2024年高考一轮复习精细讲义第10讲　“板—块”＋“传送带”问题(原卷版+解析)

这是一份2024年高考一轮复习精细讲义第10讲　“板—块”＋“传送带”问题(原卷版+解析)，共41页。试卷主要包含了模型特点，两种位移关系，解题方法，解题思路，则下列判断中正确的是等内容，欢迎下载使用。


考点一 “板—块”模型
1．模型特点
上、下叠放两个物体，在摩擦力的相互作用下两物体发生相对滑动．
2．两种位移关系
滑块由滑板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和滑板同向运动，位移之差等于板长；反向运动时，位移之和等于板长．
3．解题方法
整体法、隔离法．
4．解题思路
（1）审题建模：求解时，应先仔细审题，清楚题目的含义、分析清楚每一个物体的受力情况、运动情况。
（2）求加速度：因题目所给的情境中至少涉及两个物体、多个运动过程，并且物体间还存在相对运动，所以应准确求出各物体在各运动过程的加速度（注意两过程的连接处加速度可能突变）。
（3）明确关系：对滑块和滑板进行运动情况分析，找出滑块和滑板之间的位移关系或速度关系，建立方程。这是解题的突破口。特别注意滑块和滑板的位移都是相对地的位移。求解中更应注意联系两个过程的纽带，每一个过程的末速度是下一个过程的初速度。
【典例1】长为L＝1.5 m的长木板B静止放在水平冰面上，小物块A以某一初速度v0从木板B的左端滑上长木板B，直到A、B的速度达到相同，此时A、B的速度为v＝0.4 m/s，然后A、B又一起在水平冰面上滑行了s＝8.0 cm后停下．若小物块A可视为质点，它与长木板B的质量相同，A、B间的动摩擦因数μ1＝0.25，取g＝10 m/s2.求：
(1)木板与冰面的动摩擦因数μ2；
(2)小物块A的初速度v0；
(3)为了保证小物块不从木板的右端滑落，小物块滑上木板的最大初速度v0m应为多少？
【典例2】质量为m0＝20 kg、长为L＝5 m的木板放在水平面上，木板与水平面的动摩擦因数为μ1＝0.15.将质量m＝10 kg 的小木块(可视为质点)，以v0＝4 m/s的速度从木板的左端被水平抛射到木板上(如图所示)，小木块与木板面的动摩擦因数为μ2＝0.4(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2)．则下列判断中正确的是( )
A．木板一定静止不动，小木块不能滑出木板
B．木板一定静止不动，小木块能滑出木板
C．木板一定向右滑动，小木块不能滑出木板
D．木板一定向右滑动，小木块能滑出木板
【典例3】一长木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物块；在木板右方有一墙壁，木板右端与墙壁的距离为4.5 m，如图a所示．t＝0时刻开始，小物块与木板一起以共同速度向右运动，直至t＝1 s时木板与墙壁碰撞(碰撞时间极短)．碰撞前后木板速度大小不变，方向相反；运动过程中小物块始终未离开木板．已知碰撞后1 s时间内小物块的v－t图线如图b所示．木板的质量是小物块质量的15倍，重力加速度大小g取10 m/s2.求：
(1)木板与地面间的动摩擦因数μ1及小物块与木板间的动摩擦因数μ2；
(2)木板的最小长度；
(3)木板右端离墙壁的最终距离．
考点二 水平传送带问题
（1）滑块在水平传送带上运动常见的三个情景
（2）水平传送带两种情况：物体的初速度与传送带速度同向（含物体初速度为0）或反向。
在匀速运动的水平传送带上，只要物体和传送带不共速，物体就会在滑动摩擦力的作用下，朝着和传送带共速的方向变速（若v物v传，则物体减速），直到共速，滑动摩擦力消失，与传送带一起匀速，或由于传送带不是足够长，在匀加速或匀减速过程中始终没达到共速。
计算物体与传送带间的相对路程要分两种情况：①若二者同向，则Δs＝|s传－s物|；②若二者反向，则Δs＝|s传|＋|s物|。
（3）求解水平传送带问题的关键在于对物体所受的摩擦力进行正确的分析判断。判断摩擦力时要注意比较物体的运动速度与传送带的速度，也就是分析物体在运动位移x（对地）的过程中速度是否和传送带速度相等。物体的速度与传送带速度相等的时刻就是物体所受摩擦力发生突变的时刻。
【典例1】(多选)如图所示，水平传送带以速度v1匀速运动，小物体P、Q由通过定滑轮且不可伸长的轻绳相连，t＝0时刻P在传送带左端具有速度v2，P与定滑轮间的绳水平，t＝t0时刻P离开传送带．不计定滑轮质量和摩擦，绳足够长．正确描述小物体P速度随时间变化的图象可能是( )
【典例2】如图所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率v1运行．初速度大小为v2的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处滑上传送带．若从小物块滑上传送带开始计时，小物块在传送带上运动的v－t图象(以地面为参考系)如图乙所示．已知v2>v1，则( )
A．t2时刻，小物块离A处的距离达到最大
B．t2时刻，小物块相对传送带滑动的距离最大
C．0～t2时间内，小物块受到的摩擦力方向先向右后向左
D．0～t3时间内，小物块始终受到大小不变的摩擦力作用
【典例3】(多选)如图所示，质量为m的物体用细绳拴住放在粗糙的水平传送带上，物体距传送带左端的距离为L.当传送带分别以v1、v2的速度逆时针转动(v1＜v2)，稳定时绳与水平方向的夹角为θ，绳中的拉力分别为F1，F2；若剪断细绳时，物体到达左端的时间分别为t1、t2，则下列说法正确的是( )
A．F1＜F2B．F1＝F2
C．t1一定大于t2 D．t1可能等于t2
考点三 倾斜传送带问题
（1）滑块在倾斜传送带上运动常见的四个情景
（2）物体沿倾角为θ的传送带传送时，可以分为两类：物体由底端向上运动，或者由顶端向下运动。解决倾斜传送带问题时要特别注意mgsin θ与μmgcs θ的大小和方向的关系，进一步判断物体所受合力与速度方向的关系，确定物体运动情况。
（3）求解倾斜传送带问题的关键在于认真分析物体与传送带的相对运动情况，从而确定其是否受到滑动摩擦力作用。如果受到滑动摩擦力作用应进一步确定其大小和方向，然后根据物体的受力情况确定物体的运动情况。当物体速度与传送带速度相等时，物体所受的摩擦力有可能发生突变。
【典例1】如图所示，倾角为37°，长为l＝16 m的传送带，转动速度为v＝10 m/s，在传送带顶端A处无初速度的释放一个质量为m＝0.5 kg的物体，已知物体与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2.求：(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
(1)传送带顺时针转动时，物体从顶端A滑到底端B的时间；
(2)传送带逆时针转动时，物体从顶端A滑到底端B的时间．
【典例2】如图所示，A、B两个皮带轮被紧绷的传送皮带包裹，传送皮带与水平面的夹角为θ，在电动机的带动下，可利用传送皮带传送货物．已知皮带轮与皮带之间无相对滑动，皮带轮不转动时，某物体从皮带顶端由静止开始下滑到皮带底端所用的时间是t，则( )
