江苏省泰州市靖江市2023届九年级下学期中考三模数学试卷(含答案)

这是一份江苏省泰州市靖江市2023届九年级下学期中考三模数学试卷(含答案)，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
2. 幻方是相当古老的数学问题，我国古代的洛书中记载了最早的幻方九宫图．将数字分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是，则的值为( )
A. B. C. D.
3. 图和图中所有的正方形都全等，将图的正方形放在图中的某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是( )
A. B. C. D.
4. 如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点，，，，使得，与共线，，与共线，且直线与河岸垂直，直线，均与直线垂直．经测量，得到，，的长度，设的长为，则下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
5. 已知、是关于的方程的两根，下列结论中不一定正确的是( )
A. B. C. D. 方程必有一正根
6. 从地到地有驾车、公交、地铁三种出行方式，为了选择适合的出行方式，对：：时段这三种出行方式不同出发时刻所用时长
从地到地进行调查、记录与整理，数据如图所示．
根据统计图提供的信息，下列推断合理的是( )
A. 若：出发，驾车是最快的出行方式
B. 地铁出行所用时长受出发时刻影响较小
C. 若选择公交出行且需要分钟以内到达，则：之前出发均可
D. 同一时刻出发，不同出行方式所用时长的差最长可达分钟
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
7. 点到轴的距离是______．
8. 已知比它的补角大，则度数是______．
9. 芯片正在成为需求的焦点，其中的米，将用科学记数法表示为______ ．
10. 用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是______ ．
11. 已知是方程的一个根，则代数式的值 ______ ．
12. 若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是______．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴负半轴，，点为的重心，若将绕着点旋转，则旋转后三角形的重心的坐标为______．
14. 如图所示，小区内有个圆形花坛，点在弦上，，，，则这个花坛的半径为______ ．
15. 正方形的边长为，点是的中点，过点作，垂足为，为对角线、的交点，连接，则 ______ ．
16. 在中，，以的三边为直径在同侧作半圆，得两个月牙图中阴影，过点作的平行线，分别和以、为直径的半圆交于、两点，若：：，则阴影部分的面积和为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：；
解方程：．
18. 本小题分
数学上定义“两腰相等的梯形叫等腰梯形”．
请证明定理：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．
已知：如图，梯形中，，，求证：．
19. 本小题分
某校计划更换校服款式，为调研学生对，两款校服的满意度，随机抽取了名同学试穿两款校服，对舒适性、性价比和时尚性进行评分满分均为分，并按照：：的比计算综合评分．将数据评分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
，两款校服各项评分的平均数精确到如下：
不同评分对应的满意度如下表：
，两款校服时尚性满意度人数分布统计图如图：
校服时尚性评分在这一组的是：
根据以上信息，回答下列问题：
在此次调研中，
校服综合评分平均数是否达到“非常满意”：______填“是”或“否”；
校服时尚性满意度达到“非常满意”的人数为______；
在此次调研中，校服时尚性评分的中位数为______；
在此次调研中，记校服时尚性评分高于其平均数的人数为，校服时尚性评分高于其平均数的人数为比较，的大小，并说明理由．
20. 本小题分
李老师带领甲、乙、丙三名同学乘飞机去北京参加活动，若航班售票系统随机分配座位，且系统已将人分配到同一排，如图所示是飞机内同一排座位，，，的排列示意图：
利用树状图或表格，求甲乙两同学被分配到相邻座位的概率过道两侧座位、不算相邻；
为方便管理，若李老师首先选择过道左侧座位，让甲、乙、丙三名同学随机选择座位，甲同学认为：座位不在过道左侧，就在过道右侧，所以他自己也在过道左侧的概率为请判断甲同学的观点是否正确，并简述理由．
21. 本小题分
利用无人机测量建筑物两旁，两点之间的距离．如图所示，某同学站在处指挥处的无人机，飞行高度是，测得处的俯角为，若该同学的身高，点，，，在同一平面内．
求该同学抬头看无人机的仰角正弦值；
求，两点之间的距离结果精确到．
22. 本小题分
如图，在中，是弦，半径于点，点为外一点，连接、，连接并延长交于点，给出下列信息：与相切于点；；点是的中点．
请在上述条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论构成一个真命题你选择的条件是______ ，______ ，结论是______ 只要填写序号完成你的证明；
在的条件下，若已知：，，求的半径．
23. 本小题分
如图，劳动课同学们利用喷水头喷出的水对草坪进行喷灌作业以养护草坪如图，点处有一个喷水头，距离喷水头的处有一棵高度是的树，距离这棵树的处有一面高的围墙建立如图所示平面直角坐标系已知喷水头喷出的水柱的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．

