浙江省绍兴市2022-2023学年高一下学期6月期末数学试题(学生版+解析)

这是一份浙江省绍兴市2022-2023学年高一下学期6月期末数学试题(学生版+解析)，共29页。试卷主要包含了 已知向量，，则， 下列等式成立的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上.本卷答案必须做在答卷相应位置上.
2.全卷满分100分，考试时间120分钟.
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知复数在复平面内对应的点是，则( )
A. B. C. D.
2. 某组数据、、、、、、、、、的第百分位数为( )
A. B. C. D.
3. 已知向量，，则( )
A. B. C. D.
4. 已知m，n是两条直线，，是两个平面，下列命题正确的是( )
A 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
5. 抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件： “正面向上的硬币数为i”，其中i=0，1，2，3，B=“恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是( )
A. 与B相互独立B. 与B对立
C. D.
6. 轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧的中点，则异面直线PB与AC所成角的大小为( )

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
7. 已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列为定值的量是( )

A. B. C. D.
8. 在长方体中，底面ABCD是边长为4的正方形，P是棱上的一个动点，若，，则三棱锥外接球的表面积是( )
A. 144πB. 36πC. 9πD. 6π
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分)
9. 下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
10. 5月21日，2023世界珍珠发展论坛在浙江诸暨举办，大会见证了诸暨珍珠开拓创新、追求卓越坚实步伐.据统计，今年以来，诸暨珍珠线上线下销售总额达250亿元，已超去年全年的60%，真正实现了“生于乡间小湖，远销五洲四海”.某珍珠商户销售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度营收实现翻番，现统计这四款商品的营收占比，得到如下饼图.同比第一季度，下列说法正确的是( )

A. 今年商品A的营收是去年的4倍
B. 今年商品B的营收是去年的2倍
C. 今年商品C的营收比去年减少
D. 今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变
11. 如图，在边长为的正方形中，为的中点，将沿折起，使点到达点的位置，且二面角为.若、分别为、的中点，则( )

A B. 平面
C. 平面平面D. 点到平面的距离为
12. 在中，D为BC的中点，点E满足.若，则( )
A B.
C. D.
三、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
13. 函数的最小正周期是_____________.
14. 某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离.已知甲在某处静止不动，乙在点A时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A点走到点B，当乙在点B时，显示与甲之间的距离为600米，若A，B两点间的距离为500米，则乙从点A走到点B的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为_____________米.
15. 已知一组样本数据，，，，的方差为5，且满足，则样本数据的方差为____________.
16. 直三棱柱中，，，、分别为线段、的动点，则周长的最小值是____________.
四、解答题(本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 记、、为平面单位向量，且.
(1)求；
(2)若，求.
18. 在正方体中，棱长为3，是上底面的一个动点.

(1)求三棱锥体积；
(2)当是上底面的中心时，求与平面ABCD所成角的余弦值.
19. 为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，，，点E为BC上一点，且，过点D作于点F，设，.

(1)利用图中边长关系，证明：；
(2)若，求.
20. 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图.

(1)求的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值，众数，中位数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1)
(2)乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率.
21. 如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，.

(1)已知，且
(i)当时，求的面积；
(ii)若，求.
(2)已知，且，求AC的最大值.
22. 如图，在正三棱台中，，D，E分别为，的中点.

