282，浙江省金华市义乌市宾王中学2023-2024学年九年级上学期学科学习能力诊断联考数学试题

这是一份282，浙江省金华市义乌市宾王中学2023-2024学年九年级上学期学科学习能力诊断联考数学试题，共25页。

2．考生答题前，须将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．
3．答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上的相应区域内，答案写在本试题卷上无效．
参考公式：二次函数的顶点坐标是．
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若非零实数满足，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，根据得出，从而即可得出答案，熟练掌握比例的性质是解此题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
故选：C．
2. 如图所示，几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D. 您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高【答案】A
【解析】
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形
故选：A．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，难度不大．
3. 用放大镜将一个的面积放大为原来的4倍，则放大后的（ ）
A. 是原来的4倍B. 周长是原来的2倍
C. 对应边长是原来的4倍D. 对应中线长是原来的4倍
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变．
【详解】解：∵放大前后的两三角形相似，
∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长以及对应边的中线均为原来的2倍，
故选：B．
4. 在一个不透明的盒子中装有3枚仅有颜色不同的棋子，其中1枚白色棋子和2枚黑色棋子．从中随机摸出一枚棋子，记录其颜色后放回，再从盒子中随机摸出一枚棋子，记录其颜色，则两次记录的颜色不同的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意画出树状图如图：
，
由图可得，共有9种等可能出现的结果，其中两次摸出棋子颜色不同的情况有4种，
两次记录的颜色不同的概率是，
故选：D．
5. 已知二次函数，则（ ）
A. 函数图象的对称轴为直线B. 函数的最大值为2
C. 当时，随的增大而增大D. 函数图象与轴的交点坐标为
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，依照二次函数的性质对比四个选项即可得出结论．
【详解】解：由可知，抛物线的对称轴为直线，故A错误；
函数的最大值为，故B错误；
因为，则抛物线开口向下所以当时，随的增大而增大，故C正确；
令，则，所以函数图象与y轴的交点坐标为，故D错误．
故选：C．
6. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到的距离等于（ ）
A. 1米B. 米C. 2米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，连接交于点，由题意得：，米，由垂径定理可得米，由勾股定理得出米，最后由即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，连接交于点，
，
由题意得：，米，
（米），
（米），
（米），
故选：B．
7. 我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】要求的值，想到构造直角三角形，根据已知可得的补角为，所以过点B作，交的延长线于点D，分别在和中利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：过点B作，交的延长线于点D，

∵，
∴设，，
，互为半余角，
，
，
在中，，，
，
，
在中，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
8. 如图，点在线段上，在的同侧作等腰三角形和等腰三角形，分别与交于点．设，下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. 平分D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据题意，先得出，再根据角之间的关系得出A，B选项不符合题意，再根据面积比算出选项C不符合题意，和都是等腰三角形， 得出， 再证明， 最后获得得出D符合题意，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、 与是等腰三角形且，
，
由题意得，
，
由①②得，
令，
，
，故A不符合题意；
B 、由选项A所得， ，
，故 B不符合题意；
C、，
令到的距离为，到的距离为，
∴，
，
，
∴不平分，故C不符合题意；
D、和都是等腰三角形，且
∴，
∵且，
∴，
∴，
，
，故D符合题意；
故选：．
9. 将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，，若以点，F，C为顶点的三角形与相似，那么的长度是（ ）
A. B. C. 或4D. 或4
【答案】C
【解析】
【分析】由于折叠前后的图形不变，要考虑与相似时的对应情况，分两种情况讨论．
【详解】解：根据与相似时的对应情况，有两种情况：
①时，，
又因为，，，
所以，
解得；
②时，，
又因为，，，，
又，即，
解得．
故的长度是或4．
故选C．
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）和对相似三角形性质的理解：相似三角形对应边成比例．
10. 设是实数，若抛物线与直线有两个交点，且这两个交点在抛物线对称轴的同侧，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图形与性质，二次函数与一元二次方程，一元二次方程根的判别式，正确理解抛物线与直线的两个交点在抛物线对称轴的同侧是解题的关键．当时，求出抛物线与直线上对应点的纵坐标，并列出不等式求解，得到，根据抛物线与直线有两个交点，可列不等式并求解，得到，由此即得答案．
【详解】由题意，抛物线的顶点坐标为，
当时，，
抛物线与直线有两个交点，且这两个交点在抛物线对称轴的同侧，
，
解得，
令，
则，
，
，
解得，
．
故选C．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：____________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值填空即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记部分特殊角的三角函数值是解题的关键．
12. 一名男生在一个水平的训练场地里推铅球，铅球飞行高度与距离该男生的水平距离之间满足：，则铅球推出的距离为______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了实际问题与二次函数，当时，解方程即可求解，此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．
【详解】解：当时，，
解得：，（舍去），
铅球推出的距离为，
故答案为：10．
13. 如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小兔子），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域内掷点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.6左右，由此她估计此不规则图案的面积大约为________．