A．当皮带轮逆时针匀速转动时，该物体从顶端由静止滑到底端所用时间一定大于t
B．当皮带轮逆时针匀速转动时，该物体从顶端由静止滑到底端所用时间一定小于t
C．当皮带轮顺时针匀速转动时，该物体从顶端由静止滑到底端所用时间可能等于t
D．当皮带轮顺时针匀速转动时，该物体从顶端由静止滑到底端所用时间一定小于t
【典例3】如图所示为上、下两端相距 L＝5 m、倾角α＝30°、始终以v＝3 m/s的速率顺时针转动的传送带(传送带始终绷紧)．将一物体放在传送带的上端由静止释放滑下，经过t＝2 s到达下端，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)传送带与物体间的动摩擦因数多大？
(2)如果将传送带逆时针转动，速率至少多大时，物体从传送带上端由静止释放能最快地到达下端？
1．(多选)如图所示是某工厂所采用的小型生产流水线示意图，机器生产出的物体源源不断地从出口处以水平速度v0滑向一粗糙的水平传送带，最后从传送带上落下装箱打包．假设传送带静止不动时，物体滑到传送带右端的速度为v，最后物体落在P处的箱包中．下列说法正确的是( )
A．若传送带随皮带轮顺时针方向转动起来，且传送带速度小于v，物体仍落在P点
B．若传送带随皮带轮顺时针方向转动起来，且传送带速度大于v0，物体仍落在P点
C．若传送带随皮带轮顺时针方向转动起来，且传送带速度大于v，物体仍落在P点
D．若由于操作不慎，传送带随皮带轮逆时针方向转动起来，物体仍落在P点
2．如图所示，在水平桌面上叠放着质量均为M的A、B两块木板，在木板A的上面放着一个质量为m的物块C，木板和物块均处于静止状态．A、B、C之间以及B与地面之间的动摩擦因数都为μ.若用水平恒力F向右拉动木板A，使之从C、B之间抽出来，已知重力加速度为g，则拉力F的大小应该满足的条件是(已知最大静摩擦力的大小等于滑动摩擦力)( )
A．F＞μ(2m＋M)gB．F＞μ(m＋2M)g
C．F＞2μ(m＋M)g D．F＞2μmg
3．如图所示，水平桌面由粗糙程度不同的AB、BC两部分组成，且AB＝BC，小物块P(可视为质点)以某一初速度从A点滑上桌面，最后恰好停在C点，已知物块经过AB与BC两部分的时间之比为1∶4，则物块P与桌面上AB、BC部分之间的动摩擦因数μ1、μ2之比为(P物块在AB、BC上所做两段运动可看做匀变速直线运动)( )
A．1∶1 B．1∶4
C．4∶1 D．8∶1
4．一长轻质木板置于光滑水平地面上，木板上放质量分别为mA＝1 kg和mB＝2 kg的A、B两物块，A、B与木板之间的动摩擦因数都为μ＝0.2，水平恒力F作用在A物块上，如图所示(重力加速度g取10 m/s2)．则( )
A．若F＝1 N，则物块、木板都静止不动
B．若F＝1.5 N，则A物块所受摩擦力大小为1.5 N
C．若F＝4 N，则B物块所受摩擦力大小为4 N
D．若F＝8 N，则B物块的加速度为1 m/s2
5．(多选)如图所示，用皮带输送机将质量为M的物块向上传送，两者间保持相对静止，则下列关于物块所受摩擦力Ff的说法正确的是( )
A．皮带传送的速度越大，Ff越大
B．皮带加速运动的加速度越大，Ff越大
C．皮带速度恒定，物块质量越大，Ff越大
D．Ff的方向一定与皮带速度方向相同
6．一小物块随足够长的水平传送带一起运动，被一水平向左飞行的子弹击中并从物块中穿过，如图甲所示．固定在传送带右端的位移传感器记录了小物块被击中后的位移x随时间的变化关系如图乙所示(图象前3 s内为二次函数，3 s～4.5 s内为一次函数，取向左运动的方向为正方向)．已知传送带的速度v1保持不变，g取10 m/s2.
(1)求传送带速度v1的大小；
(2)求零时刻物块速度v0的大小；
(3)在图丙中画出物块对应的v－t图象．
7．如图甲所示，足够长的水平传送带以v0＝2 m/s的速度匀速运行．t＝0时，在最左端轻放一个小滑块，t＝2 s时传送带突然制动停下. 已知滑块与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.2, g＝10 m/s2.在图乙中，关于滑块相对地面运动的v－t图象正确的是( )
8．(多选)如图所示，在光滑水平面上，放着两块长度相同，质量分别为M1和M2的木板，在两木板的左端各放一个大小、形状、质量完全相同的物块．开始时，各物均静止，今在两物体上各作用一水平恒力F1、F2，当物块和木板分离时，两木板的速度分别为v1和v2，物体和木板间的动摩擦因数相同，下列说法正确的是( )
A．若F1＝F2，M1＞M2，则v1＞v2
B．若F1＝F2，M1＜M2，则v1＞v2
C．若F1＞F2，M1＝M2，则v1＞v2
D．若F1＜F2，M1＝M2，则v1＞v2
9．(多选)如图所示为粮袋的传送装置，已知AB间长度为L，传送带与水平方向的夹角为θ，工作时其运行速度为v，粮袋与传送带间的动摩擦因数为μ，正常工作时工人在A点将粮袋放到运行中的传送带上，关于粮袋从A到B的运动，以下说法正确的是(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)( )
A．粮袋到达B点的速度与v比较，可能大，也可能相等或小
B．粮袋开始运动的加速度为g(sin θ－μcs θ)，若L足够大，则以后将一定以速度v做匀速运动
C．若μD．不论μ大小如何，粮袋从A到B一直做匀加速运动，且 a>gsin θ
10．(多选)如图所示，传送带与水平地面的夹角，从A到的长度为，传送带以的速率逆时针转动。在传送带上端A无初速度地放一个质量为的黑色煤块，它与传送带之间的动摩擦因数为。煤块在传送带上经过会留下黑色痕迹。已知，取，则（ ）
A．煤块一直加速运动
B．煤块从A到的时间为
C．煤块从A到的过程中在传送带上留下痕迹的长度是
D．煤块从A到的过程中在传送带上留下痕迹的长度是
11．如图所示，一足够长的传送带倾斜放置，倾角，以恒定速率顺时针转动。一煤块以初速度从A端冲上传送带，煤块与传送带之间动摩擦因数，取。下列说法正确的是（ ）
A．煤块冲上传送带后经1s与传送带速度相同
B．煤块向上滑行的最大位移为8m
C．煤块从冲上传送带到返回A端所用的时间为5s
D．煤块在传送带上留下的痕迹长为
12．如图所示，一质量为mB＝2 kg，长为L＝6 m的薄木板B放在水平面上，质量为mA＝2 kg的物体A(可视为质点)在一电动机拉动下从木板左端以v0＝5 m/s的速度向右匀速运动．在物体带动下，木板以a＝2 m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，此时牵引物体的轻绳的拉力F＝8 N．已知各接触面间的动摩擦因数恒定，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)经多长时间物体A滑离木板？
(2)木板与水平面间的动摩擦因数为多少？
(3)物体A滑离木板后立即取走物体A，木板能继续滑行的距离为多少？
