江苏省南菁高中、常州一中2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

这是一份江苏省南菁高中、常州一中2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题，共9页。试卷主要包含了已知直线与直线垂直，则，已知，则，抛物线的焦点坐标为等内容，欢迎下载使用。

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的，
1.已知直线与直线垂直，则（ ）
A.-1 B.1 C.2 D.4
2.已知，则（ ）
A.0 B.-3 C.2 D.3
3.抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
4.设正项等比数列的前项和为，若，则公比为（ ）
A.2或-3 B.3 C.2 D.-3
5.若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为
A. B. C. D.
6.已知等差数列和的前项和分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知椭圆和点，直线与椭圆交于两点，若四边形为平行四边形，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.定义在上的函数的导函数是，对任意，有，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知椭圆的上顶点为，左､右焦点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若椭圆的离心率为，则
C.当时，过点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值为
D.若直线与椭圆的另一个交点为，则
10.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的是（ ）
A.
B.当时，
C.当时，不是数列中的项
D.若是数列中的项，则的值可能为7
11.若函数，其导函数为，则下列说法正确的是（ ）
A.函数没有极值点
B.是奇函数
C.点是函数的对称中心
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为__________.
13.数列满足：，，；令，则数列的前项和为__________.
14.过点可以作函数两条互相垂直的切线，则实数的取值范围是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.（13分）已知数列的前n项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前n项和为.
16.（15分）（1）已知函数，在区间上存在减区间，求的取值范国；
（2）已知函数.讨论函数的单调性；
17.（15分）已知正项数列满足.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）若，数列的前项和为.证明：.
18.（17分）已知函数.
（1）若函数在点处的切线方程为，求函数的极值；
（2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19.（17分）如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，点在椭圆上.过点的两条不重合直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于和四点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：；
（3）若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值.
参考答案
单选题
1-8BDDB CACA
7.【详解】由于，所以在椭圆上，设的中点为，则，则直线过点，且是的中点，设，则：，
两式相减并化简得，所以，即直线的斜率为，所以直线也即直线的方程为.故选：C
9.【答案】ABD【详解】对于项，若，因，可得，则，故项正确；对于B项，由可解得：，故B项正确；对于C项，时，椭圆，因过点的直线被椭圆所截的弦长的最小值为通径长，即，故项错误；对于项，如图，因为，设点，由可得，解得：，代入椭圆中，可得，即，解得：，D项正确.
10.【答案】ABD【详解】对于A，由题意得，A正确；
对于B，新数列的首项为2，公差为2，故，B正确；
对于C，由B选项知，令，则，即是数列的第8项，C错误；
对于D，插入个数，则，
则等差数列中的项在新的等差数列中对应的下标是以1为首项，为公差的等差数列，
于是，而是数列的项，令，当时，，D正确.故选：ABD
11.【答案】ACD
12.根据椭圆定义可知，由勾股定理可得，所以可得，因此可得三角形的面积为.故答案为：4
13.【详解】数列满足：，即为，所以是等差数列，设公差为，由，，可得，解得，则，，数列的前项和为，，上面两式相减可得，化简可得.
14.或者
15.答案：
（1）当时，①-，解得，当时，②，式子①-②得，故，因为，所以，所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；
（2），
.
16.【答案】（1） ，若函数在区间上存在减区间，等价于，使得成立，可得）使得成立，构建，可知开口向上，对称轴，故，解得，则的取值范围为.
（2）定义域为，令得或
①当即时，令得或，令得；
故在单调递减，在上单调递增；
②当即时，恒成立，故在R上单调递增；
③当即时，令得或，令得，在上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，在单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递增：当时，在上单调递减，在上单调递增
17.（1）证明：因为，可得，即，
且，可得，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）证明：由（1）可知，则，可得，
则，因为，则，所以.
18.【详解】（1）由题意得函数的定义域为，
由函数在点处的切线方程为，得，解得
此时，.令，得或.
当和时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，（此处列表）
则当时，函数取得极小值，为，
当时，函数取得极大值，为.
（2）由得.不等式可变形为，即因为，且，
所以函数在上单调递减.令
则在上恒成立，即在上恒成立
设，则.
因为当时，，所以函数在上单调递减，所以，所以，即实数的取值范围为.
19.（1）由题意知，两椭圆有相同的离心率，则有，，
又点在椭圆上，有，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）要证，即证，设，
当直线斜率不存在时，由椭圆对称性可知成立，
当直线斜率存在时，设斜率为，则方程为，
由得，
，
由得，
，得，，
，，则有.
所以与等底等高，有.
（2）由（2）可知，同理有，
由，可得，则有，
设直线的斜率为，直线方程为，设，
由得，
，
，，
所以，
即，
化简得，即，由题意，所以，所以.