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2024届江西省赣州市高三下学期一模考试 数学试题
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这是一份2024届江西省赣州市高三下学期一模考试 数学试题，共10页。试卷主要包含了已知集合，则，已知为虚数单位，在中，，则，在平行四边形中，，则，已知，则，已知等比数列的前项和为，则，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
2024年3月
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟
第I卷（选择题共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位.，则（ ）
A.1 B. C.2 D.4
3.在中，，则（ ）
A. B. C. D.
4.在棱长为1的正方体中，为棱的中点，过且平行于平面的平面截正方体所得截面面积为（ ）
A. B. C. D.
5.在平行四边形中，，则（ ）
A.16 B.14 C.12 D.10
6.若一组样本数据的方差为，则样本数据的方差为（ ）
A.1 B.2 C.2.5 D.
7.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
8.在边长为4的正方体中，点是的中点，点是侧面内的动点（含四条边），且，则的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.已知等比数列的前项和为，则（ ）
A. B.
C.数列为单调数列 D.数列为单调数列
10.已知函数，则（ ）
A.是的一个周期 B.的图象关于原点对称
C.的图象过点 D.为上的单调函数
11.曲线是平面内与两个定点的距离的积等于的点的轨迹，则（ ）
A.曲线关于坐标轴对称 B.周长的最小值为
C.到轴距离的最大值为 D.到原点距离的最小值为
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.求值：__________.
13.展开式中的常数项为__________.
14.已知是抛物线上异于顶点的点，在处的切线分别交轴､轴于点，过作的垂线分别交轴､轴于点，分别记与的面积为，则的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面为侧棱的中点.
（1）求点到平面的距离：
（2）求二面角的正切值.
16.（15分）
某人准备应聘甲､乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，m，其中，技能测试是否通过相互独立.
（1）若.求该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率；
（2）已知甲､乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围.
17.（15分）
己知椭圆过点，椭圆的右焦点与点所在直线的斜率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过的直线与椭圆交于两点.点.直线分别交椭圆于点，直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
18.（17分）
已知函数.
（1）求的单调区间，
（2）已如.若函数有唯一的零点.证明，.
19.（17分）
设数列.如果对小于的每个正整数都有.则称是数列的一个“时刻”.记是数列的所有“时刻”组成的集合，的元素个数记为.
（1）对数列，写出的所有元素；
（2）数列满足，若.求数列的种数.
（3）证明：若数列满足，则.
赣州市2024年高三年级摸底考试
数学（理科）参考答案
一､单选题（共40分）
二､多选题（共18分）
三､填空题（共15分）
12. 13.630 14.1
四､解答题（共77分）
15.解：（1）由平面，可得
令点到平面的距离为，则
由，可得
则
由，可得：
由平面，可得，则
则，即点到平面的距离为
（2）设为的中点，过作交于，连结
是的中点，平面
平面，
为二面角的一个平面角
又，
且，可得
则
即二面角的正切值为
说明：也可以利用向量法!
16.解：（1）记“该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项”为事件
由题设
（2）分别记“该应聘者应聘甲､乙公司三项专业技能测试中通过的项目数为”
由题设知：
所以
的所有可能取值为
，
，
，
故的分布列为
从而
由得
解得
17.解：（1）由题意可设椭圆的半焦距为，且椭圆的右焦点为
由题意得：
解得
所以的方程为：
（2）设的方程为，设，则直线的方程为
由可得
结合，可得
可得，解得
代入，解得
同理可得
故
，故直线的斜率是定值，且定值为2
18.解：（1）
当时，为增函数
又
当时，单调递减；
当时，单调递增.
的减区间为，增区间为
（2）
由（1）可知在单调递增，且，
又
存在唯一的使得
当时单调递减；当时单调递增；
若方程有唯一的实数，则
消去可得
令，
则
在上为减函数
且
当时，即
19.解：（1）由题设知当时，，故是数列的一个“时刻”
同理当时，都有，即也是数列的一个“时刻”
综上，
（2）由，易知或
①当时，必须从左往右排列，6可以是中任一个，共有5种情况
②当时，若中的四个元素是由集合中的元素或或或引起的
1.若由引起，即4，3，2，1从左往右排列，则5必须排在4的后面，共4种；
2.若由引起，即5，3，2，1从左往右排列，则4必须排在3的后面，共3种
3.若由引起，即从左往右排列，则3必须排在2的后面，共2种；
4.若由引起，即从左往右排列，则2必须排在1的后面，共1种
综上，符合的数列有15种
另解：
因为数列，由题意可知中的四个元素为中的四个共有5种情况：
①当时，数列共有1种情况；
②当时，数列共有2种情况；
③当时，数列共有3种情况；
④当时，数列共有4种情况；
⑤当时，数列，共有5种情况；
综上，符合的数列有15种
（3）①若，由，所以，即成立
②若，
不妨设且
从而
由累加法知：
又，即
综上：.证毕题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
B
A
A
C
D
D
题号
9
10
11
答案
BC
ABC
ABD
0
1
2
3
2024年3月
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟
第I卷（选择题共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位.，则（ ）
A.1 B. C.2 D.4
3.在中，，则（ ）
A. B. C. D.
4.在棱长为1的正方体中，为棱的中点，过且平行于平面的平面截正方体所得截面面积为（ ）
A. B. C. D.
5.在平行四边形中，，则（ ）
A.16 B.14 C.12 D.10
6.若一组样本数据的方差为，则样本数据的方差为（ ）
A.1 B.2 C.2.5 D.