13．如图甲所示，光滑水平面上放置斜面体ABC，AB与BC圆滑连接，AB表面粗糙且水平(长度足够长)，倾斜部分BC表面光滑，与水平面的夹角θ＝37°.在斜面体右侧与竖直墙壁之间连接着一个力传感器，规定力传感器受压时，其示数为正值；力传感器被拉时，其示数为负值．一个可视为质点的滑块从斜面体的C点由静止开始下滑，运动过程中，力传感器记录到力F和时间t的关系如图乙所示．(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2)，求：
(1)斜面BC的长度；
(2)滑块的质量；
(3)运动过程中滑块克服摩擦力做的功．
14．某物流公司用如图所示的传送带将货物从高处传送到低处。传送带与水平地面夹角，顺时针转动的速率为。将质量为的物体无初速地放在传送带的顶端A，物体到达底端B后能无碰撞地滑上质量为的木板左端。已知物体与传送带、木板间的动摩擦因数分别为的距离为。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度（已知）。求：
（1）物体刚开始下滑时的加速度大小和物体滑上木板左端时的速度大小；
（2）若地面光滑，要使物体不会从木板上掉下，木板长度L至少应是多少；
（3）若木板与地面的动摩擦因数为，且物体不会从木板上掉下，求木板的最小长度与的关系式。
15．如图，光滑水平桌面右端固定有一个定滑轮和挡板P，长木板c质量为，物块a静止放在长木板c左端，并通过与桌面平行的轻绳与重物b相连。重物b由静止释放后时，长木板c与挡板P发生碰撞（碰撞时间极短），同时轻绳立即断裂，碰后长木板c以碰前速率的0.8倍反弹，已知物块a和重物b的质量均为，物块a与长木板c间的动摩擦因数为，光滑水平桌面足够长，重物b离地面的高度足够高，。求：
（1）重物b刚开始下落时轻绳的拉力及长木板c与挡板P碰前的速率为多少？
（2）长木板c至少需要多长，物块a才不会从c上滑出？

16．如图所示，倾角为的足够长的斜面固定在水平面上，斜面上放一长度为、质量的木板，M与斜面间的动摩擦因数，木板在沿斜面向下的恒力的作用下从静止开始下滑，经时间，将一质量也为的可视为质点的物块m无初速地轻放在木板的最下端，物块与木板间的动摩擦因数，当物块与木板速度相同时撤去恒力F，最终物块会与木板分离。（，g取，不计空气阻力）试求：
（1）时木板速度的大小；
（2）物块与木板共速时的速度大小；
（3）物块滑离木板时的速度大小。
17．如图所示，一足够长的水平传送带以速度匀速运动，质量为的小物块P和质量为的小物块Q由通过定滑轮的轻绳连接，轻绳足够长且不可伸长。某时刻给P、Q同时提供大小相等的初速度，使Q竖直向上运动、P从传送带左端冲上传送带，P与定滑轮间的绳子水平。已知物块P与传送带间的动摩擦因数，重力加速度为，不计滑轮的质量与摩擦，整个运动过程中物块Q都没有上升到定滑轮处。求：
（1）物块P在传送带上运动过程中受到的摩擦力大小和方向：
（2）物块P在传送带上向右运动的最大距离x。
状态
板、块速度不相等
板、块速度相等瞬间
板、块共速运动
方法
隔离法
假设法
整体法
步骤
对滑块和木板进行隔离分析，弄清每个物体的受力情况与运动过程
假设两物体间无相对滑动，先用整体法算出一起运动的加速度，再用隔离法算出其中一个物体“所需要”的摩擦力Ff；比较Ff与最大静摩擦力Ffm的关系，若Ff>Ffm，则发生相对滑动
将滑块和木板看成一个整体，对整体进行受力分析和运动过程分析
临界
条件
①两者速度达到相等的瞬间，摩擦力可能发生突变②当木板的长度一定时，滑块可能从木板滑下，恰好滑到木板的边缘达到共同速度（相对静止）是滑块滑离木板的临界条件
原理
时间及位移关系式、运动学公式、牛顿运动定律、动能定理、功能关系等
项目
图示
滑块可能的运动情况
情景一
(1)可能一直加速
(2)可能先加速后匀速
情景二
(1)v0>v时，可能一直减速，也可能先减速再匀速
(2)v0情景三
(1)传送带较短时，滑块一直减速到达左端
(2)传送带较长时，滑块还要被传送带传回右端．其中v0>v返回时速度为v，当v0项目
图示
滑块可能的运动情况
情景一
①可能一直加速
②可能先加速后匀速
情景二
①可能一直加速
②可能先加速后匀速
③可能先以a1加速后以a2加速
情景三
①可能一直加速
②可能先加速后匀速
③可能一直匀速
④可能先以a1加速后以a2加速
情景四
①可能一直加速
②可能一直匀速
③可能先减速后反向加速
第10讲 “板—块”＋“传送带”问题
——划重点之精细讲义系列
考点一 “板—块”模型
1．模型特点
上、下叠放两个物体，在摩擦力的相互作用下两物体发生相对滑动．
2．两种位移关系
滑块由滑板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和滑板同向运动，位移之差等于板长；反向运动时，位移之和等于板长．
3．解题方法
整体法、隔离法．
4．解题思路
（1）审题建模：求解时，应先仔细审题，清楚题目的含义、分析清楚每一个物体的受力情况、运动情况。
（2）求加速度：因题目所给的情境中至少涉及两个物体、多个运动过程，并且物体间还存在相对运动，所以应准确求出各物体在各运动过程的加速度（注意两过程的连接处加速度可能突变）。
（3）明确关系：对滑块和滑板进行运动情况分析，找出滑块和滑板之间的位移关系或速度关系，建立方程。这是解题的突破口。特别注意滑块和滑板的位移都是相对地的位移。求解中更应注意联系两个过程的纽带，每一个过程的末速度是下一个过程的初速度。
【典例1】长为L＝1.5 m的长木板B静止放在水平冰面上，小物块A以某一初速度v0从木板B的左端滑上长木板B，直到A、B的速度达到相同，此时A、B的速度为v＝0.4 m/s，然后A、B又一起在水平冰面上滑行了s＝8.0 cm后停下．若小物块A可视为质点，它与长木板B的质量相同，A、B间的动摩擦因数μ1＝0.25，取g＝10 m/s2.求：
(1)木板与冰面的动摩擦因数μ2；
(2)小物块A的初速度v0；
(3)为了保证小物块不从木板的右端滑落，小物块滑上木板的最大初速度v0m应为多少？
解析 (1)小物块和木板一起运动时，受冰面的滑动摩擦力，做匀减速运动，则加速度
a＝eq \f(v2,2s)＝1.0 m/s2
由牛顿第二定律得μ2mg＝ma
解得μ2＝0.10.
(2)小物块相对木板滑动时受木板对它的滑动摩擦力，做匀减速运动，其加速度
a1＝μ1g＝2.5 m/s2
小物块在木板上滑动，木板受小物块的滑动摩擦力和冰面的滑动摩擦力，做匀加速运动，则有
μ1mg－μ2(2m)g＝ma2
解得a2＝0.50 m/s2.
设小物块滑上木板经时间t后小物块、木板的速度相同为v，则
对于木板v＝a2t
解得t＝eq \f(v,a2)＝0.8 s
小物块滑上木板的初速度v0＝v＋a1t＝2.4 m/s.
(3)小物块滑上木板的初速度越大，它在木板上相对木板滑动的距离越大，当滑动距离等于木板长时，小物块到达木板B的最右端，两者的速度相等(设为v′)，这种情况下小物块的初速度为保证其不从木板上滑落的最大初速度v0m，则
v0mt－eq \f(1,2)a1t2－eq \f(1,2)a2t2＝L
v0m－v′＝a1t
v′＝a2t
由以上三式解得v0m＝3.0 m/s.
