266，山东省德州市乐陵市郑店镇王集中学2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题

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1. 下列各组图形不是相似图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解：选项A、C、D的形状相同，但大小不同，符合相似形的定义；
选项B形状不相同，不符合相似形的定义；
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的图形是相似图形．
2. 下列各组线段中，能成比例线段的一组是（ ）
A. 2，3，4，6B. 2，3，4，5C. 2，3，5，7D. 3，4，5，6
【答案】A
【解析】
【分析】根据成比例线段的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、∵2：3=4：6，∴2，3，4，6能成比例线段，故本选项正确；
B、2，3，4，5不能成比例线段，故本选项错误；
C、2，3，5，7不能成比例线段，故本选项错误；
D、3，4，5，6不能成比例线段，故本选项错误．
故选A．
【点睛】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．
3. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，根据反比例函数图象所在象限可以判定的符号，根据的符号来确定直线所经过的象限，逐项判断即可，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象是解此题的关键．
【详解】解：A、双曲线经过第一、三象限，则，则一次函数应该经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；
B、双曲线经过第一、三象限，则，则一次函数应该经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；
C、双曲线经过第二、四象限，则，则一次函数应该经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意；
D、双曲线经过第二、四象限，则，则一次函数应该经过第一、三、四象限，故本选项符合题意；
故选：D．
4. 如图，直线与双曲线交于A、B两点．过点A作轴，垂足为M，连结BM．若，则k的值是（ ）
A. 2B. C. mD. 4
【答案】A
【解析】
【分析】设A坐标为，根据直线与双曲线的对称性得到点B坐标为，即可得到，根据点A在点第一象限，即可得到．
【详解】解：设点A坐标为，由直线与双曲线的对称性得点A和点B关于原点对称，
∴点B坐标为，
∴，
∵点A在点第一象限，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义和中心对称性，熟知反比例函数的中心对称性根据点A坐标确定点B的坐标是解题关键．
5. 若点、、都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数中，
∴函数图象的两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
，
∴点位于第三象限，
，
，
∴点、位于第一象限，
．
．
故选：A．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
6. 如图所示，在△ABC中，DFAC，DEBC，AE＝4，EC＝2，BC=8，则CF为（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】首先证明四边形DECF是平行四边形，得DE=CF，再由△ADE∽△ABC，得，代入即可．
【详解】解：∵，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴DE=CF，
∵，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AE=4，BC=8，CE=2，
∴ ，
∴DE=，
∴CF=，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明△ADE∽△ABC是解题的关键．
7. 如图在中，，，则（ ）
A. 1:8:27B. 1:4:9C. 1:8:36D. 1:9:36
【答案】A
【解析】
【分析】由DE∥FG∥BC，可得△ADE∽△AFG∽△ABC，又由AD：AF：AB＝1：3：6，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得S△ADE：S△AFG：S△ABC＝1：9：36，然后设△ADE的面积是a，则△AFG和△ABC的面积分别是9a，36a，即可求两个梯形的面积，继而求得答案．
【详解】解：∵DE∥FG∥BC，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，
∴AD：AF：AB＝1：3：6，
∴S△ADE：S△AFG：S△ABC＝1：9：36，
设△ADE的面积是a，则△AFG和△ABC的面积分别是9a，36a，
则S四边形DFGE＝S△AFG−S△ADE＝8a，S四边形FBCG＝S△ABC−S△AFG＝27a，
∴S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG＝1：8：27．
故选：A．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定方法和性质．
8. 如图所示，⊙O中，弦AB，CD相交于P点，则下列结论正确的是（ ）
A. PA•AB＝PC•PBB. PA•PB＝PC•PDC. PA•AB＝PC•CDD. PA：PB＝PC：PD
【答案】B
【解析】
【分析】首先连接AC与BD，根据同弧所对的圆周角相等，即可求得∠B=∠C，又由对顶角相等，即可证得△BPD∽△CPA，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【详解】连接AC与BD，
∵∠B与∠C是所对的圆周角，
∴∠B=∠C，
∵∠BPD=∠CPA，
∴△BPD∽△CPA，
∴，
∴PA•PB=PC•PD．
故选B．
【点睛】此题考查了圆周角的性质与相似三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
9. 在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90º，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论：①DE⊥EC；②点E是AB的中点；③AD∙BC=BE∙DE；④CD=AD+BC.其中正确的有（ ）
A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④
【答案】C
【解析】
【分析】如图（见解析），过点E作，根据平行线性质、角平分线的性质、相似三角形的判定定理与性质逐个判断即可.
