2023-2024学年安徽省滁州中学高二（上）同步练习数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省滁州中学高二（上）同步练习数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{Snn}为等差数列，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2.已知曲线C：mx2+ny2=1，则( )
A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 n
C. 若mn0，则C是两条直线
3.设O为坐标原点，直线y=− 3(x−1)过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A. p=2B. |MN|=83
C. 以MN为直径的圆与l相切D. △OMN为等腰三角形
4.已知函数f(x)=x3−x+1，则( )
A. f(x)有两个极值点B. f(x)有三个零点
C. 点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D. 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
5.若函数f(x)=alnx+bx+cx2(a≠0)既有极大值也有极小值，则( )
A. bc>0B. ab>0C. b2+8ac>0D. ac1)，C2：x24+y2=1的离心率分别为e1，e2.若e2= 3e1，则a= ______．
7.已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|⋅|MF2|的最大值为______．
8.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|=6，则C的准线方程为 ．
9.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=−5，S6=21S2，则S8= ______．
10.设点A(−2,3)，B(0,a)，若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则a的取值范围是______．
11.写出与圆x2+y2=1和(x−3)2+(y−4)2=16都相切的一条直线的方程 ．
12.若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______．
13.曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为______，______．
四、解答题：本题共7小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题12分)
已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20，a3=8．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100．
15.(本小题12分)
设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn=n2+nan，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．
(1)若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求{an}的通项公式；
(2)若{bn}为等差数列，且S99−T99=99，求d．
16.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.
(1)记bn=a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；
(2)求{an}的前20项和．
17.(本小题12分)
记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，{Snan}是公差为13的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：1a1+1a2+…+1anb>0)，右焦点为F( 2,0)，且离心率为 63．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切.证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|= 3．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用定义进行等差数列的判断，穿插了充要条件的判定，属中档题．
首先明确充要条件的判定方法，再从等差数列的定义入手，进行正反两方面的论证．
【解答】
解：若{an}是等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，
则Sn=na1+n(n−1)2d，
即Snn=a1+n−12d=d2n+a1−d2，
故{Snn}为等差数列，
即甲是乙的充分条件．
反之，若{Snn}为等差数列，则可设Sn+1n+1−Snn=D，
则Snn=S1+(n−1)D，即Sn=nS1+n(n−1)D，
当n≥2时，有Sn−1=(n−1)S1+(n−1)(n−2)D，
上两式相减得：an=Sn−Sn−1=S1+2(n−1)D，
当n=1时，上式成立，所以an=a1+2(n−1)D，
则an+1−an=a1+2nD−[a1+2(n−1)D]=2D(常数)，
所以数列{an}为等差数列．
即甲是乙的必要条件．
综上所述，甲是乙的充要条件．
故选C．
2.【答案】ACD
【解析】解：对于A，当m>n>0时，有1n>1m>0，
方程化为x21m+y21n=1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，由m=n>0，方程变形为x2+y2=1n，
该方程表示半径为 1n的圆，故B错误；
对于C，由mn0时，方程变为ny2=1表示两条直线，故D正确．
故选：ACD．
就m，n不同的取值结合曲线方程的形式逐项判断后可得正确的选项．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
3.【答案】AC
【解析】解：直线y=− 3(x−1)过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，可得p2=1，所以p=2，
所以A正确；
抛物线方程为：y2=4x，与C交于M，N两点，
直线方程代入抛物线方程可得：3x2−10x+3=0，
xM+xN=103，
所以|MN|=xM+xN+p=163，所以B不正确；
M，N的中点的横坐标：53，中点到抛物线的准线的距离为：1+53=83，
所以以MN为直径的圆与l相切，所以C正确；
3x2−10x+3=0，
不妨可得xM=3，xN=13，yM=−2 3，xN=2 33，
|OM|= 9+12= 21，|ON|= 19+129= 133，|MN|=163，
所以△OMN不是等腰三角形，所以D不正确．
故选：AC．
求出抛物线方程，利用抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系判断选项的正误即可．
本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，是中档题．