(1)证明：平面；
(2)设P，Q分别为棱AB，BC上的点，且，D，P，Q均在平面上，若与的面积比为3:8，
(i)证明：
(ii)求与平面所成角的正弦值.
2022学年第二学期高中期末调测
高一数学
注意事项：
1.请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上.本卷答案必须做在答卷相应位置上.
2.全卷满分100分，考试时间120分钟.
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知复数在复平面内对应的点是，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的几何意义表示出，再根据复数代数形式的除法运算法则计算即可.
【详解】复数在复平面内对应的点为，则，
所以.
故选：B．
2. 某组数据、、、、、、、、、的第百分位数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用百分位数的定义可求得该组数据的第百分位数.
【详解】数据、、、、、、、、、共个数，
因为，因此，该组数据的第百分位数为.
故选：C.
3. 已知向量，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算判断AB；利用共线向量的坐标表示判断C；利用垂直关系的坐标表示判断D作答.
【详解】向量，，
对于A，，，A错误；
对于B，，，B错误；
对于C，由于，即与不共线，C错误；
对于D，，因此，D正确.
故选：D
4. 已知m，n是两条直线，，是两个平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间中线线、线面、面面位置关系逐一判断各个选项作答.
【详解】对于A，由知，存在过的平面与平面相交，当为交线时，满足，而，A错误；
对于B，当与相交时，令交线为，若，则满足，B错误；
对于C，，在平面内存在直线垂直于，为此直线时，满足，而，C错误；
对于D，因为，则存在过的平面与平面相交，令交线为，有，又，
因此，而，所以.
故选：D
5. 抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件： “正面向上的硬币数为i”，其中i=0，1，2，3，B=“恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是( )
A. 与B相互独立B. 与B对立
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】列出所有基本事件，计算出对应概率，再根据独立事件和对立事件，即可逐一验证.
【详解】解：总的可能有:
(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正反),(反,反,正),(反,反,反),
故, ,,,而， ,故选项A错误;
,故选项B错误;
,故选项C错误;
{(正,反,反),(反,正反),(反,反,正)}, {(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)},
{(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正反),(反,反,正)},
所以，故选项D正确;
故选:D.
6. 轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧的中点，则异面直线PB与AC所成角的大小为( )

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用几何法求出异面直线PB与AC所成角的大小作答.
【详解】在直角圆锥中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧的中点，，
则，过点作交底面圆于点，连接，如图，

则是异面直线PB与AC所成角或其补角，显然，即是正三角形，
所以，即异面直线PB与AC所成角的大小为.
故选：C
7. 已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列为定值的量是( )

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求函数的周期，估计的范围，再求函数的零点，由此确定，结合条件化简可得结论.
【详解】函数，的周期为，
由图象可得，
令，可得，，
所以，即，
又，
所以，，，
又，所以，
所以，
故选：A.
8. 在长方体中，底面ABCD是边长为4的正方形，P是棱上的一个动点，若，，则三棱锥外接球的表面积是( )
A. 144πB. 36πC. 9πD. 6π
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，确定点P的位置，求出的外接圆半径，再求出球心到平面的距离，求出球半径作答.
【详解】令长方体的高为，，于是，解得，

在中，，则外接圆半径，
显然平面，因此三棱锥外接球的球心在线段的中垂面上，
球心到平面的距离为，则球半径，
所以三棱锥外接球的表面积.
故选：B
【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分)
9. 下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A,逆用二倍角余弦公式，即可求解，对于B,利用辅助角公式，即可求解，对于C, 逆用二倍角正弦公式，即可求解，对于D, 逆用正切的和差公式即可求解.
【详解】解:对于A, ,故A错误,
对于B, ，故B正确，
对于C, ，故C正确，
对于D, ，故D正确,
故选：BCD.
10. 5月21日，2023世界珍珠发展论坛在浙江诸暨举办，大会见证了诸暨珍珠开拓创新、追求卓越的坚实步伐.据统计，今年以来，诸暨珍珠线上线下销售总额达250亿元，已超去年全年的60%，真正实现了“生于乡间小湖，远销五洲四海”.某珍珠商户销售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度营收实现翻番，现统计这四款商品的营收占比，得到如下饼图.同比第一季度，下列说法正确的是( )

A. 今年商品A的营收是去年的4倍
B. 今年商品B的营收是去年的2倍
C. 今年商品C的营收比去年减少
D. 今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变
【答案】ABD
【解析】
【分析】由条件，根据扇形图分别计算四款珍珠商品的营收，由此确定正确选项.
【详解】设去年第一季度营收为亿元，则今年第一季度营收为亿元，
由扇形图可得
款珍珠商品去年第一季度营收为亿元，则今年第一季度营收为亿元，A正确；
款珍珠商品去年第一季度营收为亿元，则今年第一季度营收为亿元，B正确；
款珍珠商品去年第一季度营收为亿元，则今年第一季度营收为亿元，C错误；
因为商品B，D今年第一季度营收的总和占总营收的比例为，
商品B，D去年第一季度营收的总和占总营收的比例为，
所以今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变，D正确；
故选：ABD.
11. 如图，在边长为的正方形中，为的中点，将沿折起，使点到达点的位置，且二面角为.若、分别为、的中点，则( )