答案 (1)0.10 (2)2.4 m/s (3)3.0 m/s
【典例2】质量为m0＝20 kg、长为L＝5 m的木板放在水平面上，木板与水平面的动摩擦因数为μ1＝0.15.将质量m＝10 kg 的小木块(可视为质点)，以v0＝4 m/s的速度从木板的左端被水平抛射到木板上(如图所示)，小木块与木板面的动摩擦因数为μ2＝0.4(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2)．则下列判断中正确的是( )
A．木板一定静止不动，小木块不能滑出木板
B．木板一定静止不动，小木块能滑出木板
C．木板一定向右滑动，小木块不能滑出木板
D．木板一定向右滑动，小木块能滑出木板
解析：选A.木板与地面间的摩擦力为Ff1＝μ1(m0＋m)g＝0.15×(20＋10)×10 N＝45 N，小木块与木板之间的摩擦力为Ff2＝μ2mg＝0.4×10×10 N＝40 N，Ff1>Ff2，所以木板一定静止不动；设小木块在木板上滑行的距离为x，veq \\al(2,0)＝2μ2gx，解得x＝2 m【典例3】一长木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物块；在木板右方有一墙壁，木板右端与墙壁的距离为4.5 m，如图a所示．t＝0时刻开始，小物块与木板一起以共同速度向右运动，直至t＝1 s时木板与墙壁碰撞(碰撞时间极短)．碰撞前后木板速度大小不变，方向相反；运动过程中小物块始终未离开木板．已知碰撞后1 s时间内小物块的v－t图线如图b所示．木板的质量是小物块质量的15倍，重力加速度大小g取10 m/s2.求：
(1)木板与地面间的动摩擦因数μ1及小物块与木板间的动摩擦因数μ2；
(2)木板的最小长度；
(3)木板右端离墙壁的最终距离．
解析：(1)规定向右为正方向．木板与墙壁相碰前，小物块和木板一起向右做匀变速运动，设加速度为a1，小物块和木板的质量分别为m和M.由牛顿第二定律有
－μ1(m＋M)g＝(m＋M)a1①
由题图b可知，木板与墙壁碰撞前瞬间的速度
v1＝4 m/s，
由运动学公式有
v1＝v0＋a1t1②
s0＝v0t1＋eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1)③
式中，t1＝1 s，s0＝4.5 m是木板碰撞前的位移，v0是小物块和木板开始运动时的速度．
联立①②③式和题给条件得
μ1＝0.1④
在木板与墙壁碰撞后，木板以－v1的初速度向左做匀变速运动，小物块以v1的初速度向右做匀变速运动．设小物块的加速度为a2，由牛顿第二定律有
－μ2mg＝ma2⑤
由题图b可得
a2＝eq \f(v2－v1,t2－t1)⑥
式中，t2＝2 s，v2＝0，联立⑤⑥式和题给条件得
μ2＝0.4⑦
(2)设碰撞后木板的加速度为a3，经过时间Δt，木板和小物块刚好具有共同速度v3.由牛顿第二定律及运动学公式得
μ2mg＋μ1(M＋m)g＝Ma3⑧
v3＝－v1＋a3Δt⑨
v3＝v1＋a2Δt⑩
碰撞后至木板和小物块刚好达到共同速度的过程中，木板运动的位移为
s1＝eq \f(－v1＋v3,2)Δt⑪
小物块运动的位移为
s2＝eq \f(v1＋v3,2)Δt⑫
小物块相对木板的位移为Δs＝s2－s1⑬
联立⑥⑧⑨⑩⑪⑫⑬式，并代入数值得
Δs＝6.0 m ⑭
因为运动过程中小物块没有脱离木板，所以木板的最小长度应为6.0 m.
(3)在小物块和木板具有共同速度后，两者向左做匀变速运动直至停止，设加速度为a4，此过程中小物块和木板运动的位移为s3.由牛顿第二定律及运动学公式得
μ1(m＋M)g＝(m＋M)a4⑮
0－veq \\al(2,3)＝2a4s3⑯
碰后木板运动的位移为
s＝s1＋s3⑰
联立⑥⑧⑨⑩⑪⑮⑯⑰式，并代入数值得
s＝－6.5 m⑱
木板右端离墙壁的最终距离为6.5 m.
答案：(1)0.1 0.4 (2)6.0 m (3)6.5 m
考点二 水平传送带问题
（1）滑块在水平传送带上运动常见的三个情景
（2）水平传送带两种情况：物体的初速度与传送带速度同向（含物体初速度为0）或反向。
在匀速运动的水平传送带上，只要物体和传送带不共速，物体就会在滑动摩擦力的作用下，朝着和传送带共速的方向变速（若v物v传，则物体减速），直到共速，滑动摩擦力消失，与传送带一起匀速，或由于传送带不是足够长，在匀加速或匀减速过程中始终没达到共速。
计算物体与传送带间的相对路程要分两种情况：①若二者同向，则Δs＝|s传－s物|；②若二者反向，则Δs＝|s传|＋|s物|。
（3）求解水平传送带问题的关键在于对物体所受的摩擦力进行正确的分析判断。判断摩擦力时要注意比较物体的运动速度与传送带的速度，也就是分析物体在运动位移x（对地）的过程中速度是否和传送带速度相等。物体的速度与传送带速度相等的时刻就是物体所受摩擦力发生突变的时刻。
【典例1】(多选)如图所示，水平传送带以速度v1匀速运动，小物体P、Q由通过定滑轮且不可伸长的轻绳相连，t＝0时刻P在传送带左端具有速度v2，P与定滑轮间的绳水平，t＝t0时刻P离开传送带．不计定滑轮质量和摩擦，绳足够长．正确描述小物体P速度随时间变化的图象可能是( )
解析 若v1>v2，且P受到的滑动摩擦力大于Q的重力，则可能先向右匀加速，加速至v1后随传送带一起向右匀速，此过程如图B所示，故B正确．若v1>v2，且P受到的滑动摩擦力小于Q的重力，此时P一直向右减速，减速到零后反向加速．若v2>v1，P受到的滑动摩擦力向左，开始时加速度a1＝eq \f(FT＋μmg,m)，当减速至速度为v1时，摩擦力反向，若有FT>μmg，此后加速度a2＝eq \f(FT－μmg,m)，故C正确，A、D错误．
答案 BC
【典例2】如图所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率v1运行．初速度大小为v2的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处滑上传送带．若从小物块滑上传送带开始计时，小物块在传送带上运动的v－t图象(以地面为参考系)如图乙所示．已知v2>v1，则( )
A．t2时刻，小物块离A处的距离达到最大
B．t2时刻，小物块相对传送带滑动的距离最大
C．0～t2时间内，小物块受到的摩擦力方向先向右后向左
D．0～t3时间内，小物块始终受到大小不变的摩擦力作用