某次喷水浇灌时，测得与的几组数据如下：
根据上述数据，求满足的函数关系；
当喷水头喷出的水柱高度为时，的值 ______ ．
又一次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度与水平距离近似满足函数关系假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，求出同时满足这两个要求的常数的范围．
24. 本小题分
如图，已知中，，，，是上的一点，，点是线段上的一个动点，沿折叠，点与重合，连接．
求证：∽；
若点是上一点，且，求的最小值．
25. 本小题分
【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
如图，已知在垂等四边形中，对角线与交于点，若，，，则的长度 ______ ．
【数学理解】在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全等如图，在中，已知是弦，、是半径，求作：的内接垂等四边形要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹
【问题解决】如图，已知是上一定点，为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形、不重合且、、三点不共线，对角线与交于点，的半径为，当点到的距离为时，求弦的长度．
26. 本小题分
定义：对于关于的函数，我们称函数，为函数的分函数其中为常数例如：一次函数的分函数为．
已知点在一次函数的分函数图象上，求的值．
若是反比例函数的分函数，当时，求的取值范围．
已知是二次函数的分函数图象上的点，当时，满足，则的最大值为______ ．
若点、的坐标分别为、，连接当二次函数的分函数图象与线段有两个公共点时，直接写出的取值范围．
答案和解析
1.答案：
解析：本题考查幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．根据负整数指数幂的运算法则进行计算．
解：，
原式．
故选：．
2.答案：
解析：解：第一行的数字之和是，
第一行第一个数字为，
第三列的数字之和是，
三列最后一个数字为，
斜对角线的数字之和也为，
三列最后一个数字为，
，
解得：．
故选：．
3.答案：
解析：解：将图的正方形放在图中的的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体．
故选：．
由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．
本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．
4.答案：
解析：解：由题意可得：∽，
则，
故，
故选：．
直接利用相似三角形的应用，正确得出∽，进而得出比例式即可得出答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
5.答案：
解析：解：、根据根与系数的关系可得出，结论A正确，不符合题意；
B、根据根与系数的关系可得出，结论不一定正确，符合题意；
C、根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此即可得出，结论C正确，不符合题意；
D、由，结合判别式可得出方程必有一正根，结论D正确，不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程根与系数的关系，求出，的值，分析后即可判断项，项是否符合题意；再结合判别式，分析后即可判断项，项是否符合题意．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
6.答案：
解析：解：根据统计图可得，：出行，汽车用时分钟，公交车用时约分钟，地铁用时分钟，所以最快的出行方式是地铁，选项说法不正确，故A选项不符合题意；
B.根据统计图可得，地铁的出行时间受出发时刻影响比较小，所以选项说法正确，故B符合题意；
C.根据统计图可得，：出行，选择公交车所用时间为分钟，所以选项说法错误，故C不符合题意；
D.根据统计图可得，最大时长差出现在：，时长差为分钟，所以选项说法错误，
故D不符合题意．
故选：．
根据折线统计图中的信息进行判定即可得出答案．
本题主要考查了折线统计图，根据题目要求读懂折现统计图中的信息进行求解是解决本题的关键．
7.答案：
解析：解：点到轴的距离是，
故答案为：．
根据点到轴的距离是点的纵坐标的绝对值，可得答案．
本题考查了点的坐标，点到轴的距离是点的纵坐标的绝对值，点到轴的距离是点的横坐标的绝对值．
8.答案：
解析：解：设，
，
解得，
故答案为
设，根据题意列出方程，解方程求之即可．
本题考查了补角，正确理解补角的定义是解题的关键．
9.答案：
解析：解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
10.答案：答案不唯一
解析：解：“”是错误的，
的值可以是答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
直接利用二次根式的性质，进而得出符合题意的答案．
此题主要考查了二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
11.答案：
解析：解：是方程的一个根，
，
，


