四川省成都市第七中学2024届高三下学期二诊模拟考试数学试卷（Word版附解析）

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考试时间：120分钟 总分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“”是“，且”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 函数最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知抛物线的焦点为， 其上有两点， 若的中点为， 满足的斜率等于1，则的最大值是（ ）
A. 7B. 8C. D. 10
6. 已知R，函数的最大值为，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
7. 半径为R的光滑半球形碗中放置着4个半径为r的质量相同的小球，且小球的球心在同一水平面上，今将另一个完全相同的小球至于其上方，若小球不滑动，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知a，b，c满足，，则（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知中，，．下列说法中正确的是（ ）
A. 若是钝角三角形，则
B. 若锐角三角形，则
C. 的最大值是
D. 的最小值是
10. 记数列的前项和为，且满足，.则（ ）
A. B. 是递增数列
C. D.
11. 设为椭圆上逆时针排列的个点，为椭圆的左焦点，且线段把周角分为等份．则（ ）
A. 当时，面积的取值范围是
B. 当时，四边形的面积最大值为6
C. 当时，与交于点，则的取值范围是
D. 对，且，都有
12. 已知R，为坐标原点，函数．下列说法中正确的是（ ）
A. 当时，若的解集是，则
B. 当时，若有5个不同实根，则
C. 当时，若，曲线与半径为4的圆有且仅有3个交点，则
D. 当时，曲线与直线所围封闭图形的面积的最小值是33
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式中的系数是________．
14. 已知n个人独立解决某问题的概率均为 ，且互不影响，现将这n个人分在一组，若解决这个问题概率超过 ，则n的最小值是_____
15. 已知是边长为1的正六边形边上相异的三点，则的取值范围是________．
16. 已知三棱锥中，，，，二面角的余弦值是．则当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取七局四胜制．已知甲每局比赛获胜的概率为，输掉的概率为，每局的比赛结果互不影响．
（1）求甲最终获胜的概率；
（2）记总共的比赛局数为，求的分布列与数学期望．
18. 已知是所有素数从小到大排列而成的数列，满足，．
（1）比较和150的大小，并说明理由；
（2）证明：．
19. 已知是斜三角形．
（1）证明：；
（2）若，求的取值范围．
20. 如图，圆锥底面半径为2，高．为底面圆周上三点，且．是线段的中点，满足．
（1）求三棱锥的体积；
（2）记二面角的大小为，二面角的大小为．求的值．
21. 已知双曲线上有一点，在点处的切线为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设椭圆．过点作椭圆的两条切线，切点为直线分别交双曲线于点．证明：直线过定点，并求出定点坐标．
22. 已知函数R.
（1）当时，讨论函数的单调性；