【答案】36
【解析】
【分析】本题主要考查了频率和概率之间的关系，根据频率和概率之间的关系解答该题即可．
【详解】解：∵小点落在不规则图案内的频率趋近于0.6，
故小点落在不规则图案内的概率为0.6，
估计此不规则图案的面积大约为，
故答案为：36．
14. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=_______°.
【答案】60
【解析】
【详解】∵四边形OABC为平行四边形，
∴∠AOC=∠B，∠OAB=∠OCB，∠OAB+∠B=180°．
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠D+∠B=180°．
又∠D＝∠AOC，
∴3∠D=180°，
解得∠D=60°．
∴∠OAB=∠OCB=180°-∠B=60°．
∴∠OAD+∠OCD=360°-（∠D+∠B+∠OAB+∠OCB）=360°-（60°+120°+60°+60°）=60°．
故答案为：60°．
【点睛】考点：①平行四边形的性质；②圆内接四边形的性质．
15. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点；②分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点．若，则的长为______．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质，作于，由角平分线的性质定理得出，由勾股定理得出，证明得出，代入计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，
，
则，
由作图可得：平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，，若与的面积相等，则______．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意得出，即，解方程得到（负值舍去）即可得到结论．
【详解】解：如图所示:

，，
，，
与的面积相等，
，
，
，
，若令，则，由公式法解得或（负值舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，一元二次方程的解法，根据题意得出关于的方程是解题的关键．
三、解答题（本大题有8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 如图，扇形的圆心角为，半径为．
（1）求出此扇形的面积．
（2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面（不计接缝），求圆锥的底面半径．
【答案】17. 扇形的面积等于
18. 圆锥的底面半径为
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积及求弧长：
（1）利用扇形的面积公式即可求解；
（2）先求得，再根据与圆锥的底面周长等于，进而可求解；
熟练掌握扇形的面积公式及弧长公式是解题的关键．
【小问1详解】
解：扇形的圆心角为，半径为，
扇形的面积为：．
【小问2详解】
扇形圆心角为，半径为，
，
圆锥的底面周长为，
圆锥的底面半径为：．
18. 杭州第19届亚运会有三个重要的竞赛场馆，分别为：A．大莲花奥体中心，B．黄龙体育中心，C．化蝶游泳馆，小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这三个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．
（1）小明被分配到A（大莲花奥体中心）做志愿者的概率是多少？
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖都被分配到B（黄龙体育中心）做志愿者的概率
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了简单的概率计算或树状图或列表法求概率：
（1）利用概率公式即可求解；
（2）根据题意先画出树状图，再利用概率公式即可求解；
熟练掌握概率公式及会画树状图是解题的关键．
【小问1详解】
解：所有可能情况有3种，其中小明被分配到A（大莲花奥体中心）做志愿者的可能情况有1种，
小明被分配到A（大莲花奥体中心）做志愿者的概率是．
【小问2详解】
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小颖都被分配到B（黄龙体育中心）做志愿者的结果有1种，
小明和小颖都被分配到（黄龙体育中心）做志愿者的概率是．
19.
【答案】（1）的度数是；（2）护坡石坝的垂直高度为2米；（3）
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质求解即可；
（2）首先得到，然后利用相似三角形的性质得到，然后代数求解即可；
（3）首先根据角的正切值得到，然后得到，然后证明出，得到，然后代入求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，即，
解得；
（3）∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等边对等角和三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．
20. 如图，四边形是菱形，点在延长线上，．
（1）求证：．
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】本题考查了菱形性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据菱形的性质得到，证得，即可得到结论；