，
当时，原式


，
故答案为：．
根据一元二次方程的解的意义可得，从而可得，然后再对多项式进行去括号，合并同类项，最后把代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12.答案：且
解析：解：将原式去分母得：，
解得：，
由分式方程的解为非负数，
得到，且，
解得且，
故答案为：且．
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，再由分式方程的解为非负数确定出的范围即可．
此题考查了分式方程的解，关键在于要注意分式方程中分母不为．
13.答案：或
解析：解：，点为的重心，
，
，
点，
点，即，，
绕着点顺时针旋转，如图，
过点作轴，
，
，
，
，，
≌，
，
；
绕着点逆时针旋转，如图，

过点作轴，
同理可得，
综上所述：旋转后三角形的重心的坐标为或．
故答案为：或．
先根据等腰三角形，重心的性质求出点，然后分情况绕着点顺时针旋转，如图，证明≌，得出；绕着点逆时针旋转，如图，同理可得．
本题考查三角形的重心、等腰三角形的性质、坐标与图形变化旋转，掌握旋转的性质、三角形的重心、等腰三角形的性质的综合应用，分情况讨论是解题关键．
14.答案：
解析：解：如图，连接，过点作，垂足为，
是弦，，，，
，
，


，


．
故答案为：．
通过作弦心距，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理进行计算即可．
本题考查垂径定理的应用，掌握垂径定理和勾股定理是解决问题的前提，构造直角三角形是正确解答的关键．
15.答案：
解析：解：如图，过点作，交于，

点是的中点，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
≌，
，，
是等腰直角三角形，，
，
故答案为：．
由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长，由“”可证≌，可得，，即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16.答案：
解析：解：设交以为直径的半圆于，取的中点，作于，连接、、．

是直径，
．
是直径，
．
，，
四边形、四边形是矩形，
，，
：：，设，，
则，
，
，，
，
，
，
在中，
在中，，
，
，
，
，，
直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积





．
故答案为：．
阴影部分面积可以看成是以、为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形的面积减去一个以为直径的半圆的面积．
此题主要考查了扇形面积的计算公式，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差．
17.答案：解：


；
，
，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
解析：先根据绝对值，有理数的乘方，算术平方根和特殊角的三角函数值进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算和解分式方程等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解的关键，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
18.答案：证明：如图，过点作，交于点，
，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
．
解析：过点作，交于点，结合可判定四边形是平行四边形，，从而得，再利用等量代换得出，据此知，从而得出答案．
本题主要考查等腰梯形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握等边对等角知识点．
19.答案：解：校服综合评分平均数为：，
“非常满意”是，
达到“非常满意”，
故答案为：是；
校服时尚性满意度达到“非常满意”的人数为：人，
故答案为：人；
由题意得，校服时尚性评分中，不满意人数：人，基本满意人数：人，满意人数：人，非常满意人数：人，
中位数是和位的中位数，是中的前两位，即，
故答案为：；
，
理由如下：校服时尚性评分的平均数为，达到满意水平，
由扇形图可知，人中对校服时尚性评分达到满意和非常满意是人数是人，
，
校服时尚性评分时尚性评分平均数为，小于中位数，
，
．
解析：本题考查的是中位数、平均数，扇形图，掌握中位数的概念、正确获取扇形图的信息是解题的关键．
求出校服综合评分平均数，根据题意比较大小，得出结论；
根据扇形图计算；
根据中位数的概念解答即可；
根据校服时尚性评分的平均数为，校服时尚性评分时尚性评分平均数为，分别求出、，证明结论．
20.答案：解：画树状图如下：

由图可知共有种等可能的结果，其中甲和乙相邻座的结果有种，
甲和乙被分配到相邻座位的概率过道两侧座位不算相邻是；
甲同学的观点不正确，理由是：
甲同学随机选择座位，，中的一个座位，选中每个座位的概率都是，
甲同学在过道左侧的概率为．
解析：根据两步概率问题的求解方法，用画树状图的方法结合概率公式求解即可得到答案．
由概率公式可得答案．
本题考查概率问题，涉及一步概率问题及两步概率问题，熟练掌握简单概率公式及列举法求两步概率问题的方法步骤是解决问题的关键．
21.答案：解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

