山东省淄博市2022-2023学年高一下学期期末数学试题(学生版+解析)

这是一份山东省淄博市2022-2023学年高一下学期期末数学试题(学生版+解析)，共27页。试卷主要包含了 已知，，点是坐标原点，记，则等内容，欢迎下载使用。

数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，对应的点位于( )．
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 若，，，则( )
A. B. 2C. D.
3. 设，表示不同的直线，，，表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是( )
①若，，则 ②若，，则
③若，，，则 ④若，，则
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 已知向量，，则在上的投影向量的模为( )
A. 2B. C. 1D.
5. 已知，，点是坐标原点，记，则( )
A. B. C. D.
6. 已知函数的部分图像如图所示，将函数图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的值为( )

A. 1B. C. D.
7. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别是、中点，点是线段上的动点，则三棱锥的体积是( )

A. B. C. D. 与点P的位置有关
8. 在中，内角所对的边分别为，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句．为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 可以估计，该地区年夜饭消费金额在家庭数量超过总数三分之一
B. 若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个
C. 可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元
D. 可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元
10. 设，若，且的最小正周期大于，则下列结论正确的是( )
A 当时，取最大值
B. 最小正周期为
C. 是偶函数
D. 在上单调递增
11. 已知向量，的夹角为，，向量，且，则向量，夹角的余弦值可以为( )
A. B. C. D.
12. 如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则( )
A. 当时，EP//平面B. 当时，取得最小值，其值
C. 的最小值为D. 当平面CEP时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某个品牌牛奶重景(单位：g)的样本数据如下：110.2、109.7、110.8、109.1、108.9、108.6、109.8、109.6、109.9、111.2、110.6、111.7，则这组数据的第80百分位数为______.
14. 在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为______.
15. 已知四棱锥的底面是矩形，侧面为等边三角形，平面平面，其中，，则四棱锥的外接球表面积为______.
16. 圆：上有两定点，及两动点C，D，且，则的最大值是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知向量，.
(1)若向量与互相垂直，求的值：
(2)设，求的最小值.
18. 已知，.
(1)若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求函数的解析式；
(2)若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值.
19. 如图所示，在三棱柱中，点D，E，F，G分别为棱，，，上的点，且，，，，四边形为矩形，平面平面，.

(1)证明：平面；
(2)证明；平面.
20. 后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数.国家先后出台了多项减税增效政策.某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得2000位在职员工的个人所得税(单位：百元)数据，按，，，，，，，，分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：

(1)求直方图中的值；
(2)根据频率分布直方图估计该市的职工年个人所得税不超过(百元)，求的最小值：
(3)已知该地区有70万在职员工，规定：每位在职员工年个人所得税不超过5000元的正常收取，若超过5000元，则超出的部分退税，请估计该地区退税总数约为多少?
21. 如图，在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，.

(1)求三棱锥的体积；
(2)若是侧棱的中点，求二面角的余弦值.
22. 如图，平面四边形中，，，，的内角，，的对边分别是，，，且满足.

(1)判断四边形是否有外接圆?若有，求其半径；若无，说明理由，
(2)求内切圆半径的取值范围.
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数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，对应的点位于( )．
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
2. 若，，，则( )
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数量积的坐标表示计算即可.
【详解】，
故选：A.
3. 设，表示不同的直线，，，表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是( )
①若，，则 ②若，，则
③若，，，则 ④若，，则
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面的位置关系判断①②④；根据线面平行的判定和性质判断③.
【详解】若，，则，故①正确；
若，，则可能相交，故②错误；
若，，，
过直线m做平面γ且α∩γ＝s(s异于l)，作平面φ且β∩φ＝t(t异于l)，
因m∥α，故m∥s，同理m∥t，故s∥t，
因sβ，tβ中，从而s∥β，
因sα，α∩β＝l，故s∥l，所以l∥m，故③正确；
若，，则可能异面，故④错误
故选：B.
4. 已知向量，，则在上的投影向量的模为( )
A. 2B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用投影向量的定义求出该向量，再求出模作答.
【详解】向量，，则是单位向量，且，
因此在上的投影向量为，其模为1.
故选：C
5. 已知，，点是坐标原点，记，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量夹角公式求解．
【详解】∵,
∴．
故选：B．
6. 已知函数的部分图像如图所示，将函数图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的值为( )

A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的图象，求出函数的解析式，进而求出的解析式作答.
【详解】观察图象知，，函数的周期，则，
又，于是，而，则，
因此，，
所以.
故选：C
7. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别是、中点，点是线段上的动点，则三棱锥的体积是( )