（2）根据相似三角形对应边成比例，代入数值计算即可．
【小问1详解】
证明：四边形是菱形，
，
；
【小问2详解】
，
．
21. 在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个公共点，则称是的相切函数，公共点称为切点．已知函数，且是的相切函数，为切点．
（1）试写出切点的坐标（____，____），及与的关系式______．
（2）当分别取以下两组值时，①；②，不等式是否成立？说明理由．
【答案】（1）；
（2）当时，不能使成立；当时，能使成立；理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，因式分解法解一元二次方程；
（1）令，求出，然后根据相切函数的定义可得，进而可求得，再把代入即可求出切点的坐标；
（2）①当时，根据整理得，而，故此情况不能使成立；②当时，根据整理得，故此情况能使成立．
【小问1详解】
解：当时，即，
整理得：，
，
，
由相切函数定义得，
∴，即．
将代入得，
∴切点的坐标为，
故答案为：；；
【小问2详解】
①当时，，
要使成立，即使，
∴，即，
而，
当时，不能使成立；
②当时，，
要使成立，即使，
，即，
当时，能使成立．
22. 如图是一座拱桥的截面图，拱桥桥洞的形状是抛物线．平时水面的宽度为，在离水面高处，有一条航运船舶限高杠杆，杠杆长．以为原点，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系．
（1）求此抛物线的表达式．
（2）因为上游水库泄洪，水面上涨了，则此时水面的宽度是多少？（，结果精确到）
【答案】（1）
（2）此时水面的宽度是
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）由题意，可得抛物线上各点的坐标：，设抛物线的解析式为：，采用待定系数法求解即可；
（2）当时，，求解即可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意，可得抛物线上各点的坐标：，
设抛物线的解析式为：，
将代入抛物线得：，
解得：，
抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：由（1）知二次函数，
当时，，
解得：，
，
即此时水面的宽度是．
23. 【问题提出】
（1）如图1，在正方形中，是对角线，点在边上，点在对角线上，，求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在矩形中，，点在边上，点在对角线上，，求的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形中，，点在边上，点在对角线上，，作交的延长线于点的延长线交于点，请直接写出的长．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形性质，得，，结合，得出，即可作答；
（2）连结交于点，证出，根据相似三角形的性质，列式代入数值，计算即可作答；
（3）连结交于点，延长交的延长线于点，证明，再根据等面积法，得，运用勾股定理得出的值，根据列式，得出的值，最后由，得，列式代入数值，计算即可作答；
【详解】解：（1）如图1，
∵四边形是正方形
∴，
∴
∵
∴
∴，
可得，
即；
（2）如图2，连结交于点，
∵四边形是矩形
∴，
∴
∵
∴
∴，
则
则
∴
（3）．过程如下：
如图3，连结交于点，延长交的延长线于点．
∵四边形是菱形
∴
∵
∴
则
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
∴
则．
，
．
∵四边形是菱形
∴
∴
∴
得，
，
∵
∴
∴
，
即，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、菱形的性质，综合性强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
24. 如图，在中，是的外接圆，连接并延长交于点，连接．在上取一点，使，连接与交于点．
（1）试求与数量关系．
（2）求证：．
（3）已知的半径为2，若，
①试判断的形状；②求的面积．
【答案】（1）．理由见解析
（2）见解析 （3）①为等腰直角三角形；②
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由得出，从而得出，进而得出，由直径所对的圆周角等于得出，从而得出；
（2）连接，由得出垂直平分，从而得到，再证明，即可得出结论；
（3）①由，得出，从而得出，进而得出，由平行线的性质可得，结合，即可得出结论；②接并延长交于点，由等腰直角三角形的性质可得，，由勾股定理得，再由即可得出答案．
【小问1详解】
解：．
理由如下：
，
，
．
，
．
是直径，
，
．
，
．
【小问2详解】
证明：连接，
，
，
垂直平分，
，
．
，
．
，
，
．
【小问3详解】
解：①，
．
．
，
，
．
，
为等腰直角三角形．
②连接并延长交于点，
，
为等腰直角三角形，
，
，
．
，
，
，
．数学实践活动：901班测量校园小山坡护坡石坝的有关数据
活动1
如图1，测角小组用一根木条斜靠在护坡石坝上，使得与的长度相等，如果测量得到，那么石坝与地面的倾角的度数是______．

活动2
如图2，测高小组把一根长为4米的竹竿斜靠在石坝旁（点在石坝顶部，点在地面），量出竿长米时离地面的高度为0.5米，请你求出护坡石坝的垂直高度．

实践活动总结归纳
大家总结各组的方法后，设计了如图3方案：在护坡石坝顶部的影子处立一根长为米的杆子，杆子与地面垂直，测得杆子的影子长为米，点到护坡石坝底部的距离为米．利用测角小组得到的倾角的度数，请你用表示出护坡石坝的垂直高度．