【详解】如图，过点E作
，即
ED平分，EC平分
，即
，故①正确
又ED平分，EC平分，
点E是AB的中点，故②正确
在和中，
同理可证：
，故④正确
又
，即
在中，
，故③错误
综上，正确的有①②④
故选：C.
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定定理与性质，通过作辅助线，构造垂线和两组全等的三角形是解题关键.
10. 如图，点A的坐标是(-2,0)，点B的坐标是(0,6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则k的值是（ ）
A. 9B. 12C. 15D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】作轴于证明≌，推出，，求出点坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．
【详解】解：作轴于．
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点的坐标是，点的坐标是，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵反比例函数图象经过点，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
11. 如图，双曲线（）经过矩形的边的中点，交于点．若梯形的面积为3，则双曲线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质及用待定系数法求反比例函数的解析式，先根据矩形的特点设出、的坐标，根据矩形的面积求出点横纵坐标的积，由为的中点求出点的横纵坐标，再由待定系数法即可求出反比例函数的解析式．
【详解】解：连接，
设，则，，
设，
和都在反比例函数图象上，
，，
即，
梯形的面积为3，
，
，
，
，
，
，解得，
函数解析式：
故选：B．
12. 如图，在中，，以的各边为边分别作正方形，正方形与正方形，与相交于点，连接并延长交于点，且．记的面积为，的面积为，若，则的长为（ ）

A. 6B. C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】作，先证四边形为矩形以及，由此得，，设，，再证，，推出，最后分别求出，，即可得出答案．
【详解】解：如图，作，垂足为I，延长，交于点O，

，四边形和四边形为正方形，
，，，
，
，，
，，
四边形为矩形，
，，，，
四边形为正方形，
，，
，即，
在和中，
，
，
，，
设，，
则，，
，，
，
，，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
解得，
，
，
故选D．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是正确作出辅助线，证明，，．
二、填空题（4*6＝24分）
13. 在比例尺是的地图上测得A、B两点间的距离为2厘米，那么两地的实际距离为______千米．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了比例线段，比例尺的定义，根据比例尺=图上距离实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．
【详解】解：设这两地的实际距离是x厘米，则：
解得：，
1000000厘米=10千米．
故答案为：10．
14. 如图，已知ABCDEF，BD：DF＝2：5，那么CE：EA＝___．
【答案】5：7##
【解析】
【分析】根据AB∥CD∥EF，可得，则，从而得到，即可得到答案．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例定理．
15. 如图，四边形四边形，若，则_________．
【答案】##度
【解析】
【分析】此题考查相似多边形的性质：对应角相等，由四边形相似得到，由四边形内角和即可求出答案，正确理解相似多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
16. 如图，在中，在边上，，是的中点，连接并延长交于点，若，则的长为________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，过D点作交于F，证明得到，再证明，得到，由，得到，则．
【详解】解：如图，过D点作交于F，
∵，
∴，
∴，
∵O是的中点，
∴，
∴，
∴，
同理可证明，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
17. 如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是__________．
【答案】
【解析】
【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
设正方形的边长为m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设反比例函数的表达式为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义．
18. 如图，一次函数与反比例函数（）的图象交于点，过点作，交轴于点；作，交反比例函数图象于点；过点作交轴于点；再作，交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的横坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】由点A是直线与双曲线的交点，即可求出点A的坐标，且可知，又可知是等腰直角三角形，再结合可知是等腰直角三角形，同理可知图中所有三角形都是等腰直角三角形，由求的坐标，即的坐标（=1,2,3……），故想到过点作轴，即过作轴．设的纵坐标为，则的横坐标为，再利用点在双曲线上即可求解坐标，同理可得的坐标．
【详解】解：过作轴于点
点A是直线与双曲线的交点
解得
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
设的纵坐标为，则的横坐标为
点在双曲线上
解得
设的纵坐标为，则的横坐标为
解得
同理可得
由以上规律知：
即的纵坐标为
的横坐标为
故答案是：．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数、交点坐标的求法、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用和规律探究，属于综合几何题型，难度偏大．解题的关键是结合等腰直角三角形的性质做出辅助线，并在计算过程中找到规律．
二、解答题（共78分）
19. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接OM、CM，且CM交BD于点N，ND=1．
（1）证明：△MNO～△CND；
（2）求BD的长．
【答案】（1）详见解析；（2）3.