解析：选B.物块滑上传送带后将做匀减速运动，t1时刻速度为零，此时小物块离A处的距离达到最大，选项A错误；然后在传送带滑动摩擦力的作用下向右做匀加速运动，t2时刻与传送带达到共同速度，此时小物块相对传送带滑动的距离最大，选项B正确；0～t2时间内，小物块受到的摩擦力方向始终向右，选项C错误；t2～t3时间内小物块不受摩擦力，选项D错误．
【典例3】(多选)如图所示，质量为m的物体用细绳拴住放在粗糙的水平传送带上，物体距传送带左端的距离为L.当传送带分别以v1、v2的速度逆时针转动(v1＜v2)，稳定时绳与水平方向的夹角为θ，绳中的拉力分别为F1，F2；若剪断细绳时，物体到达左端的时间分别为t1、t2，则下列说法正确的是( )
A．F1＜F2B．F1＝F2
C．t1一定大于t2 D．t1可能等于t2
解析：选BD.绳剪断前物体的受力情况如图所示，由平衡条件得FN＋Fsin θ＝mg，Ff＝μFN＝Fcs θ，解得F＝eq \f(μmg,μsin θ＋cs θ)，F的大小与传送带的速度无关，选项A错误，B正确；绳剪断后m在两速度的传送带上的加速度相同，若L≤eq \f(v\\al(2,1),2μg)，则两次都是匀加速到达左端，t1＝t2，若L＞eq \f(v\\al(2,1),2μg)，则物体在传送带上先加速再匀速到达左端，在速度小的传送带上需要的时间更长，t1＞t2，选项C错误，D正确．
考点三 倾斜传送带问题
（1）滑块在倾斜传送带上运动常见的四个情景
（2）物体沿倾角为θ的传送带传送时，可以分为两类：物体由底端向上运动，或者由顶端向下运动。解决倾斜传送带问题时要特别注意mgsin θ与μmgcs θ的大小和方向的关系，进一步判断物体所受合力与速度方向的关系，确定物体运动情况。
（3）求解倾斜传送带问题的关键在于认真分析物体与传送带的相对运动情况，从而确定其是否受到滑动摩擦力作用。如果受到滑动摩擦力作用应进一步确定其大小和方向，然后根据物体的受力情况确定物体的运动情况。当物体速度与传送带速度相等时，物体所受的摩擦力有可能发生突变。
【典例1】如图所示，倾角为37°，长为l＝16 m的传送带，转动速度为v＝10 m/s，在传送带顶端A处无初速度的释放一个质量为m＝0.5 kg的物体，已知物体与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2.求：(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
(1)传送带顺时针转动时，物体从顶端A滑到底端B的时间；
(2)传送带逆时针转动时，物体从顶端A滑到底端B的时间．
解析 (1)传送带顺时针转动时，物体相对传送带向下运动，则物体所受滑动摩擦力沿斜面向上，相对传送带向下匀加速运动，根据牛顿第二定律有
mg(sin 37°－μcs 37°)＝ma
则a＝gsin 37°－μgcs 37°＝2 m/s2，
根据l＝eq \f(1,2)at2得t＝4 s.
(2)传送带逆时针转动，当物体下滑速度小于传送带转动速度时，物体相对传送带向上运动，则物体所受滑动摩擦力沿传送带向下，设物体的加速度大小为a1，由牛顿第二定律得
mgsin 37°＋μmgcs 37°＝ma1
则有a1＝eq \f(mgsin 37°＋μmgcs 37°,m)＝10 m/s2.
设当物体运动速度等于传送带转动速度时经历的时间为t1，位移为x1，则有t1＝eq \f(v,a1)＝eq \f(10,10) s＝1 s，
x1＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1)＝5 m＜l＝16 m.
当物体运动速度等于传送带速度瞬间，有mgsin 37°＞μmgcs 37°，则下一时刻物体相对传送带向下运动，受到传送带向上的滑动摩擦力——摩擦力发生突变．设当物体下滑速度大于传送带转动速度时物体的加速度为a2，则a2＝eq \f(mgsin 37°－μmgcs 37°,m)＝2 m/s2
x2＝l－x1＝11 m
又因为x2＝vt2＋eq \f(1,2)a2teq \\al(2,2)，
则有10t2＋teq \\al(2,2)＝11
解得t2＝1 s(t2＝－11 s舍去)
所以t总＝t1＋t2＝2 s.
答案 (1)4 s (2)2 s
【典例2】如图所示，A、B两个皮带轮被紧绷的传送皮带包裹，传送皮带与水平面的夹角为θ，在电动机的带动下，可利用传送皮带传送货物．已知皮带轮与皮带之间无相对滑动，皮带轮不转动时，某物体从皮带顶端由静止开始下滑到皮带底端所用的时间是t，则( )
A．当皮带轮逆时针匀速转动时，该物体从顶端由静止滑到底端所用时间一定大于t
B．当皮带轮逆时针匀速转动时，该物体从顶端由静止滑到底端所用时间一定小于t
C．当皮带轮顺时针匀速转动时，该物体从顶端由静止滑到底端所用时间可能等于t
D．当皮带轮顺时针匀速转动时，该物体从顶端由静止滑到底端所用时间一定小于t
解析：选D.传送带不动物体下滑时，物体受摩擦力向上，故加速度a＝gsin θ－μgcs θ； 当传送带向上运动时，摩擦力一定也是向上，而摩擦力的大小不变，故a不变，所以物体运动到B的时间不变，故A、B错误；当皮带向下运动时，物体受摩擦力开始是向下的，故加速度开始一定增大，位移不变，故由A滑到B的时间小于t，故C错误，D正确．
【典例3】如图所示为上、下两端相距 L＝5 m、倾角α＝30°、始终以v＝3 m/s的速率顺时针转动的传送带(传送带始终绷紧)．将一物体放在传送带的上端由静止释放滑下，经过t＝2 s到达下端，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)传送带与物体间的动摩擦因数多大？
(2)如果将传送带逆时针转动，速率至少多大时，物体从传送带上端由静止释放能最快地到达下端？
解析：(1)物体在传送带上受力如图所示，物体沿传送带向下匀加速运动，设加速度为a.
由题意得L＝eq \f(1,2)at2
解得a＝2.5 m/s2
由牛顿第二定律得
mgsin α－Ff＝ma
又Ff＝μmgcs α
故μ＝0.29.
(2)如果传送带逆时针转动，要使物体从传送带上端由静止释放能最快地到达下端，则需要物体有沿传送带向下的最大加速度即所受摩擦力沿传送带向下，设此时传送带速度为vm，物体加速度为a′.
由牛顿第二定律得mgsin α＋Ff＝ma′
又veq \\al(2,m)＝2La′
故vm＝eq \r(2La′)＝8.66 m/s.
