北京市东城区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份北京市东城区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是（ ）
A．3B．6C．9D．12
2．在年中国国际智能汽车展览会上，吉利控股集团正式宣布中国首款纳米车规级芯片“龙鹰一号”的量产和供货．纳米米，用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
6．观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在中，，，，，则（ ）

A．8B．10C．12D．14
8．东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（ ）

A．的角平分线与边上中线的交点
B．的角平分线与边上中线的交点
C．的角平分线与边上中线的交点
D．的角平分线与边上中线的交点
9．如图，在中，，D是的中点，在的延长线上取点E，连接，若，，则为（ ）．
A．B．C．D．
10．如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
12．使分式有意义的的取值范围是 ．
13．分解因式： .
14．如图，B，E，C，F四个点在一条直线上．，，请添加一个条件使，则添加的条件可以是 ．
15．如图，在中，，点是的垂直平分线与的交点，将沿着翻折得到，则的度数是

16．某“数学乐园”展厅的WIFI密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC3，BC4，AB=5，AD是∠BAC的平分线．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PCPQ的最小值是 .
18．“回文诗”，是能够回还往复，正读倒读皆成章句的诗篇，是我国古典文学作品中的一种有趣的特殊体裁．如“遥望四边云接水，碧峰千点数鸿轻”，倒过来读，便是“轻鸿数点千峰碧，水接云边四望遥”．在数学中也有这样一类正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”例如11，343等．
（1）在所有三位数中，“回文数”共有 个；
（2）任意一个四位数的“回文数”一定是 的倍数(1除外)．
三、解答题
19．尺规作图“三等分角”是在公元前五世纪由古希腊人提出来的难题，该命题已经被数学家证明是不可能的．热爱数学的小明同学设计了一个用尺规三等分角的方案，老师认为他的想法是正确的．请你根据小明的做法补全图形，并帮助小明完善证明过程．
已知：．
求作：射线、，使得．
作法：
①在射线上取一点M，分别以点O、点M为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，画射线；
②作的平分线．
射线、为所求作射线．
证明：∵ ，
∴为等边三角形．
∴ ．
∵，
∴．
∵OD平分，
∴．
∴．
20．如图，在平面直角坐标系中，顶点A坐标为，顶点B坐标为，顶点C坐标为．
(1)作关于y轴的对称图形（其中A，B，C的对称点分别是，，）并写出点的坐标；
(2)画出两个与全等且有公共顶点C的三角形．（要求：三角形顶点的横、纵坐标都是整数）
21．已知：如图，点D在上，点E在上，．
求证：．
22．先化简，再求值：，其中．
23．解分式方程．
24．已知，求代数式的值．
25．2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少元？
26．利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．
根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法分解因式：；
(2)用十字相乘法分解因式：；
(3)结合本题知识，分解因式：．
27．如图1，中，，，点D在上，连接，在的上方作，且，连接．作点A关于的对称点F，连接，交于点M．