4.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
对函数f(x)求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项AB；由f(x)+f(−x)=2，可判断选项C；假设y=2x是曲线y=f(x)的切线，设切点为(a,b)，求出a，b的值，验证点(a,b)是否在曲线y=f(x)上即可．
【解答】
解：f′(x)=3x2−1，令f′(x)>0，解得x 33，令f′(x)0，
∴f(x)有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A正确，选项B错误；
又f(x)+f(−x)=x3−x+1−x3+x+1=2，则f(x)关于点(0,1)对称，故选项C正确；
假设y=2x是曲线y=f(x)的切线，设切点为(a,b)，则3a2−1=22a=b，解得a=1b=2或a=−1b=−2，
显然(1,2)和(−1,−2)均不在曲线y=f(x)上，故选项D错误．
故选：AC．
5.【答案】BCD
【解析】解：函数定义域为(0,+∞)，
且f′(x)=ax−bx2−2cx3=ax2−bx−2cx3，
由题意，方程f′(x)=0即ax2−bx−2c=0有两个正根，设为x1，x2，
则有x1+x2=ba>0，x1x2=−2ca>0，Δ=b2+8ac>0，
∴ab>0，ac0时，y=lnx，设切点坐标为(x0,lnx0)，
∵y′=1x，∴切线的斜率k=1x0，
∴切线方程为y−lnx0=1x0(x−x0)，
又∵切线过原点，∴−lnx0=−1，
∴x0=e，
∴切线方程为y−1=1e(x−e)，即x−ey=0，
当x0时，y=lnx，设切点坐标为(x0,lnx0)，利用导数的几何意义表达出切线的斜率，进而表达出切线方程，再把原点代入即可求出x0的值，从而得到切线方程，当x1)，
∵a2+a4=20，a3=8，
∴8 q+8q=20，
解得q=2或q=12(舍去)，
∴a1=2，
∴an=2⋅2n−1=2n，
(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数，
∴2n≤m，
∴n≤lg2m，
故b1=0，b2=1，b3=1，b4=2，b5=2，b6=2，b7=2，
b8=3，b9=3，b10=3，b11=3，b12=3，b13=3，b14=3，b15=3，b16=4，…，
可知0在数列{bm}中有1项，1在数列{bm}中有2项，2在数列{bm}中有4项，…，
由1×(1−26)1−2=63100
可知b63=5，b64=b65=…=b100=6．
∴数列{bm}的前100项和S100=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×37=480．
【解析】(1)设出等比数列的公比，由已知列式求得公比，进一步求出首项，可得等比数列的通项公式；
(2)由题意求得0在数列{bm}中有1项，1在数列{bm}中有2项，2在数列{bm}中有4项，…，可知b63=5，b64=b65=…=b100=6.则数列{bm}的前100项和S100可求．
本题考查等比数列的通项公式与前n项和，考查归纳与推理论证能力，考查计算能力，是中档题．
15.【答案】解：(1)由3a2=3a1+a3，可得3(a1+d)=3a1+a1+2d，
即为d=a1，an=a1+(n−1)d=nd，
则bn=n2+nan=n+1d．
由S3+T3=21，可得d+2d+3d+2d+3d+4d=21，
化为2d2−7d+3=0，又d>1，
解得d=3，
则an=3n，n∈N*；
(2)由{an}为等差数列，{bn}为等差数列，且bn=n2+nan，
根据等差数列的通项公式的特点，可设an=tn，d=t>1；
或设an=k(n+1)，d=k>1，
①当an=tn，d=t>1时，bn=n+1t，
则S99−T99=12×99×(t+99t)−12×99×(2t+100t)=99，
化为50t2−t−51=0，又d=t>1，
解得d=t=5150；
②当an=k(n+1)，d=k>1时，bn=nk，
则S99−T99=12×99×(2k+100k)−12×99×(1k+99k)=99，
化为51k−50k=1，
即51k2−k−50=0，又d=k>1，
此时k无解，
综合可得d=5150．
【解析】(1)根据题意及等差数列的通项公式与求和公式，建立方程组，即可求解；
(2)根据题意及等差数列的通项公式的特点，可设an=tn，且d=t>1；或设an=k(n+1)，且d=k>1，再分类讨论，建立方程，即可求解．
本题考查等差数列的性质、等差数列的通项公式与求和公式的应用，考查方程思想和转化思想、分类讨论思想，属于中档题．
16.【答案】解：(1)因为a1=1，an+1=an+1,n为奇数an+2,n为偶数，
所以a2=a1+1=2，a3=a2+2=4，a4=a3+1=5，
所以b1=a2=2，b2=a4=5，
bn−bn−1=a2n−a2n−2=a2n−a2n−1+a2n−1−a2n−2=1+2=3，(n⩾2)
所以数列{bn}是以b1=2为首项，以3为公差的等差数列，
所以bn=2+3(n−1)=3n−1；
(2)由(1)可得a2n=3n−1，n∈N*，
则a2n−1=a2n−2+2=3(n−1)−1+2=3n−2，n≥2，
当n=1时，a1=1也适合上式，
所以a2n−1=3n−2，n∈N*，
所以数列{an}的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则{an}的前20项和为：
a1+a2+...+a20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)
=10+10×92×3+10×2+10×92×3=300．
【解析】本题考查据数列的递推公式求数列的项、等差数列的判定或证明、等差数列的通项公式、分组(并项)法求和，属于中档题．
(1)由数列{an}的通项公式可求得a2，a4，从而可得求得b1，b2，由bn−bn−1=3可得数列{bn}是等差数列，从而可求得数列{bn}的通项公式；
(2)由数列{an}的通项公式可得数列{an}的奇数项和偶数项分别为等差数列，求解即可．
17.【答案】解：(1)已知a1=1，{Snan}是公差为13的等差数列，
所以Snan=1+13(n−1)=13n+23，整理得Sn=13nan+23an，①，
故当n≥2时，Sn−1=13(n−1)an−1+23an−1，②，
①−②得：13an=13nan−13nan−1−13an−1，
故(n−1)an=(n+1)an−1，
化简得：anan−1=n+1n−1，an−1an−2=nn−2，，a3a2=42，a2a1=31；
所以ana1=n(n+1)2，
故an=n(n+1)2(首项符合通项)．
所以an=n(n+1)2．
(2)证明：由于an=n(n+1)2，
所以1an=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，
所以1a1+1a2+...+1an=2(1−12+12−13+...+1n−1n+1)=2×(1−1n+1)0，f(x)单调递增；
若x∈(0,ln2a)，则f′(x)0，f(x)单调递增．
综上所述，当a⩽0时，f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；
当00，
即aex−1−1≥lnx−lna，
设g(x)=ex−x−1，
∴g′(x)=ex−1>0恒成立，
∴g(x)在(0,+∞)单调递增，
∴g(x)>g(0)=1−0−1=0，
∴ex−x−1>0，
即ex>x+1，
再设h(x)=x−1−lnx，
∴h′(x)=1−1x=x−1x，
当00>−lna恒成立，
当0