答案：(1)0.29 (2)8.66 m/s
1．(多选)如图所示是某工厂所采用的小型生产流水线示意图，机器生产出的物体源源不断地从出口处以水平速度v0滑向一粗糙的水平传送带，最后从传送带上落下装箱打包．假设传送带静止不动时，物体滑到传送带右端的速度为v，最后物体落在P处的箱包中．下列说法正确的是( )
A．若传送带随皮带轮顺时针方向转动起来，且传送带速度小于v，物体仍落在P点
B．若传送带随皮带轮顺时针方向转动起来，且传送带速度大于v0，物体仍落在P点
C．若传送带随皮带轮顺时针方向转动起来，且传送带速度大于v，物体仍落在P点
D．若由于操作不慎，传送带随皮带轮逆时针方向转动起来，物体仍落在P点
解析：选AD.若传送带静止，物体滑到传送带右端的过程中，物体一直减速，其加速度a＝μg，v2－veq \\al(2,0)＝2aL，当传送带顺时针转且速度小于v时，物体仍一直减速，到达传送带右端速度仍为v，因而物体仍落在P点，A正确；当传送带顺时针转且速度大于v0时，物体应先加速，因而到达右端时速度一定大于v，应落在P点右侧，B错误；当传送带顺时针转且速度大于v时，物体在传送带上应先减速，当速度达到传送带速度时便和传送带一起匀速运动，到达右端时速度大于v，应落在P点右侧，C错误；当传送带逆时针转时，物体一直减速，到达右端时速度为v，仍落在P点，D正确．
2．如图所示，在水平桌面上叠放着质量均为M的A、B两块木板，在木板A的上面放着一个质量为m的物块C，木板和物块均处于静止状态．A、B、C之间以及B与地面之间的动摩擦因数都为μ.若用水平恒力F向右拉动木板A，使之从C、B之间抽出来，已知重力加速度为g，则拉力F的大小应该满足的条件是(已知最大静摩擦力的大小等于滑动摩擦力)( )
A．F＞μ(2m＋M)gB．F＞μ(m＋2M)g
C．F＞2μ(m＋M)g D．F＞2μmg
解析：选C.无论F多大，摩擦力都不能使B向右滑动，而滑动摩擦力能使C产生的最大加速度为μg，故eq \f(F－μmg－μm＋Mg,M)＞μg时，即F＞2μ(m＋M)g时A可从B、C之间抽出，选项C正确．
3．如图所示，水平桌面由粗糙程度不同的AB、BC两部分组成，且AB＝BC，小物块P(可视为质点)以某一初速度从A点滑上桌面，最后恰好停在C点，已知物块经过AB与BC两部分的时间之比为1∶4，则物块P与桌面上AB、BC部分之间的动摩擦因数μ1、μ2之比为(P物块在AB、BC上所做两段运动可看做匀变速直线运动)( )
A．1∶1 B．1∶4
C．4∶1 D．8∶1
解析：选D.设到达B点速度为v1，由于AB与BC段的位移相等，则有eq \f(v0＋v1,2)t1＝eq \f(v1＋0,2)t2，其中t1∶t2＝1∶4，故v1＝eq \f(v0,3)，AB段的加速度为a1＝eq \f(v1－v0,t1)＝－eq \f(2v0,3t1)，BC段的加速度为a2＝eq \f(0－v1,t2)＝－eq \f(v0,3t2)，根据牛顿第二定律得，AB段－μ1mg＝ma1，BC段－μ2mg＝ma2，解得μ1∶μ2＝a1∶a2＝8∶1，故选项D正确．
4．一长轻质木板置于光滑水平地面上，木板上放质量分别为mA＝1 kg和mB＝2 kg的A、B两物块，A、B与木板之间的动摩擦因数都为μ＝0.2，水平恒力F作用在A物块上，如图所示(重力加速度g取10 m/s2)．则( )
A．若F＝1 N，则物块、木板都静止不动
B．若F＝1.5 N，则A物块所受摩擦力大小为1.5 N
C．若F＝4 N，则B物块所受摩擦力大小为4 N
D．若F＝8 N，则B物块的加速度为1 m/s2
解析：选D.物块A的滑动摩擦力为FfA＝μmAg＝2 N，物块B的滑动摩擦力为FfA＝μmBg＝4 N．若F＝1 N<2 N，则两物块相对木板静止不动，而木板向左加速运动，A错误；若F＝1.5 N<2 N，对两木块与木板整体由牛顿第二定律得共同加速度为a＝eq \f(F,mA＋mB)＝eq \f(1.5,3) m/s2＝0.5 m/s2，对A有F－Ff＝mAa，解得Ff＝1 N，B错误；当F＝4 N>2 N时，木块A与木板相对滑动，此时木板和B的加速度为a＝eq \f(μmAg,mB)＝1 m/s2，此时B物块所受摩擦力大小为Ff＝mBa＝2 N，C错误；同理若F＝8 N，木块A与木板相对滑动，此时木板和B的加速度为a＝eq \f(μmAg,mB)＝1 m/s2，D正确．
5．(多选)如图所示，用皮带输送机将质量为M的物块向上传送，两者间保持相对静止，则下列关于物块所受摩擦力Ff的说法正确的是( )
A．皮带传送的速度越大，Ff越大
B．皮带加速运动的加速度越大，Ff越大
C．皮带速度恒定，物块质量越大，Ff越大
D．Ff的方向一定与皮带速度方向相同
解析：选BC.若物块匀速运动，由物块的受力情况可知，摩擦力Ff＝Mgsin θ，与传送带的速度无关，A项错误；物块质量M越大，摩擦力Ff越大，C项正确；皮带加速运动时，由牛顿第二定律可知，Ff－Mgsin θ＝Ma，加速度a越大，摩擦力Ff越大，B项正确；若皮带减速上滑，则物块所受摩擦力方向有可能沿皮带方向向下，D项错误．
6．一小物块随足够长的水平传送带一起运动，被一水平向左飞行的子弹击中并从物块中穿过，如图甲所示．固定在传送带右端的位移传感器记录了小物块被击中后的位移x随时间的变化关系如图乙所示(图象前3 s内为二次函数，3 s～4.5 s内为一次函数，取向左运动的方向为正方向)．已知传送带的速度v1保持不变，g取10 m/s2.
(1)求传送带速度v1的大小；
(2)求零时刻物块速度v0的大小；
(3)在图丙中画出物块对应的v－t图象．
解析：(1)由x－t的图象可知，物块被击穿后，先向左减速，2 s末减到v＝0，然后向右加速，3 s末后与传送带共速v1＝eq \f(Δx′,Δt)＝2 m/s，以后随传送带一起做匀速运动．
(2)2 s～3 s内，物块向右匀加速运动，加速度大小a＝μg，v1＝aΔt1
0～2 s内，物块向左匀减速运动，加速度大小a＝μg
解得零时刻物块的速度v0＝aΔt2＝4 m/s.
