广东省湛江市雷州市第二中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集则（ ）
A． B． C． D．
2．设复数且,则实数t等于（ ）
A． B． C． D．
3．在棱长为1的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线,若，则实数（ ）
A．或1 B．0或1 C．1 D．
5．直线与圆相切，则实数b的值是（ ）
A．或12 B．8或 C．8或 D．8或12
6．已知点F是抛物线的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为4，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．在等比数列中，,则数列的前10项和等于（ ）
A．2 B． C．10 D．5
8．已知椭圆的左焦点为,右顶点为A，上顶点为B．若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．椭圆的焦距是4，则实数m的值可能为（ ）
A．5 B．13 C．8 D．21
10．已知是首项为，公比为q的等比数列，是其前n项和，且,则（ ）
A． B．或2 C． D．
11．已知函数的图象与直线有两个不同交点，则正实数a的取值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知双曲线的离心率为，则___________．
13．若圆与圆的公共弦长为,则___________．
14．将石子摆成如图的梯形形状，各梯形里石子的个数为5,9,14,20，…，即构成一个数列，根据图形的构成，此数列的第n项即___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知空间向量．
（1）计算和;
（2）求与夹角的余弦值．
16．（本小题满分15分）
已知数列是一个等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和的最大值．
17．（本小题满分15分）
已知抛物线与直线相切．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知过点且不与x轴垂直的直线l与抛物线C交于A,B两点．若，求弦的中点到直线的距离．
18．（本小题满分17分）
如图，在四棱锥中，底面．
（1）求证：平面．
（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求点A到平面的距离．
19．（本小题满分17分）
对于无穷数列,“若存在,必有”,则称数列具有性质．
（1）若数列满足，判断数列是否具有性质？是否具有性质？
（2）对于无穷数列,设,求证：若数列具有性质，则T必为有限集；
（3）己知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，使得成等差数列．若存在，请加以证明；若不存在，说明理由．
2023-2024学年度第一学期高二年级开学考试
数学试卷答案
一、单项选择题：1． C．2．D 3．C 4．D 5．A 6．A 7．D 8．B
二、多项选择题：9．AB 10．ACD 11．BC
三、填空题：12． 13．1 14．或
四、解答题：
15．（1）
．
（2），
,
与夹角的余弦值为．
16．（1）设数列的公差为d，由已知条件知解得,所以．
（2）,
所以当时，取得最大值4．
17．解析：（1）联立，化简得，即，
令，因为,解得，故抛物线C的方程为．
（2）注意到点即为抛物线C的焦点，设A的坐标为的坐标为,则，故，则弦的中点的横坐标是，
故弦的中点到直线的距离是．
18．解析：（1）底面平面．
．
又平面．
（2）设,取的中点E,易得三角形是正三角形，．
又底面．故可建立如图所示的空间直角坐标系，．
设平面的一个法向量为，则
即令，得．
同理得平面的一个法向量为．
，．
又可求得平面的一个法向量为，
∴点A到平面的距离为．
19．（1）因为，
,但，所以数列不具有性质,
同理可得数列具有性质;
（2）因为数列具有性质,
所以一定存在一组最小的且,满足,即,
由性质的含义可得，
所以数列中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：
为一个周期中的各项，
所以数列中最多有个不同的项，
所以T最多有个元素，即T为有限集；
（3）因为数列具有性质，又具有性质，
所以存在,使得,
其中p,q分别是满足上述关系式的最小的正整数，
由性质的含义可得,
若,则取,可得,
若,则取,可得,
记,则对于,
有,显然,
由性质的含义可得：,
所以
,
所以,
又满足的最小的正整数，
所以,
所以,
所以，
取,所以，若k是偶数，则,
若k是奇数，
则,
所以，,
所以是公差为1的等差数列．