江苏省徐州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(学生版+解析)

这是一份江苏省徐州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(学生版+解析)，共25页。试卷主要包含了 “”是“”的， 设，则大小关系为， 已知都是正数，且，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“”否定是( )
A. B.
C. D.
2. 已知集合，则( )
A. B.
C. D.
3. 已知函数，角终边经过与图象的交点，则( )
A. 1B. C. D.
4. “”是“”的( )
A. 充分必要条件B. 充分条件
C. 必要条件D. 既不充分又不必要条件
5. 设，则大小关系为( )
A. B.
C D.
6. 拱券是教堂建筑的主要素材之一，常见的拱券包括半圆拱､等边哥特拱､弓形拱､马蹄拱､二心内心拱､四心拱､土耳其拱､波斯拱等.如图，分别以点A和B为圆心，以线段AB为半径作圆弧，交于点C，等边哥特拱是由线段AB，，所围成的图形.若，则该拱券的面积是( )
A. B.
C. D.
7. 已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
8. 若函数在区间内仅有1个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选铓的得0分.
9. 已知都是正数，且，则( )
A B.
C. D.
10. 若函数在一个周期内的图象如图所示，则( )
A. 的最小正周期为
B. 增区间是
C.
D. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到的图象
11. 已知函数，则下列命题正确的是( )
A. 函数是奇函数
B. 函数在区间上存在零点
C. 当时，
D. 若，则
12. 悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形.在工程中有广泛的应用，例如县索桥､双曲拱桥､架空电缆都用到了悬链线的原理.当微积分尚未出现的伽利略时期，伽利略猜测这种形状是抛物线.直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程是，其中为有关参数.这样，数学上又多了一对与有关的著名函数——双曲函数：双曲正弦函数和双曲余弦函数.则( )
A.
B.
C.
D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域为__________.
14. 已知，则的值为__________.
15. 已知正数满足，则的最小值为__________.
16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是__________.
四､解答题：本题6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知集合.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
18. 已知，且.求下列各式的值：
(1)：
(2).
19. 已知函数.
(1)求函数的值域；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
20. “硬科技”是以人工智能､航空航天､生物技术､光电芯片､信息技术､新材料､新能源､智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入､持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿､最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本1000万元，每生产x百台高级设备需要另投成本万元，且每百台高级设备售价为160万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产展最大为10000台.
(1)求企业获得年利润(万元)关于年产量(百台)的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.
21. 已知函数的图象与x轴的两个相邻交点之间的距离为，直线是的图象的一条对称轴.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上恰有3个零点，请直接写出的取值范围，并求的值.
22. 对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的.
(1)若是由“基函数和”生成的，求实数的值；
(2)试利用“基函数和”生成一个函数，使之满足为偶函数，且.
①求函数的解析式；
②已知，对于区间上的任意值，，若恒成立，求实数的最小值.(注：.)
2022~2023学年度第一学期期末抽测
高一年级数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称命题的否定形式书写即可判断.
【详解】利用全称量词命题否定是存在量词命题，
所以命题“”的否定为：“”，
故选：.
2. 已知集合，则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法和指数函数的单调性求出集合，然后利用集合的运算即可求解.
【详解】集合，
集合，
则，由并集的运算可知：，
故选：A
3. 已知函数，角终边经过与图象的交点，则( )
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数的性质求出两函数图象的交点坐标，结合任意角的三角函数的定义即可求解.
【详解】因为幂函数和图象的交点为，
所以角的终边经过交点，
所以.
故选：A.
4. “”是“”的( )
A. 充分必要条件B. 充分条件
C. 必要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据可得到或，进而利用充分条件和必要条件的判断即可求解.
【详解】由可得或，所以充分性不成立；
由可推出成立，所以必要性成立，
结合选项可知：“”是“”的必要条件，
故选：.
5. 设，则的大小关系为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性可得，根据对数运算性质和对数函数的单调性可得，即可求解.
【详解】由题意知，
，
，所以，
，
所以.
故选：D.
