪几段费用.
物品的重量（kg）
支付费用（元）
18
38
25
53
阶梯
电量x（单位：度）
电费价格（单位：元/度）
一档
0＜x≤180
a
二档
180＜x≤400
b
三档
x＞400
0.95
解题技巧提炼
分配问题即分配前后总量不变，分配后两量之间有新的倍比关系．解这类题要注意分析分配后两量之间的关系，从而找到等量关系．
解题技巧提炼
银行储蓄问题：
①利息=本金×利率×期数；
②本息和（本利和）=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×（1+利率×期数）；
③实得利息=利息-利息税； ④利息税=利息×利息税率；
⑤年利率=月利率×12．
解题技巧提炼
解决图表信息问题，关键是读懂题意，从图表中获取有用的信息，然后对这些信息进行加工处理，并联系相关的数学知识找出相等关系，从而实现信息的转换，顺利地解决问题．
青岛北﹣潍坊票价
一等座
二等座
83（元）
52（元）
购票张数
1～50张
51～100张
100张以上
每张票的价格
12元
10元
8元
购买服装的套数
1～39套（含39套）
40～79套（含79套）
80套及以上
每套服装的价格
100元
80元
60元
解题技巧提炼
解决方案决首先要列举出所有可能的方案，再按照题中的要求分别求出各种方案的具体结果，从中选择最优方案．
A
B
进价（万元/套）
1.5
1.2
售价（万元/套）
1.65
1.4
甲种货车（辆）
乙种货车（辆）
物资总量（吨）
第一次
2
1
10
第二次
1
2
11