浙江省湖州市第一中学2024届高三下学期新高考数学模拟试题（附参考答案）

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数学试题
注意事项：
]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知非零向量，，满足，，若为在上的投影向量，则向量，夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知点是双曲线的左焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，点是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（ ）
A. 8B. 5C. 3D. 2
4. 甲箱中有个红球，个白球和个黑球；乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. 事件与事件不相互独立D. 、、两两互斥
5. 若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（ ）
A. 28B. 29C. 30D. 31
6. 设函数若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（ ）
A B.
C. D.
7. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8. 设集合，定义：集合，集合，集合，分别用，表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则与均为实数B. 若与均为实数，则
C. 若均为纯虚数，则为实数D. 若为实数，则均为纯虚数
10. 如图所示，棱长为3的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A. B. 与所成的角可能是
C. 是定值D. 当时，点到平面的距离为1
11. 已知函数为定义在上的偶函数，，且，则（ ）
A. B. 图象关于点对称
C. 以6为周期的函数D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为，被标记为垃圾邮件的有的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的有的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率为__________.
13. 已知，若存在使得，则k的最大值为________．
14. 已知为拋物线的焦点，过点的直线与拋物线交于不同的两点，，拋物线在点处的切线分别为和，若和交于点，则的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知椭圆的左右顶点距离为，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，求弦垂直平分线的纵截距的取值范围.
16. 在锐角中，设边所对的角分别为，且．
（1）证明：
（2）若，求的取值范围．
17. 如图，在四棱锥中，已知，是等边三角形，且为的中点.
（1）证明：平面；
（2）当时，试判断在棱上是否存在点，使得二面角的大小为.若存在，请求出的值；否则，请说明理由.
18. 已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.
（1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量，求的分布列和数学期望；
（2）若规定试验者乙至多可进行轮试验（若第轮不成功，也停止试验），记乙在第轮使得试验成功概率为，则乙能试验成功的概率为，证明：.
19. 悬链线原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数．
（1）直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
（2）若当时，恒成立，求实数a取值范围；
（3）求的最小值．