7.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
8.在边长为4的正方体中，点是的中点，点是侧面内的动点（含四条边），且，则的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.已知等比数列的前项和为，则（ ）
A. B.
C.数列为单调数列 D.数列为单调数列
10.已知函数，则（ ）
A.是的一个周期 B.的图象关于原点对称
C.的图象过点 D.为上的单调函数
11.曲线是平面内与两个定点的距离的积等于的点的轨迹，则（ ）
A.曲线关于坐标轴对称 B.周长的最小值为
C.到轴距离的最大值为 D.到原点距离的最小值为
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.求值：__________.
13.展开式中的常数项为__________.
14.已知是抛物线上异于顶点的点，在处的切线分别交轴､轴于点，过作的垂线分别交轴､轴于点，分别记与的面积为，则的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面为侧棱的中点.
（1）求点到平面的距离：
（2）求二面角的正切值.
16.（15分）
某人准备应聘甲､乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，m，其中，技能测试是否通过相互独立.
（1）若.求该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率；
（2）已知甲､乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围.
17.（15分）
己知椭圆过点，椭圆的右焦点与点所在直线的斜率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过的直线与椭圆交于两点.点.直线分别交椭圆于点，直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
18.（17分）
已知函数.
（1）求的单调区间，
（2）已如.若函数有唯一的零点.证明，.
19.（17分）
设数列.如果对小于的每个正整数都有.则称是数列的一个“时刻”.记是数列的所有“时刻”组成的集合，的元素个数记为.
（1）对数列，写出的所有元素；
（2）数列满足，若.求数列的种数.
（3）证明：若数列满足，则.
赣州市2024年高三年级摸底考试
数学（理科）参考答案
一､单选题（共40分）
二､多选题（共18分）
三､填空题（共15分）
12. 13.630 14.1
四､解答题（共77分）
15.解：（1）由平面，可得
令点到平面的距离为，则
由，可得
则
由，可得：
由平面，可得，则
则，即点到平面的距离为
（2）设为的中点，过作交于，连结
是的中点，平面
平面，
为二面角的一个平面角
又，
且，可得
则
即二面角的正切值为
说明：也可以利用向量法!
16.解：（1）记“该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项”为事件
由题设
（2）分别记“该应聘者应聘甲､乙公司三项专业技能测试中通过的项目数为”
由题设知：
所以
的所有可能取值为
，
，
，
故的分布列为
从而
由得
解得
17.解：（1）由题意可设椭圆的半焦距为，且椭圆的右焦点为
由题意得：
解得
所以的方程为：
（2）设的方程为，设，则直线的方程为
由可得
结合，可得
可得，解得
代入，解得
同理可得
故
，故直线的斜率是定值，且定值为2
18.解：（1）
当时，为增函数
又
当时，单调递减；
当时，单调递增.
的减区间为，增区间为
（2）
由（1）可知在单调递增，且，
又
存在唯一的使得
当时单调递减；当时单调递增；
若方程有唯一的实数，则
消去可得
令，
则
在上为减函数
且
当时，即
19.解：（1）由题设知当时，，故是数列的一个“时刻”
同理当时，都有，即也是数列的一个“时刻”
综上，
（2）由，易知或
①当时，必须从左往右排列，6可以是中任一个，共有5种情况
②当时，若中的四个元素是由集合中的元素或或或引起的
1.若由引起，即4，3，2，1从左往右排列，则5必须排在4的后面，共4种；
2.若由引起，即5，3，2，1从左往右排列，则4必须排在3的后面，共3种
3.若由引起，即从左往右排列，则3必须排在2的后面，共2种；
4.若由引起，即从左往右排列，则2必须排在1的后面，共1种
综上，符合的数列有15种
另解：
因为数列，由题意可知中的四个元素为中的四个共有5种情况：
①当时，数列共有1种情况；
②当时，数列共有2种情况；
③当时，数列共有3种情况；
④当时，数列共有4种情况；
⑤当时，数列，共有5种情况；
综上，符合的数列有15种
（3）①若，由，所以，即成立
②若，
不妨设且
从而
由累加法知：
又，即
综上：.证毕题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
B
A
A
C
D
D
题号
9
10
11
答案
BC
ABC
ABD
0
1
2
3
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