四川省成都市第七中学2024届高三下学期二诊模拟考试理科数学试卷及答案

这是一份四川省成都市第七中学2024届高三下学期二诊模拟考试理科数学试卷及答案，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ）
A．B．
C．与相交但不垂直D．或
3．已知是虚数单位，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过”，下列假设中正确的是（ ）
A．假设有两个内角超过B．假设四个内角均超过
C．假设至多有两个内角超过D．假设有三个内角超过
5．年月日，第届世界大学生夏季运动会（简称大运会）在四川成都开幕，这是继北京大运会，深圳大运会之后，中国第三次举办夏季大运会；在成都大运会中，中国代表团取得了骄人的成绩．为向大学生普及大运会的相关知识，某高校进行“大运会知识竞赛”，并随机从中抽取了名学生的成绩（满分分）进行统计，成绩均在内，将其分成组：、、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间内的人数为（ ）

A．B．C．D．
6．华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）

A．B．C．D．
7．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，则下列结论中错误的是（ ）
A．的标准方程为B．的离心率等于
C．与双曲线的渐近线不相同D．直线与有且仅有一个公共点
8．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为（），且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（ ）

A．B．C．D．
9．已知的内角A，，所对的边分别为，，，面积为，若，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形
10．若函数的最小值为，则函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．在四棱锥中，平面，且二面角的大小为，．若点均在球的表面上，则球的体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数没有极值点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知实数，若，则的最小值为 ．
14．已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为 ．
15．已知直线经过点，且被两条平行直线和截得的线段长为，则直线的方程为 ．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为.若和为椭圆上在轴上方的两点，且，则直线的斜率为 ．
三、解答题
17．已知等差数列的首项，公差为为的前项和，为等差数列．
(1)求与的关系；
(2)若为数列的前项和，求使得成立的的最大值．
18．在四棱锥中，已知，，，，，是线段上的点．
(1)求证：底面；
(2)是否存在点使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．2022年二十国集团领导人第十七次峰会11月16日在印度尼西亚巴厘岛闭幕，峰会通过《二十国集团领导人巴厘岛峰会宣言》．宣言说，值此全球经济关键时刻，二十国集团采取切实、精准、迅速和必要的行动至关重要，基于主席国印尼提出的“共同复苏、强劲复苏”主题，各国将采取协调行动，推进强劲、包容、韧性的全球复苏以及创造就业和增长的可持续发展、中国采取负责任的态度，积极推动产业的可持续发展，并对友好国家进行技术援助。非洲某芯片企业生产芯片I有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．
(1)在中国企业援助前，该芯片企业生产芯片I的前三道工序的次品率分别为，，．
①求生产该芯片的前三道工序的次品率；
②第四道工序中，智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验．已知芯片I智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片，该芯片恰为合格品的概率；
(2)该芯片企业在中国企业援助下，改进生产工艺并生产了芯片II．某手机生产厂商获得芯片I与芯片II，并在某款新型手机上使用．现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查，据统计，回访的100名用户中，安装芯片I的有40部，其中对开机速度满意的占；安装芯片II的有60部，其中对开机速度满意的占．现采用分层抽样的方法从开机速度满意的人群中抽取6人，再从这6人中选取3人进行座谈，记抽到对安装芯片II的手机开机速度满意的人数为，求的分布列及其数学期望．
20．已知椭圆的离心率为，短轴长为，过点斜率存在且不为0的直线与椭圆有两个不同的交点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆左右顶点为，设中点为，直线交直线于点是否为定值？若是请求出定值，若不是请说明理由．
21．已知函数，其中．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求实数的取值范围．
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数，），把绕坐标原点逆时针旋转得到，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
(1)写出，的极坐标方程；
(2)若曲线的极坐标方程为，且与交于点A，与交于点B（A，B与点O不重合），求面积的最大值．
23．已知函数的最小值为．
(1)求实数m的值；
(2)若实数a，b，c满足，证明：．
参考答案：
1．A
【分析】根据根式与对数的定义域，结合交集的定义求解即可.
【详解】由，
所以，
故，
故选：A
2．D
【分析】由于，得到，从而确定与的位置关系.
【详解】因为，，
则，
得到，且直线的方向向量是，平面的一个法向量是，
所以与的位置关系是：或，
故选：D.
3．A
【分析】由结合复数相等求出的值，再利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若，且，则，解得，
所以，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．B
【分析】根据反证法的定义.
【详解】平面四边形中至少有一个内角不超过的反面含义为
4个内角没有一个不超过，即四个内角均超过，
故选:B.
5．C
【分析】根据频率分布直方图可求出成绩落在区间内的人数.
【详解】由频率直方图可知，成绩落在区间内的人数为
.
故选：C.
6．A
【分析】利用指数函数、正弦函数的单调性、复合函数的单调性求解.
【详解】由函数图象可知，的图象不关轴对称,
而，，
即这两个函数均关于轴对称，则排除选项、；
由指数函数的性质可知为单调递增函数，为单调递减函数，
由的图象可知存在一个极小的值，使得在区间上单调递增，
由复合函数的单调性可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
由图象可知符合题意，
故选： .
7．C
【分析】分别设出焦点在轴上和在轴上的双曲线方程求解即可求出双曲线的标准方程，根据离心率和渐近线方程的公式可求出离心率的值和渐近线方程，将直线方程和双曲线方程联立利用判别式即可判断双曲线和直线交点个数.
【详解】当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为，
则，解得，此时的标准方程为，
当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为，
则，解得（舍去），此种情况不成立，则正确；
∵，∴ ，则正确；
双曲线的渐近线为，
双曲线的渐近线为，即两者的渐近线相同，则错误；
将直线与双曲线联立得，
，∴直线与有且仅有一个公共点，则正确；
故选：.
8．D
【分析】设大正方形的边长为，求出小正方形的边长，根据小正方形与大正方形面积之比得，再利用弦化切求解可得答案.
【详解】如图，设大正方形的边长为，
则小正方形的边长为，
所以小正方形与大正方形面积之比为，
化简得，且，
由，
解得.
故选：D.