A. B. 平面
C. 平面平面D. 点到平面的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】连接交于点，连接，取的中点，连接、，推导出平面，利用线面垂直的性质可判断A选项；证明出平面平面，利用面面平行的性质可判断B选项；利用反证法可判断C选项；利用等体积法计算出点到平面的距离，可判断D选项.
【详解】连接交于点，连接，取的中点，连接、，

对于A选项，在正方形中，因为，，，
所以，，则，
所以，，则，即，
翻折后，则有，，
又因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，A对；
对于B选项，因为、分别为、的中点，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，
因为，，则四边形为梯形，
又因为、分别为、的中点，所以，，
因为平面，平面，则平面，
因为，、平面，则平面平面，
因为平面，故平面，B对；
对于C选项，因，且，，，
所以，，所以，，
则，
在中，，
所以，，
因为平面平面，平面平面，，
平面，所以，平面，
因为平面，所以，，
所以，，且，
翻折前，，翻折后，，
若平面平面，且平面平面，平面，
所以，平面，
因为平面，则，
事实上，，，，则，
即、不垂直，假设不成立，故平面与平面不垂直，C错；
对于D选项，因为，且平面，
所以，，
在中，，，
由余弦定理可得，
所以，，
所以，，
设点到平面的距离为，由，即，
所以，，D对.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下：
(1)等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离；
(2)空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为.
12. 在中，D为BC的中点，点E满足.若，则( )
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式推理判断A；利用向量线性运算计算判断B；作辅助线结合三角形中位线性质判断D；反证法推理判断C作答.
【详解】在中，D为BC的中点，，，如图，

对于A，，有，A正确；
对于B，，B正确；
对于D，过作交的延长线于，由D为BC的中点，得是的中位线，
则，于是，D正确；
对于C，由选项D知，，假定，则，，
，与矛盾，因此，C错误.
故选：ABD
【点睛】结论点睛：在中，平分交于，则有；若平分的外角交直线于，则有.
三、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
13. 函数的最小正周期是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦型函数的周期公式计算作答.
【详解】函数的最小正周期.
故答案为：
14. 某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离.已知甲在某处静止不动，乙在点A时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A点走到点B，当乙在点B时，显示与甲之间的距离为600米，若A，B两点间的距离为500米，则乙从点A走到点B的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为_____________米.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，进而求出作答.
【详解】令甲的位置为点，如图，在中，，

由余弦定理得，，
过作于，所以所求距离的最小值为(米).
故答案为：
15. 已知一组样本数据，，，，的方差为5，且满足，则样本数据的方差为____________.
【答案】9
【解析】
【分析】由条件可求原数据的平均数和方差的表达式，再求新数据的平均数和方差可得结论.
【详解】因为，
所以数据，，，，的平均数为，
方差，
由已知，
数据的平均数，
方差
.
故答案为：.
16. 直三棱柱中，，，、分别为线段、的动点，则周长的最小值是____________.
【答案】##
【解析】
【分析】将面、面沿着延展为一个平面，将面、面沿着延展为一个平面，连接，则线段的长即为周长的最小值，利用余弦定理求出线段的长，即为所求.
【详解】如下图所示：

将面、面沿着延展为一个平面，
将面、面沿着延展一个平面，连接,
此时，线段的长即为周长的最小值，
则，，
由于，，，则，
延展后，则四边形为矩形，
因为，，则为等腰直角三角形，所以，，
延展后，则，
由余弦定理可得.
故答案为：.
四、解答题(本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 记、、为平面单位向量，且.
(1)求；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，结合平面向量夹角的取值范围可得出的值；
(2)由平面向量数量积的运算性质可得出的值.
【小问1详解】
解：由已知，且，
所以，，则，
所以，，
因为，所以，.
【小问2详解】
解：由已知可得，且，
所以，.
18. 在正方体中，棱长为3，是上底面的一个动点.