由题意得：
米，米，
米，
在中，米，
，
该同学抬头看无人机的仰角正弦值为；
由题意得：
，，
在中，米，
米，
米，
在中，米，
米，
，两点之间的距离约为米．
解析：过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得米，米，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
根据题意可得：，，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.答案：
解析：解：条件：与相切于点；；结论：点是的中点．
连接、，如图所示．
与相切于点，
．
设，则．
，
，
，
，，
，
，
，
，
是的中点；
故答案为：；；
由，可设，，
，点是的中点，
，
．
，
，
解得：，
，，
，
，
，，
∽，
，
即，
，
设的半径为，则，，
，
，即，
解得：，
的半径为．
连接、，根据切线的性质可得出，设，则，由可得出，利用三角形内角和定理可得出，；进而可得出，得出，由利用等腰三角形的三线合一可得出点是的中点；
由，可设，，由勾股定理结合可求出的值，进而可得出、、、、的值，由、可得出∽，利用相似三角形的性质可求出的长度，设的半径为，则，，利用勾股定理可求出的长度，此题得解．
本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、圆周角定理以及切线的性质，解题的关键是：通过角的计算找出；利用勾股定理求出的半径．
23.答案：
解析：解：根据抛物线过原点，设抛物线解析式为，
把，和，代入得：
，
解得，
抛物线解析式为；
当时，即，
解得或不合题意舍去，
故答案为：；
喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，
当时，，
即，
解得；
喷水头喷出的水柱不会浇到墙外，
当时，，
即，
解得；
常数的范围为．
由表格中数据，用待定系数法求出函数解析式即可；
根据表中数据即可得到结论；
根据题意可知当时，当时以及对称轴直线即可判断．
本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式和函数性质的应用．
24.答案：解：沿折叠，点与重合，

证明：，，
，
沿折叠，点与重合，
，
，，
，
又，
∽；
∽，
，
，
，
当点、、三点共线时，有最小值，即有最小值为，
如图，过点作于，

由得：，，，，
，，
∽，
，即，
，，
，
，
，
的最小值为．
解析：由线段的数量关系可得，可得结论；
由相似三角形的性质可得，则当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，由相似三角形的性质和勾股定理可求的长，即可求解．
本题是相似三角形的判定和性质，考查了折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25.答案：
解析：由垂等四边形的定义得，
又，
，
．
作，，分别交于点和点，即可得到垂等四边形，如图，

连接，并相交于点，
，
，，
，即，
，，，
≌．
．
，，
四边形是垂等四边形．
连接，，由可得等腰，
，
作，易证得∽，
：
设，，可得方程，
解得或，如图：

或，
作，
．
∽，
，
或，
或．
根据垂等四边形的定义列式求解即可；
作，，分别交于点和点，即可得到垂等四边形，连接，并相交于点，证明，得到≌，证明，即可得到结果；
方法一：连接，，根据已知条件求出，，再根据相似三角形的性质列式计算即可；
本题主要考查了圆的综合应用，结合相似三角形的判定与性质、三角函数的应用和四边形综合知识的计算是解题的关键．
26.答案：
解：一次函数的分函数为，
点在上，
．
根据新定义得，画出分段函数图象，如图，
从图象可以看出时，图象分成两段：和，
当时，当时．
或．
二次函数的分函数图象，如图，
当时，满足，
当时，最低点坐标坐标为，
的取值范围是，
当时，，所求得的的值，就是的最大值，
此方程的解为或舍去，
的最大值为．
故答案为：．
由定义可得，
当时，得，
得，
当时，，当时，，
当两个交点都在时，则有，且，
此不等式组无解，所以舍去，
两个交点都再时，则有且，
此不等式组无解，所以舍去，
一个交点在，另一个交点在，则
且，
解得．
一次函数的分函数为，所以点在上，代入即可求解．
根据新定义得，画出分段函数图象，特别注意自变量的取值范围，观察图象即可求解．
二次函数的分函数的图象，利用数形结合思想抓住临界位置时的值．
由定义可得，抓住线段与图象交点的临界位置进行讨论．
本题主要考查的是二次函数的综合运用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质，函数图象上点的坐标与函数关系式的关系，数形结合思想的灵活运用．
款式
舒适性评分平均数
性价比评分平均数
时尚性评分平均数
综合评分平均数
评分
满意度
不满意
基本满意
满意
非常满意
窗
过道
窗