北京市顺义区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份北京市顺义区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共26页。试卷主要包含了单选题，第四象限B．点在它的图象上，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．B．C．D．
2．在中，，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．将二次函数化为的形式，则所得表达式为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，弦相交于点P，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，D是的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使，则这个条件不可以是（ ）
A．B．C．D．
6．对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．它的图象分布在第二、第四象限B．点在它的图象上
C．当时，y随x的增大而减小D．当时，y随x的增大而增大
7．已知.如图，
（1）连接；
（2）作弦的垂直平分线，分别交，弦于C，D两点；
（3）作线段的垂直平分线，，分别交于E，F两点，交弦于G，H两点；
（4）连接
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
8．学习解直角三角形时，小明编了这样一道题：
已知：在中，，，，解这个直角三角形.
从同学们的解答思路中节选出以下四个步骤：
①由的度数，根据直角三角形的性质得到的度数；
②由，的值，根据的正切值得到的度数；
③由，的值，根据勾股定理得到的值；
④由，的值，根据的余弦值得到的度数.
请你从中选择三个步骤并排序，形成完整的解上述直角三角形的思路，则下列排序错误的是（ ）
A．③④①B．④①③C．②①③D．③②①
二、填空题
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．若将抛物线向右平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为 .
11．如图，直线交于点O，．若，，．则的值为 ．
12．物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为 ．
13．如图，分别与相切于A，B两点，C是优弧上的一个动点，若，则 ．
14．已知二次函数的部分图象如图所示，写出一个满足不等式的x的值，这个值可以是 .
15．在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点在双曲线上，则的值为 ．
16．已知，是抛物线上两点，下面有四个推断：
①该抛物线与x轴有两个交点；
②若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点一定在y轴的负半轴上；
③若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线右侧；
④若该抛物线开口向上，则在A，B两点中，点B到它的对称轴距离较小.
所有正确推断的序号是 .
三、解答题
17．解不等式组：.
18．计算：.
19．已知，求代数式的值.
20．如图，平分，.
(1)求证：；
(2)若，，求的长.
21．如图，抛物线与x轴交于点，点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)直接写出时，自变量x的取值范围．
22．在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度．如图，在点A处测得山顶E的仰角为，向山的方向前进，在点C处测得山顶E的仰角为，已知观测点A，C到地面的距离，．求小山的高度（精确到）．（参考数据：，，，）

23．如图，是的直径，于点E，.
(1)求证：；
(2)若的半径为2，求，的长.
24．正面双手前掷实心球是发展学生力量和协调性的运动项目之一.实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从出手到着地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系.
小明进行了三次训练.
(1)第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，求出满足的函数关系，并求出实心球着地点的水平距离；
(2)第二次、第三次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图所示，其中A，B分别为第二次、第三次训练抛物线的顶点.
记小明第二、三次训练时实心球着地点的水平距离分别为，，则，，的大小关系为______.
25．如图，为的弦，点C为的中点，的延长线交于点D，连接，过点D作的切线交的延长线于点E.
(1)求证：；
(2)若的半径为3，，求的长.
26．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．
(1)若，求抛物线的对称轴及A，B两点的坐标；
(2)已知点，，在该抛物线上，若，，中有且仅有一个大于0，求a的取值范围．
27．在菱形中，，点P是对角线上一点（不与点A重合），点E，F分别是边上的点，且，射线分别与的延长线交于点M，N．
(1)如图1，若点P与C重合，且平分，求证：；
(2)连接，若，，且不平分．
①依题意补全图2；
②用等式表示线段的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，有如下定义：对于图形、，若存在常数d，使得图形上的任意一点P，在图形上至少能找到一个点Q，满足，则称图形是图形的“映图”，d是关于的“映距”．
(1)如图，点，，，，，，，．
在线段，，中，线段的映图是______．
(2)的半径为1．
①求关于直线的“映距”的最小值；
②若直线被坐标轴所截的线段是的映图，直接写出m的取值范围．
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
竖直高度y/m
2
2.7
3.2
3.5
3.6
3.5
3.2
2.7
2
1.1
参考答案：
1．D
【分析】本题考查实数与数轴，掌握数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．
根据实数a对应的点在左侧，右侧判断A、B选项；根据数轴上右边的数总比左边的大判断C、D选项．
【详解】解：A选项，，故该选项不符合题意；
B选项，，故该选项不符合题意；
C选项，在和之间，，故该选项不符合题意；
D选项符合题意；
故选：D．
2．A
【分析】本题主要考查了余弦的定义，解题的关键是掌握直角三角形中，余弦等于邻边与斜边的比．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查了将二次函数解析式化为顶点式，解题的关键是熟练掌握将二次函数解析式化为顶点式的方法和步骤，以及完全平方公式．
【详解】解：，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．利用圆周角定理以及三角形的外角的性质解决问题．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：若，且，则，故选项A不符合题意；
若，且，则，故选项B不符合题意；
若，且，则无法证明，故选项C符合题意；