【解析】
【详解】分析：（1）由四边形ABCD为平行四边形，为AC中点，M为AD中点，根据中位线的性质得到ＯＭ∥ＣＤ，即可证得：
（2）由可得到根据即可求出，根据平行四边形的性质，即可确定出BD的长；
详解：（1）证明：□中为AC中点，
M为AD中点，
ＯＭ∥ＣＤ，
（2）由（1）知，，


．
四边形为平行四边形，

点睛：考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
20. 综合实践活动
主题：测量墙面高度
素材：手电筒，木板，平面镜，直尺
步骤：如图，小颖同学手持电筒从点处发射光线，通过水平放置在地面上的平面镜反射后，经过垂直于地面放置的木板上边缘点，落在垂直于地面的墙面处．小颖测得处离地面的高度，处离木板底端E处的长度，处到墙面底端处的长度，木板长度．
计算：已知光通过平面镜反射中入射角等于反射角，图中点，，，在同一水平线上．求点到地面的高度．
【答案】米．
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的判定与性质即可得出和的长，杰诺瑞即可求解，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键．
【详解】解：根据光反射可知：，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
由，
∴，
∴，即，
则，
∴点到地面的高度为米．
21. 如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A(4，3)，与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式；
（2）已知点C(0，5)，试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．
【答案】（1）y＝，y＝2x﹣5；（2）(2.5，0)
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可解答；
（2）设点M的坐标为（x，2x﹣5），根据MB＝MC，得到，即可解答．
【详解】解：（1）把点A（4，3）代入函数y＝得：a＝3×4＝12，
∴y＝．
OA＝＝5，
∵OA＝OB，
∴OB＝5，
∴点B的坐标为（0，﹣5），
把B（0，﹣5），A（4，3）代入y＝kx+b得：
解得：；
∴y＝2x﹣5．
（2）∵点M在一次函数y＝2x﹣5上，
∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），
∵MB＝MC，
∴
解得：x＝25，
∴点M的坐标为（2.5，0）．方法二：∵B（0，﹣5）、C（0，5），
∴BC＝10，
∴BC的中垂线为：直线y＝0，
当y＝0时，2x﹣5＝0，即x＝2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是利用待定系数法求解析式．
22. 如图所示，在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个，试在这个网格上画一个与相似，且面积最大的 (，，三点都在格点上)，并求出这个三角形的面积．
【答案】的面积为5．
【解析】
【分析】如图可得出，则的对应边最长的长度为，所以可依次作出，．即，的面积可用相似比求解．
【详解】解：利用勾股定理得出各边长，， ，
故的对应边最长的长度为×==，
则， ， ．
∵=，
∴
∵，
∴的面积为：5．
【点睛】本题考查了位似图形的意义及作图能力．解题的关键是根据，找到AC的对应边最长的长度为．
23. 如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝15°，AD∥OC并交BC的延长线于D点，OC交AB于E点．
（1）求∠D的度数；
（2）求证：AC2＝AD·CE．
【答案】（1）∠D=45°；（2）见解析
【解析】
【详解】试题分析： （1）连接OA，由圆周角∠ABC与圆心角∠AOC所对的弧为同一条弧，根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由∠ABC的度数求出∠AOC的度数，再由OA=OC，根据等边对等角，由顶角∠AOC的度数，利用三角形的内角和定理求出底角∠ACO的度数，再由∠BAC及∠ABC的度数，求出∠ACB的度数，由∠ACB﹣∠ACO求出∠BCE的度数，由OC与AD平行，根据两直线平行同位角相等可得∠D=∠BCE，可得出∠D的度数；