6. 拱券是教堂建筑的主要素材之一，常见的拱券包括半圆拱､等边哥特拱､弓形拱､马蹄拱､二心内心拱､四心拱､土耳其拱､波斯拱等.如图，分别以点A和B为圆心，以线段AB为半径作圆弧，交于点C，等边哥特拱是由线段AB，，所围成的图形.若，则该拱券的面积是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出扇形的面积和三角形的面积即得解.
【详解】解：设的长为.
所以扇形的面积为.
的面积为.
所以该拱券的面积为.
故选：D
7. 已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据不等式的解集，利用韦达定理得到的关系，再代入求解不等式的解集.
【详解】由条件可知，的两个实数根是和，且，
则，得，，
所以，即，
解得：，
所以不等式的解集为.
故选：A
8. 若函数在区间内仅有1个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的零点，即对称点的横坐标，列出3个相邻的对称点，由在内仅有一个零点可得，解之即可.
【详解】由题意知，
令，解得，
得函数3个相邻的对称点分别为，
因为函数在内仅有一个零点，
所以，，
解得，，当时，，得.
故选：C.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选铓的得0分.
9. 已知都是正数，且，则( )
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断选项，利用作差法判断选项.
【详解】对于，，因为，
所以，则，所以，故选项正确；
对于，，因为，所以，
则无法判断的符号，故选项错误；
对于，因为都是正数，且，所以，故选项正确；
对于，，
因为都是正数，且，所以，则
所以，则，故选项正确，
故选：.
10. 若函数在一个周期内的图象如图所示，则( )
A. 最小正周期为
B. 的增区间是
C.
D. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到的图象
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合图象根据正弦函数的图象和性质逐项进行分析即可求解.
【详解】由图象可知：，，所以，则，
又因为函数图象过点，所以，则，所以，
又因为，所以，则函数解析式为：.
对于，函数的最小正周期，故选项正确；
对于，因为，令，
解得：，
所以函数的增区间是，故选项正确；
对于，因为函数的最小正周期，则，
，所以
，故选项错误；
对于，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到，故选项正确，
故选：.
11. 已知函数，则下列命题正确的是( )
A. 函数是奇函数
B. 函数在区间上存在零点
C. 当时，
D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性判断A；根据零点的存在性定理判断B；结合图形，根据函数的单调性判断C；根据赋值法判断D.
【详解】A：函数的定义域为R，关于原点对称，
，，
所以函数为非奇非偶函数，故A错误；
B：，
有，又函数是连续的，
由零点的存在性定理，得函数在上存在零点，故B正确；
C：如图，当时，，
函数，且在R上单调递减，且，
当时，，即，故C正确；

D：，
当时，，故D错误.
故选：BC.
12. 悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形.在工程中有广泛的应用，例如县索桥､双曲拱桥､架空电缆都用到了悬链线的原理.当微积分尚未出现的伽利略时期，伽利略猜测这种形状是抛物线.直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程是，其中为有关参数.这样，数学上又多了一对与有关的著名函数——双曲函数：双曲正弦函数和双曲余弦函数.则( )
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据新定义，直接运算即可判断A，根据即可判断B，结合同底数幂的乘法法则，利用作差法即可判断CD.
【详解】A：
，故A错误；
B：，故B正确；
C：，
，即，故C正确；
D：
，
由得，即，故D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数与分式、根式的定义域求解即可.
【详解】由题意，，解得，
故函数的定义域为.
故答案为：.
14. 已知，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据角与互补，角与的关系，再结合诱导公式即可求解.
【详解】由题意可知：，
则，
又因为，所以，
所以，
故答案为：.
15. 已知正数满足，则的最小值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】首先将条件变形为，再利用“1”的妙用，结合基本不等式求的最小值.
【详解】因为，所以，，
所以，
当，即，即，时等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：
16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用奇偶性求出函数的解析式，分类讨论即可求解.
【详解】当时，，所以，
因为函数是定义在R上的奇函数，所以，
所以当时，，
所以，
要解不等式，只需或或，
解得或或，
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
四､解答题：本题6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知集合.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】(1)先化简集合，再利用集合的并集运算即可得解；
(2)先由条件得到，再对与分两种情况讨论得解.