A. B. C. D. 与点P的位置有关
【答案】A
【解析】
分析】根据给定条件，证得平面，再利用等体积法求解作答.
【详解】在正方体中，，分别是、中点，则，
而平面，平面，于是平面，又点是线段上的动点，
因此点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以三棱锥的体积.
故选：A
8. 在中，内角所对的边分别为，则的最大值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的内角和结合诱导公式、两角和的余弦公式、商数关系式可得，再根据余弦定理与角度转化可得，由基本不等式即可得最大值.
【详解】在中，
因为，所以，则，
所以，且均为锐角，故，
由余弦定理得，所以，
又，当且仅当时等号成立，
所以的最大值是.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句．为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 可以估计，该地区年夜饭消费金额在家庭数量超过总数的三分之一
B. 若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个
C. 可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元
D. 可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用频率，频数，平均数，中位数的定义进行判断即可.
【详解】由题意得，年夜饭消费金额在的频率为，故A正确；
若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭超过2400元的家庭个数为，故B正确；
平均数为(元)，故C错误；
中位数为(元)，故D正确．
故选：ABD．
10. 设，若，且的最小正周期大于，则下列结论正确的是( )
A. 当时，取最大值
B. 的最小正周期为
C. 是偶函数
D. 在上单调递增
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定信息求出函数的解析式，再逐项分析判断作答.
【详解】由，得，则，
即是函数的周期，而的最小正周期大于，因此的最小正周期为，B正确；
于是，，由，得函数的图象关于对称，
从而，而，则，有，
由，得当时，取最小值，A错误；
函数是偶函数，C正确；
当时，，余弦函数在上单调递减，
因此函数在上单调递减，D错误.
故选：BC
11. 已知向量，的夹角为，，向量，且，则向量，夹角的余弦值可以为( )
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据给定条件，求出，再求出的函数关系，并求出其取值范围作答.
【详解】依题意，，，则，
，
，则，
因此，
由得，则，有，因此，
而，选项AB正确，CD错误.
故选：AB
12. 如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则( )
A. 当时，EP//平面B. 当时，取得最小值，其值为
C. 的最小值为D. 当平面CEP时，
【答案】BC
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用两点间距离公式计算判断BC；确定直线与平面CEP交点的位置判断D作答.
【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，则点，
对于A，，，，而，
显然，即是平面的一个法向量，
而，因此不平行于平面，即直线与平面不平行，A错误；
对于B，，则，
因此当时，取得最小值，B正确；
对于C，，
于是，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，取的中点，连接，如图，
因为E为边AD的中点，则，当平面CEP时，平面，
连接，连接，连接，显然平面平面，
因此，平面，平面，则平面，
即有，而，所以，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某个品牌的牛奶重景(单位：g)的样本数据如下：110.2、109.7、110.8、109.1、108.9、108.6、109.8、109.6、109.9、111.2、110.6、111.7，则这组数据的第80百分位数为______.
【答案】110.8
【解析】
【分析】把给定的样本数据由小到大排列，利用第p百分位数的定义求解作答.
【详解】样本数据由小到大排列为，108.6、108.9、109.1、109.6、109.7、109.8、109.9、110.2、110.6、110.8、111.2、111.7，
由，得这组数据的第80百分位数为110.8.
故答案为：110.8
14. 在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定条件，求出正四棱台的高，再利用棱台的体积公式计算作答.
【详解】正四棱台的对角面是等腰梯形，其高为该正四棱台的高，

在等腰梯形中，，而，则该梯形的高，
所以该棱台的体积.
故答案为：
15. 已知四棱锥的底面是矩形，侧面为等边三角形，平面平面，其中，，则四棱锥的外接球表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】设外接圆的圆心为，外接球球心为，先分别求得外接圆的半径与，再利用勾股定理求得外接球的半径，从而得解．
【详解】记AD的中点为，连接，连接EF，
设外接圆的圆心为，半径为，所求外接球球心为，半径为，连接，如图，

因为为等边三角形，，所以圆的半径，
因为为等边三角形，是AD的中点，所以，
因为平面平面ABCD，平面平面平面PAD，
所以平面ABCD，
因为底面ABCD是矩形，所以是底面ABCD外接圆的圆心，
故平面ABCD，所以，
同理，所以四边形是矩形，
所以，
所以球的半径，
所以外接球的表面积为．
故答案为：．
16. 圆：上有两定点，及两动点C，D，且，则的最大值是______.
【答案】##
【解析】
【分析】由已知求出的夹角，设射线与x轴正方向所成的角，利用三角函数定义表示出点的坐标，再利用数量积的坐标表示建立函数关系并求出最大值作答.
【详解】因为点在圆：上，则，，
而，则有，令射线与x轴正方向所成的角为，
由点的对称性，不妨令射线与x轴正方向所成的角为，