(3)根据x－t的图象分析得到的运动规律用v－t图象画出如图所示．
答案：(1)2 m/s (2)4 m/s (3)见解析图
7．如图甲所示，足够长的水平传送带以v0＝2 m/s的速度匀速运行．t＝0时，在最左端轻放一个小滑块，t＝2 s时传送带突然制动停下. 已知滑块与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.2, g＝10 m/s2.在图乙中，关于滑块相对地面运动的v－t图象正确的是( )
解析：选D.滑块放在传送带上受到滑动摩擦力作用做匀加速运动，a＝μg＝2 m/s2，滑块运动到与传送带速度相同时需要的时间t1＝eq \f(v,a)＝1 s，然后随传送带一起匀速运动的时间t2＝t－t1＝1 s，当传送带突然制动停下时，滑块在传送带摩擦力作用下做匀减速运动直到静止，a′＝－a＝－2 m/s2，运动的时间t3＝1 s，所以速度—时间图象对应D选项．
8．(多选)如图所示，在光滑水平面上，放着两块长度相同，质量分别为M1和M2的木板，在两木板的左端各放一个大小、形状、质量完全相同的物块．开始时，各物均静止，今在两物体上各作用一水平恒力F1、F2，当物块和木板分离时，两木板的速度分别为v1和v2，物体和木板间的动摩擦因数相同，下列说法正确的是( )
A．若F1＝F2，M1＞M2，则v1＞v2
B．若F1＝F2，M1＜M2，则v1＞v2
C．若F1＞F2，M1＝M2，则v1＞v2
D．若F1＜F2，M1＝M2，则v1＞v2
解析：选BD.若F1＝F2，M1>M2，且假设M1远大于M2，则可认为M1不动，则物体在M1上运动的时间会小于在M2上运动的时间，又木板的加速度a＝eq \f(μmg,M)，故a1＜a2，所以v1＜v2，A错误；同理可判断B正确；若 F1>F2，M1＝M2，则在M1上的物块的加速度较大，而两板的加速度大小相同，所以在M1上的物块在板上的运动时间较短，所以v1＜v2，C错误；同理可判断D正确．
9．(多选)如图所示为粮袋的传送装置，已知AB间长度为L，传送带与水平方向的夹角为θ，工作时其运行速度为v，粮袋与传送带间的动摩擦因数为μ，正常工作时工人在A点将粮袋放到运行中的传送带上，关于粮袋从A到B的运动，以下说法正确的是(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)( )
A．粮袋到达B点的速度与v比较，可能大，也可能相等或小
B．粮袋开始运动的加速度为g(sin θ－μcs θ)，若L足够大，则以后将一定以速度v做匀速运动
C．若μD．不论μ大小如何，粮袋从A到B一直做匀加速运动，且 a>gsin θ
解析：选AC.开始时，粮袋相对传送带向上运动，受重力、支持力和沿传送带向下的摩擦力，由牛顿第二定律可知，mgsin θ＋μFN＝ma，FN＝mgcs θ，解得 a＝gsin θ＋μgcs θ，B错误；粮袋加速到与传送带相对静止时，若mgsin θ>μmgcs θ，即当μ10．(多选)如图所示，传送带与水平地面的夹角，从A到的长度为，传送带以的速率逆时针转动。在传送带上端A无初速度地放一个质量为的黑色煤块，它与传送带之间的动摩擦因数为。煤块在传送带上经过会留下黑色痕迹。已知，取，则（ ）
A．煤块一直加速运动
B．煤块从A到的时间为
C．煤块从A到的过程中在传送带上留下痕迹的长度是
D．煤块从A到的过程中在传送带上留下痕迹的长度是
【答案】AC
【详解】A B．煤块刚放上时，受到向下的摩擦力，受力分析如图所示，设加速度大小为a1
根据牛顿第二定律有
解得
匀加速运动到与传送带速度相等的时间为t1，则有
即下滑5m与传送带速度相等，达到v0后，受到向上的摩擦力，由于μ＜tan37°，煤块仍将匀加速下滑。受力分析如图所示
设加速度大小为，根据牛顿第二定律有
解得
继续做匀加速运动的位移为
根据位移公式得
解得
煤块从A到B的时间为
A正确，B错误；
C D．煤块从放上传送带到与传送带共速，煤块相对于传送带向上运动，发生的相对位移为
煤块从与传送带共速到底端B，煤块相对于传送带向下运动，发生的相对位移为
由于
可知煤块从A运动到B的过程中在传送带上形成的黑色痕迹的长度为。C正确，D错误。
故选AC。
11．如图所示，一足够长的传送带倾斜放置，倾角，以恒定速率顺时针转动。一煤块以初速度从A端冲上传送带，煤块与传送带之间动摩擦因数，取。下列说法正确的是（ ）
A．煤块冲上传送带后经1s与传送带速度相同
B．煤块向上滑行的最大位移为8m
C．煤块从冲上传送带到返回A端所用的时间为5s
D．煤块在传送带上留下的痕迹长为
【答案】AD
【详解】A．煤块先做匀减速，由牛顿第二定律可得
解得
设经t时间与传送带共速，由
解得
故A正确；
B．共速后，摩擦力方向向上，由牛顿第二定律得
解得
煤块先以12m/s的初速度，的加速度减速至4m/s，后又以的加速度减速至0，再反向加速至回到A点，图像如图所示
由图像煤块上升到最高点的位移大小等于速度－时间图线与时间轴所包围的面积的大小，有
故B错误；
C．物块上升到最高点后反向向下做初速度为零，加速度为的匀加速直线运动，设返回到A点所需的时间为，下滑的位移
解得
结合图像知，物块从冲上传送带到返回A端所用时间
s
故C错误；
D．在0到1s内传送带比物块速度慢，则滑块在传送带上的划痕
此时划痕在物块的下方，在1s到2s内，传送带速度比物块速度大，则
因为，所以在上升阶段产生的划痕为4m，此时煤块在产生的划痕的中点，在2s到时间内，煤块向下滑了10m，传送带向上滑了，则煤块在传送带上的划痕
故D正确。
故选AD。
12．如图所示，一质量为mB＝2 kg，长为L＝6 m的薄木板B放在水平面上，质量为mA＝2 kg的物体A(可视为质点)在一电动机拉动下从木板左端以v0＝5 m/s的速度向右匀速运动．在物体带动下，木板以a＝2 m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，此时牵引物体的轻绳的拉力F＝8 N．已知各接触面间的动摩擦因数恒定，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)经多长时间物体A滑离木板？
(2)木板与水平面间的动摩擦因数为多少？
(3)物体A滑离木板后立即取走物体A，木板能继续滑行的距离为多少？
解析：(1)设经t0时间物体A滑离木板，则
对A：xA＝v0t0
对木板B：xB＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,0)
xA－xB＝L
代入数据解得t0＝2 s(另解舍去)
(2)A在B上滑动时，A匀速运动，则FfAB＝F＝8 N.
设地面对B的滑动摩擦力为FfB1，则由牛顿第二定律得
FfAB－FfB1＝mBa
又FfB1＝μFN
FN＝(mA＋mB)g
解得μ＝0.1.
(3)物体A滑离时B板的速度vB＝at0＝4 m/s
B板向前减速滑行过程中，由牛顿第二定律得
μmBg＝mBaB
解得aB＝μg＝1 m/s2
木板继续滑行的位移xB＝eq \f(v\\al(2,B),2aB)＝8 m.
答案：(1) 2 s (2)0.1 (3)8 m
13．如图甲所示，光滑水平面上放置斜面体ABC，AB与BC圆滑连接，AB表面粗糙且水平(长度足够长)，倾斜部分BC表面光滑，与水平面的夹角θ＝37°.在斜面体右侧与竖直墙壁之间连接着一个力传感器，规定力传感器受压时，其示数为正值；力传感器被拉时，其示数为负值．一个可视为质点的滑块从斜面体的C点由静止开始下滑，运动过程中，力传感器记录到力F和时间t的关系如图乙所示．(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2)，求：
(1)斜面BC的长度；
(2)滑块的质量；
(3)运动过程中滑块克服摩擦力做的功．
解析：(1)滑块在斜面上时，由牛顿第二定律有：
mgsin θ＝ma1
得a1＝6 m/s2.
结合图乙可知滑块在斜面上下滑的时间为t1＝1 s.
斜面BC的长度x1＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1)＝3 m.
(2)斜面体对传感器的压力为F1＝mgcs θsin θ
得m＝2 kg.
(3)对斜面体由平衡条件有：Ff＝F2＝4 N
对滑块由牛顿第二定律有：Ff＝ma2
得a2＝2 m/s2
滑块在AB表面上滑行的距离为：x2＝vt2－eq \f(1,2)a2teq \\al(2,2)
又v＝a1t1，t2＝2 s
得：x2＝8 m.
滑块克服摩擦力做的功为：Wf＝Ffx2＝32 J.
