雷州市第二中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份雷州市第二中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)，共9页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设全集则( )
A.B.C.D.
2．设复数,且,则实数t等于( )
A.B.C.D.
3．在棱长为1的正方体中,直线与平面所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
4．已知直线,,若,则实数( )
A.或1B.0或1C.1D.
5．直线与圆相切,则实数b的值是( )
A.或12B.8或C.8或D.8或12
6．已知点F是抛物线的焦点,该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为4,则点A的坐标为( )
A.B.C.D.
7．在等比数列中,,,则数列的前10项和等于( )
A.2B.C.10D.5
8．已知椭圆的左焦点为,右顶点为A,上顶点为B.若,则椭圆的离心率是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．椭圆的焦距是4,则实数m的值可能为( )
A.5B.13C.8D.21
10．已知是首项为,公比为q的等比数列,是其前n项和,且,则( )
A.B.或2C.D.
11．已知函数的图象与直线有两个不同交点,则正实数a的取值可以是( )
A.2B.3C.4D.1
三、填空题
12．已知双曲线的离心率为,则___________.
13．若圆与圆的公共弦长为,则___________.
14．将石子摆成如图的梯形形状,各梯形里石子的个数为5,9,14,20,…,即构成一个数列,根据图形的构成,此数列的第n项即___________.
四、解答题
15．已知空间向量,.
（1）计算和;
（2）求与夹角的余弦值.
16．已知数列是一个等差数列,且,.
（1）求数列的通项公式;
（2）求数列的前n项和的最大值.
17．已知抛物线与直线相切.
（1）求抛物线C的方程;
（2）已知过点且不与x轴垂直的直线l与抛物线C交于A,B两点.若,求弦AB的中点到直线的距离.
18．如图,在四棱锥中,底面ABCD,,,,.
（1）求证:平面PAC.
（2）若平面DPC与平面PCA的夹角的余弦值为,求点A到平面PBC的距离.
19．对于无穷数列,“若存在,必有”,则称数列具有性质.
（1）若数列满足,判断数列是否具有性质?是否具有性质?
（2）对于无穷数列,设,求证:若数列具有性质,则T必为有限集;
（3）己知是各项均为正整数的数列,且既具有性质,又具有性质,是否存在正整数,使得,,,…,,…成等差数列.若存在,请加以证明;若不存在,说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：
2．答案：D
解析：
3．答案：C
解析：如图,连接交于O,直线与平面所成角就是直线与平面所成角,平面,
即为直线与平面所成角,设正方体的棱长为a,
,
故选:C.
4．答案：D
解析：当时,的斜率不存在,的斜率为0,此时,不合题意;
当时,由可得,解得,故选D.
5．答案：A
解析：因为圆的方程是,所以其圆心为,半径为,
又因为直线与圆相切,
所以,化简整理得:,则有,或,
解得:或,故选A.
6．答案：A
解析：抛物线的准线为,焦点,设点,由題意得,所以,所以,,从而点.
7．答案：D
解析：等比数列中,,,
,
数列的前10项和,
故选:D.
8．答案：B
解析：
9．答案：AB
解析：当焦点在x轴上时,;当焦点在y轴上时,,.
10．答案：ACD
解析：设数列的公比为q,显然,
由已知得,解得(舍去),
,,.
11．答案：BC
解析：
12．答案：
解析：双曲线的离心率,解得.故答案为:.
13．答案：1
解析：圆的圆心为,半径.
圆的圆心为,
半径,
两个圆的公共弦的方程为:,
解得:.
有,又,
解得:或(舍去)
故答案为:1.
14．答案：或
解析：结合图形可知,该数列的第n项.
15．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）
.
（2）,,
,
,
与b夹角的余弦值为.
16．答案：（1）见解析
（2）4
解析：（1）设数列的公差为d,由已知条件知解得,,所以.
（2）,
所以当时,取得最大值4.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）联立,化简得,即,
令,因为,解得,故抛物线C的方程为.
（2）注意到点即为抛物线C的焦点,设A的坐标为,B的坐标为,则,故,则弦AB的中点的横坐标是,
故弦AB的中点到直线的距离是.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）底面ABCD,平面ABCD,.
,.
又,平面PAC.
（2）设,取CD的中点E,易得三角形ADC是正三角形,,.
又底面ABCD,.故可建立如图所示的空间直角坐标系,
,,,,,,,,.
设平面PAC的一个法向量为,则
即.令,得.
同理得平面PDC的一个法向量为.
,.
又可求得平面PBC的一个法向量为,
点A到平面PBC的距离为.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）因为,
,但,所以数列不具有性质,
同理可得数列具有性质;
（2）因为数列具有性质,
所以一定存在一组最小的且,满足,即,
由性质的含义可得,,…,,,
所以数列中,从第k项开始的各项呈现周期性规律:
,,…,为一个周期中的各项,
所以数列中最多有个不同的项,
所以T最多有个元素,即T为有限集;
（3）因为数列具有性质,又具有性质,
所以存在,,使得,,
其中p,q分别是满足上述关系式的最小的正整数,
由性质,的含义可得,,
若,则取,可得,
若,则取,可得,
记,则对于,
有,,显然,
由性质,的含义可得:,,
所以
,
所以,
又p,q满足,的最小的正整数,
所以,,,
所以,,
所以,,
取,所以,若k是偶数,则,
若k是奇数,
则,
所以,,
所以,,,…,,…是公差为1的等差数列.