高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式课后作业题

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1．设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产eq \f(1,2)，乙、丙两厂各生产eq \f(1,4)，而且各厂的次品率依次为2%,2%,4%，现从中任取一件，则取到次品的概率为( )
A．0.025 B．0.08 C．0.07 D．0.125
【答案】A
【详解】设A1，A2，A3分别表示甲、乙、丙工厂的产品，B表示次品，则P(A1)＝0.5，P(A2)＝P(A3)＝0.25，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.04，∴P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.02＋0.25×0.02＋0.25×0.04＝0.025.故选A.
2．（2021·湖北省团风中学高二月考）为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，，，，
由全概率公式可得.
3．（2021·江苏启东高二月考）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书. 到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为( )
A.eq \f(2,9) B.eq \f(3,8) C.eq \f(1,12) D.eq \f(5,8)
【答案】B
【详解】用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得P(A)＝eq \(∑,\s\up8(3),\s\d6(k＝1))P(Bk)P(A|Bk)＝eq \f(1,2)·eq \f(C\\al(2,4),C\\al(2,9))＋eq \f(1,5)·eq \f(C\\al(2,5),C\\al(2,9))＋eq \f(3,10)·eq \f(C\\al(2,5),C\\al(2,9))＝eq \f(8,36).
P(B1|A)＝eq \f(PB1PA|B1,PA)＝eq \f(\f(1,2)·\f(C\\al(2,4),C\\al(2,9)),PA)＝eq \f(3,36)÷eq \f(8,36)＝eq \f(3,8).故选B.
4. 某工厂生产的产品以100件为一批,假定每一批产品中的次品数最多不超过4件,且具有如下的概率:
现进行抽样检验,从每批中随机取出10件来检验,若发现其中有次品,则认为该批产品不合格,则一批产品通过检验的概率为( )

【答案】A
【详解】选A.以Ai表示一批产品中有i件次品,i=0,1,2,3,4,B表示通过检验,则由题意得,
P(A0)=0.1,P(B|A0)=1,P(A1)=0.2,P(B|A1)= C9910C10010=0.9,P(A2)=0.4,
P(B|A2)= C9810C10010 ≈0.809,P(A3)=0.2,P(B|A3)= C9710C10010 ≈0.727,P(A4)=0.1,P(B|A4)= C9610C10010≈0.652.
由全概率公式,得P(B)=∑i=04P(Ai)P(BAi)=0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814.
5. （2021·辽宁锦州市·高二月考）某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的45%,35%,20%,且各车间的次品率分别为4%,2%,5%,现从一批产品中检查出1个次品,则该次品由______车间生产的可能性最大( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.无法确定
【答案】A
【详解】选A.设A1,A2,A3表示产品来自甲、乙、丙车间,B表示产品为次品的事件,易知A1,A2,A3是样本空间Ω中的事件,且有P(A1)=0.45,P(A2)=0.35,P(A3)=0.2,
P(B|A1)=0.04,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.05.
由全概率公式得 P(B)=P(A1)P(B|A1)+
P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.45×0.04+0.35×0.02+0.2×0.05=0.035.
由贝叶斯公式得P(A1|B)=0.45×≈0.514,
P(A2|B)=0.35×≈0.200,P(A3|B)=0.20×≈0.286,
所以,该次品由甲车间生产的可能性最大.
6．（多选题）（2021·江苏无锡市高二月考）在某一季节,疾病D1的发病率为2%,病人中40%表现出症状S,疾病D2的发病率为5%,其中18%表现出症状S,疾病D3的发病率为0.5%,症状S 在病人中占60%.则( )
A.任意一位病人有症状S 的概率为0.02
B.病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C.病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D.病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
【答案】ABC
【详解】P(D1)=0.02,P(D2)=0.05,P(D3)=0.005,P(S|D1)=0.4,P(S|D2)=0.18,P(S|D3)=0.6,
由全概率公式得P(S)=∑i=13P(Di)P(S|Di)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02.
由贝叶斯公式得:P(D1|S)=P(D1)P(S|D1)P(S)=0.02×,
P(D2|S)=P(D2)P(S|D2)P(S)=0.05×,P(D3|S)=P(D3)P(S|D3)P(S)=0.005×
二、填空题
7．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________．
【答案】0.4
【详解】记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5.
所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，即这个选手过关的概率为0.4.
8．（2021·全国高二单元测）10个考签中有4个难签，3个同学参加抽签(不放回)，甲先抽，乙再抽，丙最后抽，则甲、乙、丙都抽到难签的概率为________．
【答案】eq \f(1,30)
【详解】设A，B，C分别表示甲、乙、丙都抽到难签，则P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)＝eq \f(4,10)×eq \f(3,9)×eq \f(2,8)＝eq \f(1,30).