答案：(1)3 m (2)2 kg (3)32 J
14．某物流公司用如图所示的传送带将货物从高处传送到低处。传送带与水平地面夹角，顺时针转动的速率为。将质量为的物体无初速地放在传送带的顶端A，物体到达底端B后能无碰撞地滑上质量为的木板左端。已知物体与传送带、木板间的动摩擦因数分别为的距离为。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度（已知）。求：
（1）物体刚开始下滑时的加速度大小和物体滑上木板左端时的速度大小；
（2）若地面光滑，要使物体不会从木板上掉下，木板长度L至少应是多少；
（3）若木板与地面的动摩擦因数为，且物体不会从木板上掉下，求木板的最小长度与的关系式。
【答案】（1），v=6m/s；（2）L=4.8 m；（3）见解析
【详解】（1）物体速度达到传送带速度前，由牛顿第二定律，有
设物体与传送带共速时运动的位移为x1，则对物体
解得
x1=0.20m此后物体继续在传送带上做匀加速运动，设加速度为a2，则
设物体到达B端时的速度大小为v，根据运动学公式有
解得物体滑上木板左端时的速度大小
v=6m/s
（2）若地面光滑时，对物体和板有
解得
L=4.8 m
（3）木板与地面的动摩擦因数为μ
①当，即时，木板静止，木块速度为0时，恰好不会从木板上掉下长度为Lmin，有
解得
Lmin=7.2m
②当木板与地面间有摩擦而动摩擦因数小于，木板将会发生滑动，物体滑上木板后向右做匀减速直线运动，此时加速度大小为
木板向右匀加速
当两者速度相等时，恰好不掉下来
物体位移
木板位移
此时木板长度为
15．如图，光滑水平桌面右端固定有一个定滑轮和挡板P，长木板c质量为，物块a静止放在长木板c左端，并通过与桌面平行的轻绳与重物b相连。重物b由静止释放后时，长木板c与挡板P发生碰撞（碰撞时间极短），同时轻绳立即断裂，碰后长木板c以碰前速率的0.8倍反弹，已知物块a和重物b的质量均为，物块a与长木板c间的动摩擦因数为，光滑水平桌面足够长，重物b离地面的高度足够高，。求：
（1）重物b刚开始下落时轻绳的拉力及长木板c与挡板P碰前的速率为多少？
（2）长木板c至少需要多长，物块a才不会从c上滑出？

【答案】（1）7.5N，5m/s；（2）3.6m
【详解】（1）重物b释放后假设a、b、c一起运动，根据牛顿第二定律有
解得
则长木板c应受到的摩擦力为
故重物b释放后，a、b、c一起运动，根据牛顿第二定律有
解得
长木板c与挡板P碰前的速率为
（2）长木板c与挡板P碰后，a、c均做减速运动，a、c的加速度大小分别为
，
物块a减速为零的时间为
长木板c减速为零的时间为
则物块先减速为零，物块a减速为零的位移为
此时长木板c的速度为
长木板的位移为
长木板和物块共速时有
解得
此时长木板和物块的速度为
该段时间长木板的位移为
物块a的位移为
则木板的长度至少为
16．如图所示，倾角为的足够长的斜面固定在水平面上，斜面上放一长度为、质量的木板，M与斜面间的动摩擦因数，木板在沿斜面向下的恒力的作用下从静止开始下滑，经时间，将一质量也为的可视为质点的物块m无初速地轻放在木板的最下端，物块与木板间的动摩擦因数，当物块与木板速度相同时撤去恒力F，最终物块会与木板分离。（，g取，不计空气阻力）试求：
（1）时木板速度的大小；
（2）物块与木板共速时的速度大小；
（3）物块滑离木板时的速度大小。
【答案】（1）4m/s；（2）m/s；（3）
【详解】（1）设物块没放时，木板加速下滑的加速度大小为a，则有
解得
t1=1s时木板速度的大小设为v，则
解得
v=4m/s
（2）物块放到木板上后到达相同速度前，设木板的加速度大小为，物块的加速度的大小为，对木板M有
解得
对物块m有
解得
设经时间t2物块与木板速度相同且为，则有
解得
t2=s
=m/s
（3）设时间t2内木板和物块的位移分别为x1和x2，则有
由于，故物块不能从木板上端分离。
因为，所以同速后物块相对于木板下滑，设同速后木板的加速度大小为，物块的加速度的大小为，则有
解得
设经时间t3物块与木板分离，时间t3内木板和物块的位移分别为和，则有
解得
t3=s
物块滑离木板时的速度大小为
17．如图所示，一足够长的水平传送带以速度匀速运动，质量为的小物块P和质量为的小物块Q由通过定滑轮的轻绳连接，轻绳足够长且不可伸长。某时刻给P、Q同时提供大小相等的初速度，使Q竖直向上运动、P从传送带左端冲上传送带，P与定滑轮间的绳子水平。已知物块P与传送带间的动摩擦因数，重力加速度为，不计滑轮的质量与摩擦，整个运动过程中物块Q都没有上升到定滑轮处。求：
（1）物块P在传送带上运动过程中受到的摩擦力大小和方向：
（2）物块P在传送带上向右运动的最大距离x。
【答案】（1）5N，速度与传送带速度相等前，方向向左，与传送带速度相等后方向向右；（2）
【详解】（1）（2）物块刚冲上传送带时，设的加速度为，轻绳的拉力为，因的初速度大于传送带的速度，则相对传送带向右运动，故受到向左的摩擦力作用，对由牛顿第二定律得
对受力分析可知，在竖直方向受向下的重力和向上的拉力作用，由牛顿第二定律得
联立解得
物块先减速到与传送带速度相同，设位移为，则有
解得
共速后，由于摩擦力
故P不可能随传送带一起匀速运动，继续向右减速，摩擦力方向水平向右，设此时的加速度为，轻绳的拉力为，对P，由牛顿第二定律得
对Q，由牛顿第二定律得
联立解得
设减速到0位移为，则有
解得
物块P在传送带上向右运动的最大距离
解得
状态
板、块速度不相等
板、块速度相等瞬间
板、块共速运动
方法
隔离法
假设法
整体法
步骤
对滑块和木板进行隔离分析，弄清每个物体的受力情况与运动过程
假设两物体间无相对滑动，先用整体法算出一起运动的加速度，再用隔离法算出其中一个物体“所需要”的摩擦力Ff；比较Ff与最大静摩擦力Ffm的关系，若Ff>Ffm，则发生相对滑动
将滑块和木板看成一个整体，对整体进行受力分析和运动过程分析
临界
条件
①两者速度达到相等的瞬间，摩擦力可能发生突变②当木板的长度一定时，滑块可能从木板滑下，恰好滑到木板的边缘达到共同速度（相对静止）是滑块滑离木板的临界条件
原理
时间及位移关系式、运动学公式、牛顿运动定律、动能定理、功能关系等
项目
图示
滑块可能的运动情况
情景一
(1)可能一直加速
(2)可能先加速后匀速
情景二
(1)v0>v时，可能一直减速，也可能先减速再匀速
(2)v0情景三
(1)传送带较短时，滑块一直减速到达左端
(2)传送带较长时，滑块还要被传送带传回右端．其中v0>v返回时速度为v，当v0项目
图示
滑块可能的运动情况
情景一
①可能一直加速
②可能先加速后匀速
情景二
①可能一直加速
②可能先加速后匀速
③可能先以a1加速后以a2加速
情景三
①可能一直加速
②可能先加速后匀速
③可能一直匀速
④可能先以a1加速后以a2加速
情景四
①可能一直加速
②可能一直匀速
③可能先减速后反向加速