2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）专题3-3解三角形压轴综合小题-2

这是一份2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）专题3-3解三角形压轴综合小题-2，共23页。
题型07 最值型：角与对边互化面积型
【解题攻略】
【典例1-1】
（2023·全国·高三专题练习）
1．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】
（2022秋·黑龙江·高三哈尔滨三中校考）
2．在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】
（2023秋·辽宁铁岭·高三校考开学考试）
3．在中，内角的对边分别为，若，且，则面积的最大值为 .
【变式1-2】
（2023秋·广东珠海·高三校考开学考试）
4．已知，，分别为的三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为 .
【变式1-3】
（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）
5．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则面积的最大值为 ．
题型08 最值型：周长、边长范围
【解题攻略】
【典例1-1】
（2021上·河南濮阳·高三濮阳市油田第二高级中学校考阶段练习）
6．锐角中，内角的对边分别为，且满足，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】
（2023上·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）
7．设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．(1，9]B．(3，9]
C．(5，9]D．(7，9]
【变式1-1】
（2023下·高三单元测试）
8．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】
（2021·河北唐山·统考三模）
9．的内角，，的对边分别为，，，角的内角平分线交于点，若，，则的取值范围是 ．
【变式1-3】
（2023上·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）
10．中，若，则周长最大值为 ．
题型9 最值型：比值范围
【典例1-1】
（2022上·广西桂林·高三校考阶段练习）
11．在中，角所对应的边分别为，设的面积为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】
（2023上·江苏无锡·高三江苏省南菁高级中学校考阶段练习）
12．在锐角中，角的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】
（2023上·贵州黔东南·高三统考）
13．在锐角中，角的对边分别为，且的面积，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】
（2022·全国·高三专题练习）
14．已知的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 ．
【变式1-3】
（2022下·重庆·高三重庆市彭水第一中学校校考）
15．在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围是 ．
题型10 最值型：余弦定理齐次式
【典例1-1】
（2022·全国·高三课时练习）
16．锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A．(）B．(）
C．[)D．[，1)
【典例1-2】
（2020·全国·高三课时练习）
17．锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】
（2022·四川成都·二模（理））
18．已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】
（2022·全国·高三专题练习）
19．已知中，角的对边分别为．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】
（2020·河南·校联考二模）
20．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且BC边上的高为，则的最大值是 ．
题型11 最值型：正切
【解题攻略】
【典例1-1】
（2023上·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）
21．在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】
（2023下·云南保山·高三校考）
22．已知的三个内角分别为，，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】
（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）
23．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】
（2023上·全国·高三专题练习）
24．在锐角中，，则角的范围是 ，的取值范围为 .
【变式1-3】
（2023·全国·高三专题练习）
25．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最大值为 ．
注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论．
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
正切：1. ；
2.在三角形中，
参考答案：
1．B
【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【详解】由余弦定理可得，即，
当且仅当时，等号成立，故.
因此，面积的最大值为.
故选：B.
2．B
【分析】利用正弦定理边化角可化简已知等式求得，进而得到；利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面积公式即可求得结果.
【详解】由正弦定理得：，
，
，，，，，
，解得：；
由余弦定理得：，
（当且仅当时取等号），，
.
故选：B.
3．
【分析】由，得到，利用余弦定理得到，再利用余弦定理结合基本不等式得到，再利用三角形的面积求解.
【详解】解：因为，
所以，
由余弦定理得，
因为，
所以，
由余弦定理得，
则，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以面积的最大值为，
故答案为：
4．
【分析】利用正弦定理进行边角互化可得，再结合余弦定理可得，利用基本不等式可得，进而可得面积的最大值.
【详解】由，得，
由正弦定理得，化简得，
故，
所以.
又因为，即，
所以，
当且仅当时取等号.
故，
故答案为：.
5．
【分析】首先利用余弦定理和基本不等式即可求出的最大值，最终代入三角形面积公式即可求解.
【详解】由题意，，由余弦定理得，即，对其利用基本不等式可得，所以当且仅当时，等号成立，此时有最大值4，代入三角形面积公式可得，所以面积的最大值为.
故答案为：.