若，且，则，故选项D不符合题意；
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键，根据反比例函数的图象与性质，对各选项逐一分析即可．
【详解】选项A，因为，所以图象在第一、第三象限，不符合题意；
选项B，对于反比例函数，当时，，所以点不在它的图象上，不符合题意；
选项C，对于反比例函数，当时，图象在第一象限内，所以y随x的增大而减小，符合题意；
选项D，对于反比例函数，当时，图象在第三象限内，所以y随x的增大而减小，不符合题意．
故选C．
7．B
【分析】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是读懂图象信息．本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是读懂图象信息．
【详解】解：由作图可知，，，
∵垂直平分弦，
∴，且直线过圆心，
∵，分别垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
，且，
∴四边形是矩形，
，
故选项A，C，D正确，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了三角函数解直角三角形，勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解决本题的关键．
【详解】解：A. 由，的值，根据勾股定理得到的值，再由的余弦值得到的度数，进而求出的度数，选项排序正确，不符合题意；
B. 条件④需要知道的值，才能得到的余弦值，而的值并没有计算出来，由此可知选项排序错误，符合题意；
C. 由，的值，根据的正切值得到的度数，进而求出的度数，再由，的值，根据勾股定理得到的值，选项排序正确，不符合题意；
D. 由，的值，根据勾股定理得到的值，再由，的值，根据的正切值得到的度数，进而求出的度数；
故选：B．
9．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，列出不等式进行求解即可，掌握二次根式被开方数是非负数是解答本题的关键．
【详解】解：在实数范围内有意义，
，
，
故答案为：．
10．或
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”即可得，掌握二次函数图象平移的规律是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，
故答案为：或．
11．/0.75
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：，
，
，
,
的高为,为,为,

，
故答案为：
13．52
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，，连接，由切线的性质得到，由四边形内角和定理得到，则由圆周角定理可得．
【详解】解；如图所示，连接，
∵分别与相切于A，B两点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．1（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．先求出时的的值，然后结合图象求解即可．
【详解】解：由图象可知，当时，，
当时，．
不等式的解为
满足不等式的的值可以是1．
故答案为：1（答案不唯一）．
15．0
【分析】本题考查了反比例函数解析式，代数式求值．熟练掌握反比例函数解析式，代数式求值是解题的关键．
由题意知，，，然后代值求解即可．
【详解】解：∵点在双曲线上，点在双曲线上，
∴，，
∴，
故答案为：0．
16．①③④
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，设抛物线的解析式，将点，代入得计算得，，则，根据得，抛物线与x轴有两个交点，故①正确；根据得，若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点在y轴的负半轴上或y轴的正半轴上，故②错误；故居得，故居得，则若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线右侧，故③正确；故居得，则当，在对称轴两侧，y随x的增大而增大，点B关于直线对称的点，故点B到它的对称轴距离较小，故④正确；综上，即可得．
【详解】解：设抛物线的解析式为，将点，代入得，
，，
∴
∵，
∴，
∴抛物线与x轴有两个交点，
故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点在y轴的负半轴上或y轴的正半轴上，
故②错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线右侧，
故③正确；
∵，
∴，
∴当，在对称轴两侧，y随x的增大而增大，点B关于直线对称的点，故点B到它的对称轴距离较小，
故④正确；
综上，①③④正确，
故答案为：①③④．
17．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组．分别求出两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”即可求解．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为．
18．3
【分析】本题考查的是实数的运算，零指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值，根据运算法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解：
19．
【分析】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．先根据完全平方公式和多项式乘多项式进行计算，合并同类项，求出，最后代入求出答案即可．
【详解】原式
∵，
∴，
原式
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．
（1）利用两角法证得结论；
（2）根据相似三角形的对应边成比例列出比例式，代入相关数值计算．
【详解】（1）证明：平分，
．
，
；
（2）解：，
．
，，
．
．
21．(1)
(2)或
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及二次函数与不等式；
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据交点坐标即可求解；
熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点，
∴，
解得
∴．
（2）∵抛物线与x轴交于点，点，其开口向上，
∴当时，自变量x的取值范围为：或．
22．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，要求借助仰角构造直角三角形是解题的关键．
【详解】解：依题意可知，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．

23．(1)见解析
(2)；
【分析】本题主要考查垂径定理，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质：
（1）根据垂径定理可得，根据同弧所对的圆心角相等，可得；
（2）先证，，相等且度数都是，再证，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可求，根据弧长公式可求的长．
【详解】（1）证明：∵是的直径，于点E，
∴，
∴.
