专题3.3 函数的奇偶性与周期性（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1.以常见函数为载体，考查函数的奇偶性与周期性，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
2. 与不等式、方程等相结合考查函数的单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养．
3. 与函数、不等式结合，考查函数性质的综合应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
知识点一
函数的奇偶性
1.函数的奇偶性
2.函数奇偶性的几个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．即“奇同偶反”.
3．有关对称性的结论
(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．
若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．
(2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称；若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．
知识点二
函数的周期性
1.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
2．常用结论
周期性常用的几个结论如下：
定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的．
（1）对时，若或（）恒成立，则是的一个周期；
（2）对时，若或或（）恒成立，则是的一个周期；
（3）若为偶函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数；
（4）若为奇函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数.
（5）若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|；
常考题型剖析
题型一：函数奇偶性的判断
【典例分析】
例1-1.（2021·全国·统考高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
例1-2.（2023·北京·北京八十中校考模拟预测）下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】判断函数的奇偶性和单调性，再判断选项AC的奇偶性，排除AC，判断选项B的单调性，排除B，判断选项D的奇偶性和单调性确定结论.
【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，
由，所以函数为奇函数，
因为函数为上的增函数，函数为上的减函数，
所以函数为上的增函数，
对于A，设，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
因为，，
因为，所以函数不是奇函数，A错误；
对于B，设，则，
故函数不是其定义域上的增函数，B错误；
对于C，设，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
因为，所以函数为偶函数，C错误；
对于D，设，则的定义域为，定义域关于原点对称，
又，所以函数为奇函数，
又函数为上的增函数，D正确；
故选：D.
【知识拓展】
(1)奇、偶函数定义域的特点．
由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)奇、偶函数的对应关系的特点．
①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔eq \f(f－x,fx)＝－1(f(x)≠0)；
②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔eq \f(f－x,fx)＝1(f(x)≠0)．
(3)函数奇偶性的三个关注点．
①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；
②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；
③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．
【变式训练】
变式1-1.（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）函数的奇偶性为（ ）
A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数
【答案】C
【分析】求出的定义域不关于原点对称，即可判断为非奇非偶函数.
【详解】函数的定义域为，
则，
由于定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.
故选：C.
变式1-2.（2023·河北·模拟预测）已知函数，则下列函数为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对称性分析可得函数有且仅有一个对称中心，结合图象变换分析判断.
【详解】由题意可得：，
因为
，
若为定值，
则，解得，此时，
所以函数有且仅有一个对称中心.
对于选项A：有且仅有一个对称中心为，不合题意，故A错误；
对于选项B：有且仅有一个对称中心为，符合题意，故B正确；
对于选项C：有且仅有一个对称中心为，不合题意，故C错误；
对于选项D：有且仅有一个对称中心为，不合题意，故D错误；
故选：B.
题型二：由函数的奇偶性求解析式（函数值）
例2-1.（2019·全国高考真题（文））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，
则当x