人教版七年级数学下册同步练习第02讲垂直(4个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固)(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步练习第02讲垂直(4个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固)(原卷版+解析)，共34页。


知识点01 垂直的定义
垂直的定义：
两条直线相交形成的四个角中，有一个角是 时，就说这两条直线 ，其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 。若直线a与直线b垂直，表示为 。
由邻补角与对顶角的性质可知，若相交线形成的角中有一个角是直角，则四个角均是 。
【即学即练1】
1．（2023•封丘县二模）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥OD，若∠AOD＝4∠AOC，则∠AOE的度数为（ ）
A．48°B．54°C．64°D．72°
知识点02 垂线的画法
利用三角板过已知点作直线的垂线的具体步骤：
三直角三角板的一半与已知直线 。
沿已知直线平移直角三角形边，使另一边经过 。
沿与已知直线不重合的边画 ，这条直线即为已知直线的垂线。
【即学即练1】
2．（2023春•梁平区期末）下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
知识点03 垂线的性质
性质1：
在同一平面内，过一点作已知直线的垂线， 条直线与已知直线垂直。
有且只有：存在且唯一。
性质2：
过 一点作已知直线的 ，点到 之间的部分叫做垂线段。直线外一点连接直线上所有点的连线中， 最短。
注意：若不是直线外一点，则不存在垂线段。
【即学即练1】
3．（2023春•裕华区期中）如图，在直线l外任取一点Q，过点Q画直线l的垂线，可画出的垂线有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【即学即练2】
4．（2023春•博罗县期末）春节过后，某村计划挖一条水渠将不远处的河水引到农田（记作点O），以便对农田的小麦进行灌溉，现设计了四条路段OA，OB，OC，OD，如图所示，其中最短的一条路线是（ ）
A．OAB．OBC．OCD．OD
知识点04 点到直线的距离
点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的 是直线外一点到该直线的距离。
【即学即练1】
5．（2023春•宝坻区校级月考）P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线m的距离（ ）
A．等于5cmB．等于4cmC．小于4cmD．不大于4cm
题型01 与垂直有关的计算
【典例1】（2022秋•新都区期末）如图，OC⊥AB，垂足为O，直线DE经过点O，∠COD＝50°，则∠BOE＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【变式1】（2023春•呼和浩特期末）如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．∠DOG的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【变式2】（2023春•自贡期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠EOB＝50°，求∠AOD和∠AOC的度数．
【变式3】（2023秋•南岗区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠AOF，EO⊥OD，∠EOA＝55°，求∠BOF的度数．
题型02 垂线段最短的应用
【典例1】（2023春•栖霞市期末）如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【变式1】（2023春•东明县期中）如图，小李计划把河中的水引到水池C进行蓄水，结果发现沿线段CD挖渠，能使水渠最短，其中蕴含的数学原理是（ ）
A．过两点有且仅有一条直线
B．经过一点有无数条直线
C．垂线段最短
D．两点之间，线段最短
【变式2】（2023•青秀区校级模拟）如图，有三个快递员都从位于点P的快递站取到快递后，同时以相同的速度把取到的快递分别送到位于笔直公路l旁的三个快递点A、B、C、结果送到B快递点的快递员先到．理由是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过一点有无数条直线
【变式3】（2022秋•榆树市期末）如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路AB、AC、AD可走，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点之间，直线最短
C．两点确定一条直线
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
题型03 点到直线的距离
【典例1】（2023秋•让胡路区校级期中）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，则点C到直线AB的距离是（ ）
A．线段AC的长度B．线段CB的长度
C．线段AD的长度D．线段CD的长度
【变式1】（2023春•新罗区期末）如图，AB⊥AC，AD⊥BC，那么点C到直线AD的距离是指（ ）
A．线段AC的长B．线段AD的长
C．线段DB的长D．线段CD的长
【变式2】（2023春•天元区校级期末）如图，笔直小路DE的一侧栽种有两棵小树BM，CN，小明测得AB＝4m，AC＝6m，则点A到DE的距离可能为（ ）
A．6mB．5mC．4mD．3m
【变式3】（2023春•澄迈县期末）已知P是直线l外一点，A是直线l上一点，若PA＝2cm，则点P到直线l的距离（ ）
A．小于2cmB．不大于2cmC．等于2cmD．大于2cm
1．（2023春•孟村县期末）已知，如图所示，AB⊥CD，垂足为O，EF为过O点的一条直线，则∠α与∠β的关系一定成立的是（ ）
A．相等B．互余
C．互补D．互为对顶角
2．（2023•游仙区开学）过点P作AB的垂线CD，下列选项中，三角板的放法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023•贵州模拟）如图，工程队准备将一段笔直的河道改弯，从而增加游览船的航程，让游客饱览山间风光．这其中体现的数学原理是（ ）
A．两点确定一条直线
B．经过一点有无数条直线
C．两点之间，线段最短
D．垂线段最短
4．（2023春•临沂期中）如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．已知直线的垂线只有一条
5．（2023秋•南岗区校级期中）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD），开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做的依据是（ ）
A．两点之间线段最短B．点到直线的距离
C．垂线段最短D．两点确定一条直线
6．（2023春•巴南区期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝125°，则∠BOD等于（ ）
A．55°B．45°C．35°D．25°
7．（2023春•泰来县校级期末）如图，直线BO⊥AO于点O，OB平分∠COD，∠AOC＝70°，则∠DOA的度数是（ ）
A．110°B．120°C．125°D．130°
8．（2023春•千山区期中）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC＝90°，则下列结论中正确的是（ ）
①线段BP的长度是点P到直线l的距离；②线段AP是A点到直线PC的距离；③在PA，PB，PC三条线段中，PB最短；④线段PC的长度是点P到直线l的距离
A．①②③B．③④C．①③D．①②③④
9．（2023春•殷都区期末）点O是直线l外一点，点A，B，C为直线l上三点，且OA＝2cm，OB＝5cm，OC＝3cm，则点O到直线l的距离（ ）
A．小于2cmB．等于2cmC．不大于2cmD．等于3cm
10．（2023春•渠县校级期末）如图，直线AB、CD相交于O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
11．（2023春•涵江区期中）如图：李明同学参加跳远比赛，要测量他的跳远成绩，只要测量PA的长度，其依据的数学原理是： .