6．B
【分析】利用正弦定理对所给等式进行角化边，再利用余弦定理可求得从而求得角A，由正弦定理可得，则，利用两角和与差的正弦、余弦公式将等式化简为关于B的正弦型函数，由锐角三角形求出角B的范围即可利用正弦函数的值域求得的取值范围.
【详解】因为
由正弦定理可得，即，
所以，又，所以，
由正弦定理可知，所以，
则
，
因为为锐角三角形且，所以，解得，
当时，，，
所以.
故选：B
【点睛】本题考查正弦定、余弦定理，两角和与差的正弦、余弦公式，利用三角函数的值域求范围，属于较难题.
7．D
【分析】由正弦定理求出，再由余弦定理可得，化为，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.
【详解】因为，
由正弦定理可得，
则有，
由的内角为锐角，
可得，
，
由余弦定理可得
因此有

故选：D.
【点睛】方法点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
8．A
【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将进行化简，可求出的值，再利用边化角将化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.
【详解】由题知，
即
由正弦定理化简得
即
故选：.
【点睛】方法点睛：边角互化的方法
（1）边化角：利用正弦定理（为外接圆半径）得，，；
（2）角化边：
①利用正弦定理：，，
②利用余弦定理：
9．
【分析】先由根据基本不等式可得，再根据等面积法得到，结合余弦定理确定角的范围即可得解.
【详解】，
，当且仅当时取等号
角的内角平分线交于，
设，
则，
所以，所以，
又，
设，易知函数单调递增，所以，
所以，.
故答案为：.
10．.
【详解】分析：根据正弦定理，将边长转化为角的表示形式，利用差角公式和辅助角公式，得到关于角A的表达式，然后根据角A的取值范围确定最值．
详解：由正弦定理
，
所以
所以周长



因为
所以当 时，
所以周长最大值为
点睛：本题考查了正弦定理的综合应用，通过边角转化求最值，关键是把角统一，再利用角的范围求得最大值，属于中档题．
11．A
【分析】由面积公式和余弦定理，基本不等式对进行变形，得到关于的关系式，结合三角函数的有界性，列出关于t的不等式，求出最大值.
【详解】，，
则设
所以，即
，
故选：A.
【点睛】三角函数最值问题，要充分使用题干中的条件及一些工具，比如正余弦定理，面积公式，基本不等式等对不等式进行变形，这道题目的难点在于使用了三角函数的有界性，辅助角公式来求解最值.
12．C
【分析】由三角形面积公式及余弦定理得到，结合同角三角函数关系得到，，由正弦定理得到，且根据三角形为锐角三角形，得到，求出，利用对勾函数得到的最值，求出的取值范围.
【详解】由三角形面积公式可得：，故，
，故，
因为，所以，
解得：或0，
因为为锐角三角形，所以舍去，
故，，
由正弦定理得：
，
其中，
因为为锐角三角形
所以，故，所以，，
，，
令，则为对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，
则，
又，
因为，所以，
则.
故选：C
【点睛】解三角形中求解取值范围问题，通常有两种思路，一是利用正弦定理将角转化为边，利用基本不等式进行求解，二是利用正弦定理将边转化为角，结合三角函数的图象，求出答案.
13．B
【分析】先由三角形面积公式求出，然后引入参数，将所求表示为的函数，再根据正弦定理边化角、诱导公式、两角和差得，注意到在锐角中，有，从而可以求出的范围，由此即可得解
【详解】由三角形面积公式结合，可知，即，
又由平方关系，所以，即，
解得或（舍去），
由余弦定理有，所以，
令，所以 ，故只需求出的范围即可，
由正弦定理边化角得，
注意到在锐角中，有，简单说明如下：
若，则，即不是锐角，但这与是锐角三角形矛盾，
所以在锐角中，有，
所以在锐角中，有，
因为正切函数在上单调递增，
所以，
从而，
而函数在单调递减，在单调递增，
所以.
综上所述：的取值范围为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题考查了正余弦定理综合应用，以及诱导公式、两角和差的正弦公式等来化简表达式，关键就是将所求化繁为简，化未知为已知，并且注意锐角三角形的特殊性，即注意到在锐角中，有，结合以上关键点即可顺利求解.