(1)补全图形，连接并写出 （用含的式子表示）；
(2)当时，如图2．
①求证：；
②直接写出与的数量关系： ．
28．在平面直角坐标系中，对于点和点，若存在点，使得，且，则称点为点关于点的“链垂点”．
(1)如图，
①若点的坐标为，则点关于点的“链垂点”坐标为；
②若点为点关于点的“链垂点”，且点位于轴上方，试求点的坐标；
(2)如图，图形是端点为和的线段，图形H是以点为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为的正方形，点为图形上的动点，对于点，存在点，使得点关于点的“链垂点”恰好在图形上，请直接写出的取值范围．
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参考答案：
1．B
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得：
第三边的长度，即．
观察四个选项，B选项符合题意，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查科学记数法，解题关键是熟练掌握科学记数法的定义．
科学记数法：把一个数记成的形式（其中大于或等于且小于），据此即可得出答案．
【详解】解：由科学记数法得：．
故选：．
3．B
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法是解题的关键．根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法可进行排除选项．
【详解】A． ，原计算错误，故不符合题意；
B．，原计算正确，故符合题意；
C． ，原计算错误，故不符合题意；
D．，原计算错误，故不符合题意；
故选：B．
4．C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．D
【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列式进行计算即可解答．
【详解】设这个多边形是n边形，根据题意，得
，
解得：，
∴这个多边形是六边形．
故选：D
6．B
【分析】运用长方形的面积及正方形的面积公式计算即可．
【详解】解：左边长方形的面积为：，
右边的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积：，
则表示的运算为：，
故选B．
【点睛】本题主要考查平方差公式的几何运用，能够熟练运用面积表示平方差公式是解题关键．
7．C
【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，求出，根据等腰三角形的判定得出，根据含角的直角三角形的性质得出，再求出答案即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出和的度数是解此题的关键．
8．A
【分析】根据角平分线的性质定理可得点H在的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得的面积的面积，的面积的面积，然后利用等式的性质可得的面积的面积，即可解答．
【详解】解：如图：作的平分线交于D，作的中线交于H，
∵平分，点H在上，
∴点H到、的距离相等，
∵是边上的中线，
∴的面积的面积，的面积的面积，
∴的面积的面积的面积的面积，
∴的面积的面积，
∴凉亭H是的角平分线与边上中线的交点，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握三角形的角平分线和中线的性质是解题的关键．
9．A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、角的和差等知识点，根据等腰三角形的性质求得是解题的关键．
先根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后再运用角的和差即可解答．
【详解】解：∵，D是的中点，
∴,
∴．
故选A．
10．D
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为腰时，当为底时，分别画出图形，即可得出答案，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键．
【详解】解：如图，
，
当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形，
当为底时，为等腰三角形，
满足条件的点共有个，
故选：D．
11．三角形具有稳定性
【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可．
【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响．
12．
【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解．
【详解】由题意得，，
解得，
故答案为：．
13．
【分析】先提取公共项y，然后观察式子，继续分解
【详解】
【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解基本方法是解题关键
14．答案不唯一，如等
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．添加时注意：、不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
【详解】解：要使，已知，，
可以添加，运用来判定其全等；
也可添加一组角，运用来判定其全等；
添加，运用来判定其全等．
故答案为：（答案不唯一）．
15．/度
【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质和三角形内角和定理求得，，根据翻折的性质求得，进而求得的度数．
【详解】解：点是的垂直平分线与的交点，
，
，
，，
将沿着翻折得到，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查翻折的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和外角的性质，解题的关键是掌握翻折的性质和线段垂直平分线的性质．
16．2024
【分析】本题主要考查单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式是解题的关键；由题意可先进行单项式除以单项式的运算，然后问题可求解．
【详解】解：，
∴他输入的密码是2024；
故答案为：2024．
17．
【分析】作点C关于AD的对称点D'，过点D'作D'Q⊥AC，则PC+PQ的最小值是D'Q的长；证明△ACM'≌△AD'M（AAS），由，即可求解；
【详解】解：作点C关于AD的对称点D'，过点D'作D'Q⊥AC，
则PC+PQ的最小值是D'Q的长；
∵AD是∠BAC的平分线，
∴△ACM'≌△AD'M（AAS），
∴AC=AD'，
∵AC=3，
∴AD'=3，
∴，
∴，
∴QD'=；
故答案为；
【点睛】本题考查利用轴对称求最短距离，能够利用轴对称将线段和的最小值转化为线段长求解是关键．
18． 90 11
【分析】本题考查整式的加减，分解因式，
（1）百位数字和个位数字相同时，三位数是回文数，据此可得答案；
（2）由“回文数”定义，数字与数的关系求得任意四位数的“回文数”是11的倍数；
【详解】解：（1）解：当百位数字和个位数字相同时，三位数是回文数，当百位数字为1时，有10个回文数，同理百位数字为2时，有10个回文数，
三位数的回文数共有90个；
故答案为：90；
（2）设任意四位数的“回文数”千位，百位，十位和个位上的数字分别为、、、，则有：
，
是11的倍数；
故答案为：11
19．画图见解析，；
【分析】本题考查了尺规作图，等边三角形的性质和判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．根据作法补全图形即可；首先证明出为等边三角形，然后得到，，然后根据角平分线定义可求出，即可得证．
【详解】解：画图如图，

