专题07 一元二次方程的解法与应用-2024年中考数学一轮复习重难点精讲练（导图+知识点+新题检测）

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知识点01：解一元二次方程
【高频考点精讲】
1．用“配方法”解一元二次方程
（1）把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
（2）方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
（5）如果右边是非负数，可以通过直接开平方法求解；如果右边是负数，则判定此方程无实数解。
2．用“因式分解法”解一元二次方程
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
（3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
3．用“换元法”解一元二次方程
（1）把方程中某个含有未知数的式子看成一个整体，用另一个未知数去替换它，从而将原方程转化成关于新未知数的方程，这种方法叫做“换元法”。
（2）“换元法”关键是构造元和设元，目的是变换研究对象，将问题转移至新对象的知识背景中去研究，从而使复杂问题简单化。
知识点02：高次方程和无理方程
【高频考点精讲】
1．高次方程
（1）一般地，最高次项的次数高于2次的方程，叫做高次方程。
（2）高次方程的解法
通过适当方法把高次方程转化为次数较低的方程求解。所以，解高次方程一般要降次，将高次方程转化成二次方程或一次方程。
2．无理方程
（1）方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程。
（2）解无理方程关键是去根号，将其转化为整式方程。
（3）常用方法：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法。注意：用乘方法解无理方程，通常会产生增根，应当注意验根。
知识点03：根的判别式及根与次数关系
【高频考点精讲】
1．根的判别式
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与根的判别式（△＝b2﹣4ac）有如下关系：
（1）当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；反过来，当方程有两个不相等的两个实数根时，△＞0。
（2）当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；反过来，当方程有两个相等的两个实数根时，△＝0。
（3）当△＜0时，方程无实数根；反过来，当方程无实数根时，△＜0。
2．根与系数的关系
（1）如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，那么x1+x2＝，x1x2＝
（2）根与系数的关系可以解决以下问题
①已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数。
②求关于根的式子的值，例如求x12+x22。
③判断两根的符号；
④由两根满足的条件，确定字母的取值。
知识点04：由实际问题抽象出一元二次方程
【高频考点精讲】
在解决实际问题时，要明确已知和未知，找出相等关系，设出未知数，用方程表示已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程。
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.57
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023•锦州）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜B．k≤C．k＜且k≠0D．k≤且k≠0
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0，
∴k≠0，
∵方程有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4k×3≥0，
解得k≤，
∴k的取值范围是k≤且k≠0，
故选：D．
2．（2分）（2023•西藏）已知一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x1、x2，则的值为（ ）
A．﹣3B．C．1D．
解：由一元二次方程根与系数的关系得，
x1+x2＝3，x1x2＝2，
∴
＝
＝
＝，
故选：D．
3．（2分）（2023•聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤1且m≠0
解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，
∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，
解得：m≤1且m≠0，
故选：D．
4．（2分）（2023•阜新）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．16（1+x）2＝23B．23（1﹣x）2＝16
C．23﹣23（1﹣x）2＝16D．23（1﹣2x）＝16
解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元，
∴23（1﹣x）2＝16．
故选：B．
5．（2分）（2023•河南）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
解：∵Δ＝m2﹣4×1×（﹣8）＝m2+32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．（2分）（2023•赤峰）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝17C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝17
解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5．
故选：C．
7．（2分）（2023•广西）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A．3.2（1﹣x）2＝3.7B．3.2（1+x）2＝3.7
C．3.7（1﹣x）2＝3.2D．3.7（1+x）2＝3.2
解：由题意得：3.2（1+x）2＝3.7，
故选：B．
8．（2分）（2023•福建）根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．43903.89（1+x）＝53109.85
B．43903.89（1+x）2＝53109.85
C．43903.89x2＝53109.85
D．43903.89（1+x2）＝53109.85
解：设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，
根据题意得，43903.89（1+x）2＝53109.85，
故选：B．
9．（2分）（2023•泸州）关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．实数根的个数与实数a的取值有关
解：∵Δ＝（2a）2﹣4×1×（a2﹣1）
＝4a2﹣4a2+4
＝4＞0．
∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：C．
10．（2分）（2023•衢州）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（ ）
A．x+（1+x）＝36B．2（1+x）＝36
C．1+x+x（1+x）＝36D．1+x+x2＝36
解：由题意得：1+x+x（1+x）＝36，
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023•随州）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 2 ．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，
∴x1+x2＝＝3，x1x2＝＝1，
∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
12．（2分）（2023•牡丹江）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 20% ．
解：设每月盈利的平均增长率是x，
根据题意得：5000（1+x）2＝7200，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
∴每月盈利的平均增长率是20%．
故答案为：20%．
13．（2分）（2023•济南）关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有实数根，则a的值可以是 1 （写出一个即可）．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有实数根，
∴Δ＝16﹣8a≥0，
解得：a≤2，
则a的值可以是1．
故答案为：1．
14．（2分）（2023•内江）已知a、b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，则a2+4a+b﹣3＝ ﹣2 ．
解：∵a是方程x2+3x﹣4＝0的根，
∴a2+3a﹣4＝0，
∴a2＝﹣3a+4，
∵a，b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，
∴a+b＝﹣3，