12．（2023春•通道县期末）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，则点C到AB的距离为 ．
13．（2023春•滨州期末）如图，已知直线l上，点P为直线l外一点，点B为直线l上的动点，PB≥4cm，则点P到直线l的距离是 ．
14．（2023春•西宁期末）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数是 ．
15．（2023秋•让胡路区校级期中）已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，则∠MOE＝ ．
16．（2023春•馆陶县期中）如图，将一块直角三角板COD的直角顶点O放在直线AB上．
（1）若线段OC的长是点C到直线AB的距离，则点D在直线AB （填“上”或“外”）．
（2）比较CD与OD的大小，并说明理由．
17．（2023春•金安区校级期末）如图，直线AB与EF交于点O，已知OC和OD位于AB的两侧，且OC⊥OD，OF平分∠BOC，若∠BOD＝20°，求∠AOE的度数．
18．（2023春•青山区期中）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．
（1）直接写出∠AOC的对顶角和邻补角；
（2）若∠AOC：∠COE＝3：1，求∠AOD的度数．
18．（2023春•大足区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB．
（1）若∠BOF＝∠DOE，求证：OF⊥CD；
（2）在（1）的条件下，若∠BOC﹣∠AOF＝∠AOC，求∠COE的度数．
20．（2023•南岗区校级开学）如图1，O是直线AB上的一点，OC⊥OD，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOD＝35°，求∠BOE的度数；
（2）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置．
①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，并说明理由；
②在∠AOC的内部有一条射线OF，∠BOE内部有一条射线OM，且3∠AOD﹣∠AOF+2∠MOE＝13∠COE+∠AOF，试确定∠FOM与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由．

第02讲 垂直
知识点01 垂直的定义
垂直的定义：
两条直线相交形成的四个角中，有一个角是 直角 时，就说这两条直线 互相垂直 ，其中一条直线叫做另一条直线的 垂线 ，它们的交点叫做 垂足 。若直线a与直线b垂直，表示为 。
由邻补角与对顶角的性质可知，若相交线形成的角中有一个角是直角，则四个角均是 直角 。
【即学即练1】
1．（2023•封丘县二模）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥OD，若∠AOD＝4∠AOC，则∠AOE的度数为（ ）
A．48°B．54°C．64°D．72°
【分析】先根据对顶角相等可得∠AOD＝4∠BOD，再根据平角定义可得∠AOD+∠BOD＝180°，从而可得∠BOD＝36°，然后根据垂直定义可得∠EOD＝90°，从而利用平角定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵∠AOD＝4∠AOC，∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOD＝4∠BOD，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝×180°＝36°，
∵OE⊥OD，
∴∠EOD＝90°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠BOD＝54°，
故选：B．
知识点02 垂线的画法
利用三角板过已知点作直线的垂线的具体步骤：
三直角三角板的一半与已知直线 重合 。
沿已知直线平移直角三角形边，使另一边经过 已知点 。
沿与已知直线不重合的边画 直线 ，这条直线即为已知直线的垂线。
【即学即练1】
2．（2023春•梁平区期末）下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线做法及三角板的特征直接可得．
【解答】解：∵三角板有一个角是直角．
∴三角板的一条直角边与直线AB重合．
∵过点P作直线AB的垂线．
∴三角板的另一条直角边过点P．
∴符合上述条件的图形只有选项C．
故选：C．
知识点03 垂线的性质
性质1：
在同一平面内，过一点作已知直线的垂线， 有且只有1 条直线与已知直线垂直。
有且只有：存在且唯一。
性质2：
过 直线外 一点作已知直线的 垂线 ，点到 垂足 之间的部分叫做垂线段。直线外一点连接直线上所有点的连线中， 垂线段 最短。
注意：若不是直线外一点，则不存在垂线段。
【即学即练1】
3．（2023春•裕华区期中）如图，在直线l外任取一点Q，过点Q画直线l的垂线，可画出的垂线有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【分析】根据在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可选出答案．
【解答】解：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故选：B．
【即学即练2】
4．（2023春•博罗县期末）春节过后，某村计划挖一条水渠将不远处的河水引到农田（记作点O），以便对农田的小麦进行灌溉，现设计了四条路段OA，OB，OC，OD，如图所示，其中最短的一条路线是（ ）
A．OAB．OBC．OCD．OD
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案．
【解答】解：由垂线段最短，得
四条路段OA，OB，OC，OD，如图所示，其中最短的一条路线是OB，
故选：B．
知识点04 点到直线的距离
点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的 长度 是直线外一点到该直线的距离。