9．B
【分析】利用正弦定理的边角变换，结合诱导公式与倍角公式求得B；利用面积公式与向量数量积的定义求得A，从而得解
【详解】因为，所以，
因为，所以，所以，所以；
因为，所以，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，因为，所以，
所以，则是直角三角形，
故选：B
10．A
【分析】分析函数解析式，发现函数与函数的变换关系，由此即可推断函数的最大值.
【详解】，，
令有：，
则，即，
由此知的函数图象为：的图象通过横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得到，
再关于轴对称，得到，最后再向下平移一个单位，得到；
根据已知条件函数的最小值为，
由此可知函数的最大值为.
故选：A
11．C
【分析】根据题意易得是四边形外接圆的直径，利用线面垂直的性质得到是二面角的平面角，中点为外接球球心，设，求得外接球半径关于的表达式，求其最小值，即可求球体最小体积.
【详解】由题意，在一个圆上，所以，又，
所以，即，即是四边形外接圆的直径，
由平面，平面，
则，，平面，
平面，平面，，同理可得，则就是二面角的平面角，
故，设，，则，，
故，
且，，都是以为斜边的直角三角形，
所以得中点为四棱锥外接球的球心，
外接球半径，当时，，
此时球的体积的最小值为.
故选：C.
12．B
【分析】转化为恒成立，构造函数，求导，得到其单调性和最值，从而得到，故，换元后，构造函数，求导得到其单调性和最值，求出答案.
【详解】函数没有极值点，
，或恒成立，
由指数爆炸的增长性，不可能恒小于等于0，
恒成立．
令，则，
当时，恒成立，为上的增函数，
因为是增函数，也是增函数，
所以，此时，不合题意；
②当时，为增函数，由得，
令
在上单调递减，在上单调递增，
当时，依题意有，
即，
，，
令，，
则，
令，令，解得，
所以当时，取最大值
故当，，即，时，取得最大值
综上，若函数没有极值点，则的最大值为
故选：B.
【点睛】关键点睛：将函数没有极值点的问题转化为导函数恒大于等于0，通过构造函数，借助导数研究函数的最小值，从而得解.
13．/
【分析】由乘“1”的方法，利用基本不等式求最值.
【详解】由，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为为.
故答案为：.
14．
【分析】根据圆心与焦点关于直线对称，求得圆心坐标，在此基础上由直线与圆相交的弦长求得圆的半径.
【详解】由的焦点坐标关于直线的对称点为，
所以圆的圆心为，设半径为，
点C到直线的距离为d，则，
所以，
所以圆的方程为：，
故答案是：.
15．或
【分析】直线分斜率存在和不存在两种情况讨论；当斜率不存在时直线是轴，求交点坐标即可；当直线的斜率存在时，设定直线的方程并与直线的方程联立求交点，满足弦长即可.
【详解】若直线的斜率不存在，则直线的方程为：，
此时与的交点分别为和，
截得的线段的长为：，不符合题意．
若直线的斜率存在，则设直线的方程为：，
解方程组，得点，
解方程组，得点.
由，得，
即，解得：，
则直线的方程为：或.
故答案是：或.
16．
【分析】由离心率为，得到间的关系，椭圆方程变为，借助椭圆的对称性，将关系式转化直线与椭圆的位置关系，设直线的方程，联立椭圆方程，用韦达定理解决问题即可.
【详解】已知椭圆，
由椭圆的离心率为，得，代入，得：，
则椭圆的方程为：，
其左、右焦点分别为，
如图所示：若和为椭圆上在轴上方的两点，且，
设直线与椭圆的另一个交点分别为，
由椭圆的对称性，可得：，，，
即，
显然直线的斜率定存在，否则直线垂直轴时为线段的中点，
因为点在轴上方，直线的斜率不为零，
设直线的方程为，，
联立方程组：，
得：，
（*），
由于，则，
（*）式即为：，
消掉后，可得：，
化简可得：，
由于，，且，得，
所以，
故答案是：.
17．(1)
(2)7
【分析】（1）由为等差数列可得，即可得到与的关系;
（2）由裂项相消法得到，再解不等式即可求得n的最大值.
【详解】（1）因为为等差数列，所以，
即，从而得到 ，
化简得 ，所以.
（2）当时，，
所以，
解得，又因为，所以的最大值7．
18．(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）首先证明平面，可得出，利用勾股定理的逆定理可证得，再结合线面垂直的判定定理，即可证明底面；
（2）以A为原点，建立空间直角坐标系，设，且，求平面的法向量，利用，即可求得的值，即可得出结论.
【详解】（1）在中，，
所以．
在中，，
由余弦定理有：，
所以，，所以，
所以，
又因为，，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，
在中：，则，
所以，，
因为，、平面，
所以面．
（2）因为平面，以点A为坐标原点，