∴a2+4a+b﹣3
＝﹣3a+4+4a+b﹣3
＝a+b+1
＝﹣3+1
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
15．（2分）（2023•德州）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝8，则m的值为 1 ．
解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两实根，
∴x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+2，
∵（x1+1）（x2+1）＝8，
∴m2+2+2（m+1）+1＝8，
解得m＝1或m＝﹣3，
∵Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+2）＝8m﹣4≥0，
解得m，
∴m＝1，
故答案为：1．
16．（2分）（2023•重庆）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 1501（1+x）2＝1815 ．
解：根据题意，得1501（1+x）2＝1815，
故答案为：1501（1+x）2＝1815．
17．（2分）（2023•雅安）已知关于x的方程x2+mx﹣4＝0的一个根为1，则该方程的另一个根为 ﹣4 ．
解：设方程的另一个根为m，
根据题意得：1×m＝﹣4，
解得：m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
18．（2分）（2023•金昌）关于x的一元二次方程x2+2x+4c＝0有两个不相等的实数根，则c＝ 0（答案不唯一） （写出一个满足条件的值）．
解：∵方程x2+2x+4c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣16c＞0，
解得：c＜．
故答案为：0（答案不唯一）．
19．（2分）（2023•娄底）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2+＝ 6 ．
解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m，
∴m2+
＝（m﹣）2+2
＝（）2+2
＝22+2
＝6．
故答案为：6．
20．（2分）（2023•宜昌）已知x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，则代数式的值为 1 ．
解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∴＝＝1．
故答案为：1．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023•齐齐哈尔）解方程：x2﹣3x+2＝0．
解：∵x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝2．
22．（8分）（2023•襄阳）关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值．
解：（1）b2﹣4ac＝22﹣4×1×（3﹣k）＝﹣8+4k，
∵有两个不相等的实数，
∴﹣8+4k＞0，
解得：k＞2；
（2）∵方程的两个根为α，β，
∴αβ＝＝3﹣k，
∴k2＝3﹣k+3k，
解得：k1＝3，k2＝﹣1（舍去）．
23．（8分）（2023•通辽）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1．
则 m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝ ﹣ ，x1x2＝ ﹣ ．
（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0 的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0 且s≠t，求的值．
解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣；
故答案为：﹣，﹣；
（2）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣，mn＝﹣，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝+1＝；
（3）∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，
∴s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t＝﹣，st＝﹣，
∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（﹣）2﹣4×（﹣）＝，
∴t﹣s＝±，
∴＝＝＝±．
24．（8分）（2023•遂宁）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．
（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；
（2）已知关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．
解：（1）[﹣4，3]*[2，﹣6]＝﹣4×2﹣3×（﹣6）＝10；
（2）根据题意得x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0，
整理得mx2+（1﹣2m）x+m＝0，
∵关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，
∴Δ＝（1﹣2m）2﹣4m•m≥0且m≠0，
解得m且m≠0．
25．（8分）（2023•东营）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
解：（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．
根据题意，得x（72﹣2x）＝640，
化简，得 x2﹣36x+320＝0，
解得 x1＝16，x2＝20，
当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40（m），
当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32（m）．
答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2 的羊圈；
（2）答：不能，
理由：由题意，得x（72﹣2x）＝650，
化简，得 x2﹣36x+325＝0，
Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到 650m2．
26．（8分）（2023•淮安）
为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m的篱笆围成．生态园的面积能否为40m2？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．
解：生态园的面积能为40m2，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
设AB的长度为x m，则BC的长度为m，
由题意得：x•＝40，
整理得：x2﹣18x+80＝0，
解得：x1＝10，x2＝8，
∴生态园的面积能为40m2，AB的长为10m或8m．
27．（8分）（2023•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若x1，x2是方程的两个实数根，且+＝﹣，求m的值．
（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m）
＝4m2﹣4m+1+12m2﹣4m
＝16m2﹣8m+1
＝（4m﹣1）2≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：由题意知，x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，
∵+＝＝＝﹣，
∴，整理得5m2﹣7m+2＝0，
解得m＝1或m＝．
28．（6分）（2023•晋城模拟）综合与实践
在数学课上，老师让同学们以“折一个长方体盒子”为主题开展实践活动．如图1，这是一张长为30cm，宽为12cm的矩形硬纸板．
（1）如图2，奋进小组把矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为144cm2，求剪去的小正方形的边长．
（2）创新小组计划制作一个有盖的长方体盒子．为了合理使用材料，设计了如图3所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，右侧两个空白部分为矩形，问能否折出底面积为104cm2的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．
解：（1）设切去的正方形的边长为x cm，则折成的方盒的底面为长（30﹣2x）cm，宽为（12﹣2x）cm的矩形，
依题意，得：（30﹣2x）（12﹣2x）＝144．
解得x1＝3，x2＝18（舍去），
答：剪去的小正方形的边长为3cm；
（2）设切去的正方形的边长为y cm，则折成的长方体盒子的底面为长（﹣y）cm，宽为（12﹣2y）cm的矩形，
依题意，得：（﹣y）（12﹣2y）＝104，
整理，得：y2﹣21y+38＝0，
解得：y1＝2，y2＝19（不合题意，舍去），
∴y＝2，
∴盒子的体积为104×2＝208（cm3）．
答：能折出底面积为104cm2的有盖盒子，盒子的体积为208cm3