（2）解：∵是的直径，于点E，
∴，
又∵，
∴，，相等且度数都是，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中， ，，
∴，
的长．
24．(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，实数大小比较，解题的关键是读懂题意，能够从表格中获取有用信息列出函数关系式．
（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值；选出表格中的数据，利用待定系数法即可求出函数解析式；再令求出的值即可；
（2）根据三次投掷实心球所得抛物线的对称轴和抛物线都过点，由函数的对称性得出结论．
【详解】（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为，
抛物线的解析式可表示为：，
当时，，
，
解得，
函数解析式为；
令，则，
解得，（舍去），
，
实心球着地点的水平距离为10米；
（2）根据图象知，第二次、第三次抛物线的对称轴分别为直线和直线，
三次抛物线都过点，，
小明第一、第二、三次训练时实心球着地点的水平距离，
故答案为：．
25．(1)证明见解析
(2)4
【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，解直角三角形，垂径定理的推论及平行线的判定，关键是由勾股定理得到，求出的长．
（1）由垂径定理的推论推出，由切线的性质得到，即可证明；
（2）由，令,得到，由勾股定理得到，求出，得到，由相似三角形的判定与性质得到，代入有关数据即可求出长．
【详解】（1）证明：∵C为弦中点，的延长线交于点D，
∴.
是的切线，
∴.
∴.
（2）解：在中，，故设，，
∵的半径为3，
∴，
在中，，
解得.，
∵，，
∴.
∴，
解得.
26．(1)，，对称轴：直线．
(2)，．
【分析】本题考查抛物线与x轴交点、二次函数的图象与性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，属于中考常考题型．
（1）将代入二次函数，求得二次函数解析式，再令，解方程即可得出抛物线的对称轴及A，B两点的坐标；
（2）将抛物线解析式整理成顶点式，再令，解方程即可得出抛物线与x轴交点坐标，最后根据二次函数图象与性质进行分类讨论即可．
【详解】（1）将代入二次函数，得：，
令，得，
解得：，
，，对称轴：直线．
（2）将抛物线解析式整理得．
令，得，
解得：，
∴抛物线与x轴交点坐标分别为，．
∵抛物线开口向上，且，
∴结合图象可知．
∵，，中有且只有一个大于零，．
∴①当时，．
，解得．
②当时，．
，解得．
综上所述，，．
27．(1)证明见解析
(2)①补全图见解析；②，证明见解析．
【分析】（1）由点P与C重合，且平分，得，由菱形的性质得，，所以和都是等边三角形，则，所以，而，即可根据“”证明，得；
（2）①按题中所给条件补全图形即可；
②作于点H，由，得，，而，可证明，所以，则，所以，因为，所以，则，因为，所以，即可证明．
【详解】（1）证明：平分，
∴
∵菱形，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）①如图补全图．
②数量关系：，
证明：过P作与H，
∵，，
∴，
∵菱形，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴
∵菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
【点睛】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
28．(1)、．
(2)①4；②或
【分析】（1）根据坐标得，且平行线之间的距离相等，结合“映图”定义有线段的“映图”大于或等于，即可求答案；
（2）①根据直线得，有，过O作MN的垂线交与，，交于点Q，可得，进一步得和，结合映距定义即可求得；②（a）当时，过点O作直线的垂线，垂足为K，分别交与点M，N，设与x轴交于点C，D，与y轴交于点E，F，可知关于直线的映距d的最小值为，设直线与坐标轴交于点A，B，有和为等腰直角三角形，且和，再结合上的点到端点A和B的最小距离为和，即可求得m；（b）当时，同理可求得m．
【详解】（1）解：由题意得，，且平行线之间的距离相等，
∵若存在常数d，使得图形上的任意一点P，在图形上至少能找到一个点Q，满足，则称图形是图形的“映图”，
∴线段的“映图”大于或等于，且“映距”d的最小值为两条平行线段的距离，
∴线段的“映图”为：，，
故答案为∶，；
（2）①记直线与y轴，x轴分别交于点M，N，
令，得．即．所以．
令，得．即．所以．
则．
又∵平面直角坐标系，x轴与y轴垂直，
∴．
过O作的垂线交与，，交于点Q，如图，
在中，．
则，
当点P在位置时，P到直线上每一点的距离大于等于2；
当点P在位置时，P到直线上每一点的距离大于等于4，
所以，根据上任意一点P都能在直线上找到对应点Q，满足，则．
故关于直线的映距d的最小值为4．
②（a）当时，过点O作直线的垂线，垂足为K，分别交与点M，N，设与x轴交于点C，D，与y轴交于点E，F，如图
根据①知，关于直线的映距d的最小值为，设直线与坐标轴交于点A，B，
令，则，令，则，则，，
那么，，
故为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
则，
∵直线被坐标轴所截的线段是的映图，上的点到端点A，B的最小距离为，
∴，解得，
（b）当时，过点O作直线的垂线，垂足为K，分别交O与点M，N，设与x轴交于点C，D，与y轴交于点E，F，如图，
同理可得∶ ．
综上，若直线被坐标轴所截的线段是的映图，m的取值范围或．
【点睛】本题主要考查新定义下圆的有关性质，涉及平行线的性质、等腰直角三角形的性质、一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是理解新定义，并熟练应用圆和直线的性质．