、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则有、、、、，
设，其中，
则，
设为面的法向量，则有，
取，则，
所以，平面的一个法向量为，
设与平面所成的角为
，
由题意可得，
可得，因为，所以．
因此，存在点使得与平面所成角的余弦值为，且．
19．(1)①，②
(2)分布列见详解，.
【分析】（1）①根据相互独立事件的乘法公式求得合格品的概率，再利用对立事件的性质求得芯片的前三道工序的次品率；
②利用条件概率公式求解；
（2）利用分层抽样的定义求出抽取6人中分别对手机安装芯片I开机速度满意的人数和对手机安装芯片II开机速度满意的人数，确定出随机变量的取值，并求出每个随机变量值的概率，利用离散型随机变量的期望公式求解.
【详解】（1）①．
②设“芯片I智能自动检测合格”为事件，“人工抽检合格”为事件，
由已知得，，
则工人在流水线进行人工抽检时，“抽检一个芯片，该芯片恰为合格品”为事件，．
（2）对安装芯片I的手机开机速度满意的人数为，
对安装芯片II的手机开机速度满意的人数为，
所以采用分层抽样的方法的抽样比为，
故所抽取的6人中，手机安装芯片I的有2人，手机安装芯片II的有4人，
所以的可能取值为，则，，，
所以的分布列为
所以．
20．(1)
(2)是定值，为
【分析】（1）根据条件列方程组，求出的值，可得所求椭圆的标准方程；
（2）由题设出直线的方程，与椭圆方程联立可得根与系数关系，求得点坐标，以及点坐标，表示出的斜率代入结合根与系数关系消元运算得解.
【详解】（1）由题意：，解得：，
故所求椭圆的标准方程为：．
（2）如图：因为直线斜率不为0，设其方程为：，
代入椭圆方程：，得：，整理得：．
设，则显然，则，
，则直线方程为，
令，得，则，则，，，
，
又代入得
所以为定值．
【点睛】关键点点睛：本题第二问考查直线与椭圆的综合问题.求出，，，代入化简，注意利用韦达定理，方程将代换成，再利用，将代换为，消元运算可得答案.
21．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先求定义域，求导后，对进行分类讨论，即可得到函数的单调性；
（2）根据题意，必有，又由，不等式可化为，构造函数，求导得到其单调性和最值，分离参数求出答案.
【详解】（1）函数的定义域为，
①当时，解不等式，有，令，得，
故函数的减区间为，增区间为；
②当时．，若，可得；
若，可得；
若，可得．
故有，函数单调递增，增区间为，没有减区间；
③当时，解不等式，有或，
令，解得，故函数的增区间为，减区间为；
④当时，解不等式，有或，
令得，
故函数的增区间为，减区间为；
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）若，函数的减区间为，增区间为，且，
当时，由，有恒成立，
所以，必有．
又由，可得．
又由，不等式可化为，
设，
有，
当且时，，可得，
当且时，，可得，
当时，函数单调递增，
故存在正数使得．
若，有，有，
与矛盾，可得，当时，；
当时，，可得函数的减区间为，增区间为，
若，必有，
有，
又由，有，
有，有．又由，有，可得，
有，可得，
由，及，可得，
所以若则实数的取值范围为．
【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，难度相对较大，主要考向有以下几点：
1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；
2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；
3、求函数的极值（最值）；
4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；
5、证明不等式.
解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导，再结合导数与单调性等解决.
22．(1)；.
(2)16
【分析】（1）通过消参得到直线的直角坐标方程，再利用极坐标方程和直角坐标方程之间的互化公式即可；
（2）利用极坐标的几何意义结合二倍角公式求解即可.
【详解】（1）直线的参数方程为（t为参数，），
故，则，即；
故的极坐标方程为：.
把绕坐标原点逆时针旋转得到，故的极坐标方程为：.
（2）曲线的极坐标方程为，
且与交于点A，与交于点B，
联立方程得，,
故.
故面积的最大值为16.
23．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分类讨论x的取值，求出对应的函数解析式，结合图形即可求解；
（2）由（1）知，结合柯西不等式计算即可求解.
【详解】（1），
作出函数的图形，如图，
由图可知的最小值为.
（2）由（1）知，，所以，
根据柯西不等式得，
当且仅当时取等号，
又，所以当且仅当时取等号，
∴.
1
2
3