由三角函数定义知，
则，
于是，
同理，因此
，而，
则当，即时，，
所以的最大值是.
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及定圆上的动点，可以设出经过该点射线为终边的角，利用三角函数定义表示出该点坐标求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知向量，.
(1)若向量与互相垂直，求的值：
(2)设，求的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】(1)利用垂直关系的向量表示，结合数量积的运算律求解作答.
(2)利用向量线性运算的坐标表示，结合模的坐标表示建立函数关系，求出函数最小值作答.
【小问1详解】
因为向量，，则，，
由向量 与 垂直，得，
所以
【小问2详解】
由，，得，
所以，
所以当时,取到最小值
18. 已知，.
(1)若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求函数的解析式；
(2)若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用三角恒等变换将函数化简，依题意，即可求出，从而得到函数解析式；
(2)由对称性得到，再由函数在区间上的单调性求出的范围，即可得解.
【小问1详解】
因为，
因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以，则，
所以，解得，
故函数．
【小问2详解】
由，函数的图象关于对称，
所以，所以，
由，则，
又函数在上单调，所以，解得，
所以当时．
19. 如图所示，在三棱柱中，点D，E，F，G分别为棱，，，上的点，且，，，，四边形为矩形，平面平面，.

(1)证明：平面；
(2)证明；平面.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)取的中点，利用平行公理及平行四边形性质，证明线面平行，进而证明面面平行，再利用面面平行的性质推理作答.
(2)利用面面垂直的性质、线面垂直的判定推理作答.
【小问1详解】
在三棱柱中，连接，取的中点，连接，如图，

因为，则，，
于是四边形是平行四边形，即有，
又平面，平面，则平面，
显然点为的中点，而点为的中点，则，
由，得，又，即有且，
于是四边形为平行四边形，则，
而平面平面，则平面，
又，平面，因此平面平面，而平面，
所以平面.
【小问2详解】
由四边形为矩形，得，因为平面平面，
平面平面，平面，因此平面，
而平面，则，又， ，于是，
因平面，平面，
所以平面.
20. 后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数.国家先后出台了多项减税增效政策.某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得2000位在职员工的个人所得税(单位：百元)数据，按，，，，，，，，分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：

(1)求直方图中的值；
(2)根据频率分布直方图估计该市的职工年个人所得税不超过(百元)，求的最小值：
(3)已知该地区有70万在职员工，规定：每位在职员工年个人所得税不超过5000元的正常收取，若超过5000元，则超出的部分退税，请估计该地区退税总数约为多少?
【答案】(1)
(2)的最小值是48.8
(3)13800000元
【解析】
【分析】(1)根据频率和为1计算得到答案；
(2)根据前5组的频率之和与前4组的频率之和得到，根据比例关系解得答案；
(3)在职员工年个人所得税在各区间分别超出正常收取5000元所得税500元，1500元，2500元，3500元，计算可得到答案.
【小问1详解】
由频率分布直方图，得
解得；
【小问2详解】
由频率分布直方图知，
前5组的频率之和为：；
前4组频率之和为：，
故，
当时，的最小值是48.8；
【小问3详解】
由题可知，区间内的年个人所得税分别取5500元，6500元，7500元，8500元为代表，
则在职员工的年个人所得税分别超出正常收取5000元所得税500元，1500元，2500元，3500元．
于是，元，
所以估计该地区退税总数约为13800000元(1380万元)．
21. 如图，在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，.

(1)求三棱锥的体积；
(2)若是侧棱的中点，求二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)可证得平面ABCD，所以四棱柱是正四棱柱，利用棱锥的体积公式求解可得答案；
(2)取PC的中点，所以，又，所以为二面角的平面角，在直角中求解即可.
【小问1详解】
在正方形ABCD中，，又，且公用，
所以，所以，即
因为平面ABCD，所以平面ABCD．
所以四棱柱是正四棱柱．
所以.
【小问2详解】
是侧棱的中点，由(1)知，在直角中，，
在直角中，，在正方形ABCD中，，
所以为正三角形．
取PC的中点，连接AH，BH，
所以，且，
又在等腰直角中，，且，
所以为二面角的平面角，
在中，，
在直角中，，
即二面角的余弦值为．

22. 如图，平面四边形中，，，，的内角，，的对边分别是，，，且满足.

(1)判断四边形是否有外接圆?若有，求其半径；若无，说明理由，
(2)求内切圆半径的取值范围.
【答案】(1)有，；
(2).
【解析】
【分析】(1)利用数量积的定义及三角形面积公式求出角D，再由正余弦定理求出角B，结合圆内接四边形的判定作答.
(2)利用三角形面积建立三角形内切圆半径的函数，再求出函数值域作答.
【小问1详解】
在中，，则，
由，得，于是，而，因此，
在中, ，解得，
在中，由正弦定理，得 ，整理得，
由余弦定理，得，又，因此，有，
于是四点共圆，且四边形外接圆的半径就等于外接圆的半径，
所以四边形有外接圆，圆半径.
【小问2详解】
由(1)知：，则，即有，
由，得，
又，由，故不是正三角形,又，则，
于是，又，解得，，
则，
所以内切圆半径的取值范围是.
【点睛】结论点睛：的三边分别为a，b，c，内切圆半径，则.