证明：∵，
∴为等边三角形．
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
故答案为：，．
20．(1)作图见解析，
(2)见解析
【分析】本题主要考查了作轴对称图形、坐标与图形、全等三角形的定义等知识点，熟练掌握轴对称的有关性质是解题的关键．
（1）先确定点A、B、C关于y轴对称的点，然后顺次连接即可完成作图，然后直接写出点的坐标即可；
（2）根据全等三角形的定义作图即可．
【详解】（1）解：如图：即为所求．
点的坐标为．
（2）解：如图：即为所求．
21．证明见解析
【分析】根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．
【详解】证明：∵AD＝AE，BD＝CE，
∴AB＝AC，
在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠B=∠C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）与书写步骤是解题的关键．
22．，
【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．原式小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后代入求值．
【详解】解：

．
当时，原式．
23．
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握解分式方程的方法．先去分母把分式方程化为整式方程，然后解方程，最后代入原方程检验即可．
【详解】解：
方程两边都乘，得．
解得：．
检验：当时，．
所以分式方程的解是．
24．
【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】
，
∵
∴
∴．
25．A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元
【分析】设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为元，，再利用“采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元”，列方程，解方程即可．
【详解】解：设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为元，
根据题意，得．
解这个方程，得．
经检验，是所列方程的根．
（元）．
所以，A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，设出恰当的未知数，确定相等关系是解题的关键．
26．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
（1）利用十字相乘法进行求解即可；
（2）利用十字相乘法进行求解即可；
（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：
，
；
（3）解：
，
．
27．(1)补全图形见解析，
(2)①见解析；②
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，三角形相似的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质和三角形相似的判定性质是解题的关键；
（1）根据三角形内角和定理可得到，再利用对称的性质得到，即可得到答案；
（2）①连接，，根据、都是等边三角形，易证得，进而得到，再根据点A关于的对称点是点F，可得到；
②取，证，进而证，再证，即可得结论．
【详解】（1）解：如图，

中，，，
点A关于的对称点F，
∴；
故答案为：．
（2）解：连接，，

，，，，
是等边三角形，是等边三角形，
，，，
．
即，
，
，
，
，
，
点A关于的对称点是点F，
，
∴，
，
．
②如图

取，
由①可得，，，
，
，，，
，，
；
在和中，
，
，
，
∴，
，
．
故答案为：．
28．(1)①，；②
(2)
【分析】本题考查的知识点是坐标与图形，用有序数对表示位置和写出直角坐标中点的坐标，解题关键是正确理解定义“链垂点”．
（1）根据题意可知“链垂点”形成的是一个直角，可根据直角画出一个圆，便可利用圆的知识找到链垂点的坐标，以及相关问题．
（2）由题意得，为直角，故以为直径作圆，圆心为，过圆心作垂直于，交轴上方圆于点，可得其坐标；
（3）画出图形，解答即可；
【详解】（1）解：①以原点为圆心为半径作圆，在过点作垂直于于点，交圆于，两点，便得到链垂点坐标即为点和点坐标和．
故答案：，．
②由题意得，为直角，故以为直径作圆，圆心为，过圆心作垂直于，交轴上方圆于点，可得其坐标．
如图，设点，
，
∴.
∵，
∴,.
解得
（2）图形所在直线表达式为，可设点坐标为，其中，
设点关于点的“链垂点”恰好在图形上，且为F点，
以为斜边的两个直角三角形全等，
故由图形可得当，不能构成等腰直角三角形，
故可得到．