9．（2021·全国高二课时练习）播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子、1.5%的三等种子、1%的四等种子．用一、二、三、四等种子结出的穗含有50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率为________．
【答案】0.4825
【详解】用B表示事件“这批种子任选一粒所结的穗含有50颗以上麦粒”．从这批种子中任取一粒为一、二、三、四等种子的事件分别记为A1，A2，A3，A4，则P(A1)＝95.5%， P(A2)＝2%，P(A3)＝1.5%， P(A4)＝1%，P(B|A1)＝0.5， P(B|A2)＝0.15，P(B|A3)＝0.1， P(B|A4)＝0.05，
所以
10．（2021·全国高二单元测）根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(eq \(A,\s\up6(－))|eq \(C,\s\up6(－)))＝0.95，现在对自然人群进行普查， 设被试验的人患有癌症的概率为0.005, 即P(C)＝0.005, 则P(C|A)＝______.(精确到0.001)
【答案】0.087
【详解】由题设，有P(eq \(C,\s\up6(－)))＝1－P(C)＝0.995，P(A|eq \(C,\s\up6(－)))＝1－P(eq \(A,\s\up6(－))|eq \(C,\s\up6(－)))＝0.05，
由贝叶斯公式，得P(C|A)＝eq \f(PA|CPC,PA|CPC＋PA|\(C,\s\up6(－))P\(C,\s\up6(－)))≈0.087.
三、解答题
11．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不放回抽样．求下列事件的概率：
(1)两只都是正品；(2)两只都是次品；
(3)正品、次品各一只；
(4)第二次取出的是次品．
【解析】设Ai＝{第i次取正品}，i＝1,2.
(1)两只都是正品，则
P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝eq \f(8,10)×eq \f(7,9)＝eq \f(28,45).
(2)两只都是次品，则
P(eq \(A,\s\up6(－))1eq \(A,\s\up6(－))2)＝P(eq \(A,\s\up6(－))1)P(eq \(A,\s\up6(－))2|eq \(A,\s\up6(－))1)＝eq \f(2,10)×eq \f(1,9)＝eq \f(1,45).
(3)一只是正品，一只是次品，则
P(A1eq \(A,\s\up6(－))2＋eq \(A,\s\up6(－))1A2)＝P(A1)P(eq \(A,\s\up6(－))2|A1)＋P(eq \(A,\s\up6(－))1)P(A2|eq \(A,\s\up6(－))1)＝eq \f(8,10)×eq \f(2,9)＋eq \f(2,10)×eq \f(8,9)＝eq \f(16,45).
(4)第二次取出的是次品，则
P(eq \(A,\s\up6(－))2)＝P(A1eq \(A,\s\up6(－))2＋eq \(A,\s\up6(－))1eq \(A,\s\up6(－))2)＝P(A1)P(eq \(A,\s\up6(－))2|A1)＋P(eq \(A,\s\up6(－))1)P(eq \(A,\s\up6(－))2|eq \(A,\s\up6(－))1)＝eq \f(8,10)×eq \f(2,9)＋eq \f(2,10)×eq \f(1,9)＝eq \f(1,5).
12．假定患有疾病{d1,d2,d3}中的某一个的人可能出现症状S=S1,S2,S3,S4中一个或多个,其中:
S1=食欲不振 S2=胸痛
S3=呼吸急促 S4=发热
现从20 000份患有疾病d1,d2,d3的病历卡中统计得到下列数据:
试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时,在没有别的可依据的诊断手段情况下,推测该病人患有这三种疾病中哪一种较合适?
【解析】 以A表示事件“患者出现S中的某些症状”,Di表示事件“患者患有疾病di”(i=1,2,3),由于该问题数据很多,用事件的频率近似作为概率,由统计数据可知,
PD1=7 75020 000=0.387 5,PD2=5 25020 000=0.262 5,
PD3=7 00020 000=0.35,PA|D1=7 5007 750≈0.967 7,
PA|D2=4 2005 250=0.8,PA|D3=3 5007 500=0.5,
所以PA=PD1PA|D1+PD2PA|D2+PD3PA|D3
=0.387 5×0.967 7+0.262 5×0.8+0.35×0.5≈0.76.
由贝叶斯公式可得,
PD1|A=PA|D1PD1PA=0.387 5×0.967 70.76≈0.493 4,
PD2|A=PA|D2PD2PA=0.262 5×≈0.276 3,
PD3|A=PA|D3PD3PA=0.35×≈0.230 3.
从而推测病人患有疾病d1较为合适.
一批产品中的次品数
0
1
2
3
4
概率
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
疾病
人数
出现S中一个或几个症状人数
d1
7 750
7 500
d2
5 250
4 200
d3
7 000
3 500