14．
【详解】由正弦定理可知．，又，则，，从而，又，知，所以，则，换元可令，则，故本题应填．
15．
【分析】利用正弦定理，诱导公式及和差化积公式得到，从而A=2B，求出，根据锐角三角形得到的范围，从而求出的范围.
【详解】由正弦定理得：，
由二倍角公式得： ，
，
由和差化积公式可得：，
即，
因为为锐角三角形，所以，，
所以，
所以或（舍去），
即A=2B，
，
由正弦定理可得：，
由题意得：，解得：，
，解得：
又
综上： ,
所以，
则的取值范围是
故答案为：
【点睛】三角形中求解边长取值范围问题，通常找到边与某个角的关系，利用角的范围求解边的取值范围.
16．C
【解析】先利用基本不等式求函数的最小值，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，再求函数值域的上限.
【详解】由题意得，（当且仅当时取等号），
由于三角形是锐角三角形，所以，所以，解得所以，，设，
因为函数在单调递减，在上单调递增，所以函数无限接近中的较大者，所以
所以的取值范围是，
故选：C．
【点睛】本题的难点在求函数的值域的上限，解答利用了函数的思想,以为自变量，先求自变量的取值范围，再利用余弦定理求得的解析式，最后换元求新函数的值域得解.
17．D
【分析】由余弦定理，求得，再结合基本不等式和函数的单调性，即可求解.
【详解】由题意，因为，
所以，
又由，得，则
所以，
令，则，
所以函数在单调递减，在单调递增，
又，，
所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，以及基本不等式和函数的单调性的应用，其中解答中熟记应用运算定理得到的表达式，结合基本不等式和函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力
18．C
【分析】利用正弦定理边化角，可得，再次角化边可得关系，利用余弦定理和基本不等式可求得的最小值，进而得的最大值，再求即可得答案.
【详解】解：∵,\
∴，
∴由正弦定理得：，
即，
，则，
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为.
∵，∴，
∴的最大值为.
故选：C.
19．C
【分析】利用正弦定理边化角，可得，再次角化边可得关系，利用余弦定理和基本不等式可求得的最小值.
【详解】由正弦定理得：，
即，
，则，
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，解题关键是能够灵活应用正弦定理进行边角互化，从而得到三角形三边之间满足的等量关系，将等量关系代入余弦定理，则可利用基本不等式求得最值.
20．
【分析】由面积公式可得，再用余弦定理可得，即得出结果.
【详解】由题，三角形的面积： .
由余弦定理：，可得： .
所以，其中.
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，将边的关系转化为三角函数是解题的关键，属于较难题.
21．A
【分析】根据正弦定理化简，求出，化简得，根据三角形为锐角三角形求出范围，进而求出范围即可.
【详解】由，根据正弦定理得，
因为，
所以，
因为三角形为锐角三角形，
所以，即，
，
由题，则，
所以，
故选：A
22．A
【分析】利用正弦定理及余弦定理化简表示，结合基本不等式求得的取值范围，从而求得的取值范围，即可求解.
【详解】由题意，由正弦定理得：，化简得：，
由余弦定理得：，
当且仅当时等号成立，从而可得为锐角，
所以：，得：，则：，
所以：，
所以：的最大值为，故A项正确.
故选：A.
23．C
【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解
【详解】在中，，
故题干条件可化为，由余弦定理得，
故，又由正弦定理化简得：
，
整理得，故或（舍去），得
为锐角三角形，故，解得，故
故选：C
24．
【分析】由已知结合余弦定理，正弦定理及和差角公式进行化简可得，的关系，结合锐角三角形条件可求，的范围，然后结合对勾函数的单调性可求．
【详解】解：因为及，
所以，
由正弦定理得，
所以，
整理得，
即，
所以，即，
又为锐角三角形，所以，解得，
故，，
则
，
令，则，在上单调递增，在上单调递减，
又，，
故，即．
故答案为：；．
25．
【分析】利用余弦定理及基本不等式可得，然后利用同角关系式，可得，即求．
【详解】∵，∴，
∴，
当且仅当时等号成立，
又，所以，
∴.
故答案为：．