（2）由∠ACB的度数，利用邻补角定义求出∠ACD的度数，再由∠AEC为三角形BEC的外角，利用外角性质得到∠AEC=∠ABC+∠BCE，可得出∠AEC的度数，进而得到∠AEC=∠ACD，在三角形ACD中，由∠ACD及∠D的度数，求出∠CAD的度数，可得∠CAD=∠ACE，利用两对对应角相等的三角形相似可得三角形AEC与三角形DCA相似，根据相似三角形的对应边成比例可得证．
解：（1）连接OA，如图所示：
∵圆周角∠ABC与圆心角∠AOC所对弧都为，
∴∠AOC=2∠ABC，又∠ABC=15°，
∴∠AOC=30°，
又OA=OC，∴∠OAC=∠OCA==75°，
又∠BAC=45°，∠ABC=15°，
∴∠ACB=120°，
∴∠OCB=∠ACB﹣∠ACO=120°﹣75°=45°，
又OC∥AD，
∴∠D=∠OCB=45°；
（2）∵∠ABC=15°，∠OCB=45°，
∴∠AEC=60°，
又∠ACB=120°∴∠ACD=60°，
∴∠AEC=∠ACD=60°，
∵∠D=45°，∠ACD=60°，
∴∠CAD=75°，又∠OCA=75°，
∴∠CAD=∠OCA=75°，
∴△ACE∽△DAC，
∴= ，即AC2=AD•CE．
考点：圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
24. 已知：如图，抛物线y＝x2－x－1与y轴交于C点，以原点O为圆心，OC长为半径作⊙O，交x轴于A，B两点，交y轴于另一点D．设点P为抛物线y＝x2－x－1上的一点，作PM⊥x轴于M点，求使△PMB∽△ADB时的点P的坐标．
【答案】P点坐标分别为P1(0，－1)．P2(2，1)．
【解析】
【分析】设P点的横坐标xP＝a，则P点的纵坐标yP＝a2－a－1．则PM＝｜a2－a－1｜，BM＝｜a－1｜．因为△ADB为等腰直角三角形，所以欲使△PMB∽△ADB，只要使PM＝BM.即｜a2－a－1｜＝｜a－1｜．不难得a1＝0．
【详解】解：如图，设P点的横坐标xP＝a，则P点的纵坐标yP＝a2－a－1．
则PM＝｜a2－a－1｜，BM＝｜a－1｜．
因为△ADB为等腰直角三角形，
所以欲使△PMB∽△ADB，只要使PM＝BM.即｜a2－a－1｜＝｜a－1｜．
所以，a2－a－1= a－1或a2－a－1= -（a－1）
解得a1＝0，
∴P点坐标分别为P1(0，－1)．P2(2，1)．
【点睛】本题考核知识点：相似三角形的判定和性质.解题关键点：画图分析，数形结合.
25. 已知，如图，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数图象交于A点（3，2），
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．
（2）根据图象回答：在第一象限内，当反比例函数值大于正比例函数值时x的取值范围？
（3）M（m，n）是反比例函数上一动点，其中0大于m小于3，过点M作直线MN平行x轴，交y轴于点B．过点A作直线AC平行y轴，交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）理由见解析
【解析】
【分析】（1）把A点坐标分别代入两函数解析式可求得a和k的值，可求得两函数的解析式；
（2）由反比例函数的图象在正比例函数图象的下方可求得对应的x的取值范围；
（3）用M点的坐标可表示矩形OCDB的面积和△OBM的面积，从而可表示出四边形OADM的面积，可得到方程，可求得M点的坐标，从而可证明结论．
【详解】解：（1）∵将分别代入，中，
得，，∴，，
∴反比例函数的表达式为：，
正比例函数的表达式为．
（2）∵
观察图象，得在第一象限内，
当时，反比例函数的值大于正比例函数的值；
（3）
理由：∵轴，轴，∴四边形OCDB是平行四边形，
∵x轴轴，∴是矩形．
∵M和A都在双曲线上，
∴，，
∴，又∵，
∴，
即，
∵，∴，即
∴，∴，，
∴．
【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、函数与不等式、矩形及三角形的面积和数形结合思想等．在（2）中注意数形结合的应用，在（3）中用M的坐标表示出四边形OADM的面积是解题的关键．