(1)求三棱锥的体积；
(2)当是上底面的中心时，求与平面ABCD所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用等体积，即可求解.
(2)根据直线与平面夹角的定义，找到线面角，即可求解.
【小问1详解】
如图所示，根据题意得：
.
【小问2详解】
如图所示,过点做平面ABCD的垂线，垂足为G，易知G为AC中点，
故为与平面ABCD所成线面角，
又,
所以与平面ABCD所成角的余弦值为：.

19. 为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，，，点E为BC上一点，且，过点D作于点F，设，.

(1)利用图中边长关系，证明：；
(2)若，求.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】(1)根据给定条件，利用直角三角形的边角关系推理作答.
(2)利用(1)的信息结合已知，证得，再借助二倍角公式及同角公式计算作答.
【小问1详解】
在中，，，，则，
在中，，，，则，
在中，，，
则，
依题意，四边形是矩形，则，
所以.
【小问2详解】
由及(1)知，，则，而为锐角，即有，
，又是锐角，于是，
所以.
20. 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图.

(1)求的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值，众数，中位数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1)
(2)乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率.
【答案】(1)，，众数为70，中位数为.
(2)
【解析】
【分析】(1)由频率和为1列方程可求出的值，根据平均数的定义可求出，由众数的定义可求得众数，先判断中位数的位置，再列方程求解即可；
(2)利用列举法结合古典概型的概率计算公式求解即可.
小问1详解】
由频率分布直方图可知，解得，
，
众数为70，
因为前2组的频率和为，前3组的频率和为，
所以中位数在第3组，设中位数为，则
，解得，
所以中位数为.
【小问2详解】
记3名男生分别为，记2名女生分别为，则所有抽签的情况有：
未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；
未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；
未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；
未中签，中签，共有10种情况，
其中中签者中男生比女生多的有：未中签，中签；未中签，中签；
未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；
未中签，中签；未中签，中签，共7种，
所以中签者中男生比女生多的概率为.
21. 如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，.

(1)已知，且
(i)当时，求的面积；
(ii)若，求.
(2)已知，且，求AC的最大值.
【答案】(1)(i)；(ii)；
(2).
【解析】
【分析】(1)(i)利用余弦定理结合已知求出，再借助等腰三角形性质求出面积；(ii)利用等腰三角形性质结合二倍角公式求解作答.
(2)连接，由已知结合余弦定理可得，，再利用余弦定理、二倍角公式、辅助角公式求解作答.
【小问1详解】
(i)设，在中，由余弦定理得，解得，
在中，，则底边上的高，
所以的面积.
(ii)设，依题意，，
则，，即，而，
所以.
【小问2详解】
连接，中，，，

由余弦定理得，
则，，设，在中，，
于是，在中，，
由余弦定理得：，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，，
所以AC的最大值是.
【点睛】思路点睛：求三角形中线段长最值问题，主要方法有两种，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
22. 如图，在正三棱台中，，D，E分别为，的中点.

(1)证明：平面；
(2)设P，Q分别为棱AB，BC上的点，且，D，P，Q均在平面上，若与的面积比为3:8，
(i)证明：
(ii)求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)(i)证明见解析；(ii)
【解析】
【分析】(1)延长交于点S，连接SE并延长，分别交BC,于点F、G，连接AG，先证平面SBC，再根据DE//AG，即可求证.
(2)(i)根据面积之比，得到Q为BC的中点，即可求解.
(ii)根据面面角定义，结合等体积法求点面距，最后求出面面角的正弦值.
【小问1详解】
由棱台的性质知：延长交于点S，又，
所以三棱锥为正四面体，为的中点，
连接SE并延长，分别交BC,于点F、G，则F为中点，且为△的中线，

所以G为等边的中心，连接AG，则平面SBC，又D为的中点，
综上，，，且，，
所以，即；，即，
故，所以DE//AG，所以DE⊥平面SBC.
【小问2详解】

(i)延长交于点H，若均平面上，则共线，
设，则，
过A作AM / / BC交PQ于点M，，则，
设BQ = k，则，故且则，
又所以，
所以，即，所以，故Q为BC的中点，
所以，即
(ii)由(i)知：即为面，连接，易知，且，
由面，面，故面，
综上，，
连接交DP于点N，易知，且，
所以，故，所以，
又为与平面的交线，，面，
设平面与平面所成角为，所以，
故平面与平面所成角的正弦值为.