【小问1详解】
因为当时，，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，
当时，，，满足；
当时，，
因为，所以；
综上，实数的取值范围为.
18. 已知，且.求下列各式的值：
(1)：
(2).
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据角的范围和同角三角函数的基本关系得出，进一步得到，将式子弦化切即可求解；
(2)利用诱导公式将式子化简为，结合(1)即可求解.
【小问1详解】
因为且，所以，
则，
所以.
【小问2详解】
.
19. 已知函数.
(1)求函数的值域；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用换元法注意新元的范围及二次函数的性质即可求解；
(2)根据对数的运算性质及对数不等式的解法，将不等式恒成立的问题转化为求函数的最值问题，结合基本不等式即可求解.
【小问1详解】
令，因为，所以，
从而，
由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得最小值为，
当时，函数取得最大值为，
所以函数的值域为.
【小问2详解】
因为函数的定义域为，所以，解得.
因为，
所以当时，恒成立等价于在上恒成立，即，即可.
因为，
当且仅当，即时取等号，
所以当时， 的最小值为,即，
故实数的取值范围为.
20. “硬科技”是以人工智能､航空航天､生物技术､光电芯片､信息技术､新材料､新能源､智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入､持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿､最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本1000万元，每生产x百台高级设备需要另投成本万元，且每百台高级设备售价为160万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产展最大为10000台.
(1)求企业获得年利润(万元)关于年产量(百台)的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.
【答案】(1)；
(2)当年产量为30百台时公司获利最大，且最大利润为800万元.
【解析】
【分析】(1)根据利润、成本、收入之间的关系分类讨论即可；
(2)当时，结合二次函数的性质求出函数的最大值；当时，利用基本不等式求出函数的最大值，再比大小，即可求解.
【小问1详解】
当时，
.
当时，
，
所以；
【小问2详解】
当时，
，
所以当时，(万元).
当时，
(万元)，
当且仅当即时，等号成立.
因为，
所以当年产量为30百台时，公司获利最大，且最大利润为800万元.
21. 已知函数的图象与x轴的两个相邻交点之间的距离为，直线是的图象的一条对称轴.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上恰有3个零点，请直接写出的取值范围，并求的值.
【答案】(1)
(2)；
【解析】
【分析】(1)根据函数的图象性质，求解函数的解析式；
(2)首先求函数，将函数的零点转化为函数图象的交点问题，利用数形结合求参数的取值范围，得到零点的关系，即可求解.
【小问1详解】
由条件可知，周期，所以，又，得，
，因为，所以，
即函数；
【小问2详解】
，
当，设，
由条件转化为与，在上的图象恰有3个不同的交点，
作出与的图象，如图所示，
由图可知，，且，，
，
所以.
22. 对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的.
(1)若是由“基函数和”生成的，求实数的值；
(2)试利用“基函数和”生成一个函数，使之满足为偶函数，且.
①求函数的解析式；
②已知，对于区间上的任意值，，若恒成立，求实数的最小值.(注：.)
【答案】(1)；
(2)①；②.
【解析】
【分析】(1)根据题意，可得，化简，利用对应项的系数相等即可求解；
①设，根据函数为偶函数得出，再结合，即可求出的值，进而求出函数的解析式；
②利用定义证明函数的单调，将式子化简为，然后根据条件求解即可.
【小问1详解】
由已知，可得，
则，则，解得，
所以实数的值为.
【小问2详解】
①设，
因为为偶函数，所以，
由，可得，
整理可得，即，所以，
所以对任意恒成立，所以，
所以，
又因为，所以，所以，
故函数的解析式为.
②由①知.
在内任取，且，
则，
因
，，
所以，，所以，
所以，即，
所以，即，
所以函数在上是增函数，同理可证，函数在上是减函数.
设，
则，
所以
，
当且仅当或时，有最大值，
故的最小值为.
【点睛】“新定义”主要是指新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.