【即学即练1】
5．（2023春•宝坻区校级月考）P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线m的距离（ ）
A．等于5cmB．等于4cmC．小于4cmD．不大于4cm
【分析】根据垂线段最短和点到直线的距离的定义得出即可．
【解答】解：根据垂线段最短得出点P到直线m的距离是不大于4cm，
故选D．
题型01 与垂直有关的计算
【典例1】
（2022秋•新都区期末）如图，OC⊥AB，垂足为O，直线DE经过点O，∠COD＝50°，则∠BOE＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】利用对顶角相等的性质、垂线的定义计算．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∵∠COD＝50°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BOE＝∠AOD＝40°，
故选：B．
【变式1】
（2023春•呼和浩特期末）如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．∠DOG的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【分析】根据对顶角相等可得∠BOF＝∠AOE＝70°，由CD⊥EF可得∠DOF＝90°，再根据角平分线的性质求得∠GOF，进而根据∠DOG＝∠DOF﹣∠GOF计算即可．
【解答】解：∵三条直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOE＝70°，
∴∠BOF＝∠AOE＝70°，
∵CD⊥EF，
∴∠DOF＝90°，
∵OG平分∠BOF，
∴，
∴∠DOG＝∠DOF﹣∠GOF＝90°﹣35°＝55°，
故选：B．
【变式2】
（2023春•自贡期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠EOB＝50°，求∠AOD和∠AOC的度数．
【分析】根据EO⊥CD，求得∠BOD度数，然后由对顶角相等的性质，邻补角定义分别求∠AOC，∠AOD的度数．
【解答】解：∵EO⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∴∠BOD＝90°﹣∠EOB＝90°﹣50°＝40°，
∴∠AOC＝40°，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝180°﹣40°＝140°．
【变式3】
（2023秋•南岗区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠AOF，EO⊥OD，∠EOA＝55°，求∠BOF的度数．
【分析】由EO⊥OD，求出∠AOD，再由OD平分∠AOF，求出∠AOF，最后由∠BOF+∠AOF＝180°，即可求出∠BOF．
【解答】解：∵EO⊥OD，
∴∠EOD＝90°，
∵∠EOA＝55°，
∴∠AOD＝∠EOD﹣∠EOA＝90°﹣55°＝35°，
∵OD平分∠AOF，
∴∠AOF＝2∠AOD＝70°，
∵∠BOF+∠AOF＝180°，
∴∠BOF＝180°﹣∠AOF＝180°﹣70°＝110°．
题型02 垂线段最短的应用
【典例1】
（2023春•栖霞市期末）如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出分析和判断．
【解答】解：如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短．
故选：B．
【变式1】
（2023春•东明县期中）如图，小李计划把河中的水引到水池C进行蓄水，结果发现沿线段CD挖渠，能使水渠最短，其中蕴含的数学原理是（ ）
A．过两点有且仅有一条直线
B．经过一点有无数条直线
C．垂线段最短
D．两点之间，线段最短
【分析】由垂线段最短，即可得到答案．
【解答】解：沿线段CD挖渠，能使水渠最短，其中蕴含的数学原理是垂线段最短．
故选：C．
【变式2】
（2023•青秀区校级模拟）如图，有三个快递员都从位于点P的快递站取到快递后，同时以相同的速度把取到的快递分别送到位于笔直公路l旁的三个快递点A、B、C、结果送到B快递点的快递员先到．理由是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过一点有无数条直线
【分析】根据题意可直接进行求解．
【解答】解：由题意可知送到B快递点的快递员先到的理由是：垂线段最短；
故选：A．
【变式3】
（2022秋•榆树市期末）如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路AB、AC、AD可走，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点之间，直线最短
C．两点确定一条直线
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【分析】根据垂线段最短即可求解．
【解答】解：将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路可走AB、AC、AD，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是垂线段最短．
故选：D．
题型03 点到直线的距离
【典例1】
（2023秋•让胡路区校级期中）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，则点C到直线AB的距离是（ ）
A．线段AC的长度B．线段CB的长度
C．线段AD的长度D．线段CD的长度
【分析】根据点到直线的距离的概念：直线外一点到这条直线的垂线段的长度即为该点到这条直线的距离作答．
【解答】解：点C到AB的距离是线段CD的长度．
故选：D．
【变式1】
（2023春•新罗区期末）如图，AB⊥AC，AD⊥BC，那么点C到直线AD的距离是指（ ）
A．线段AC的长B．线段AD的长
C．线段DB的长D．线段CD的长
【分析】根据点到直线的距离是指垂线段的长度，根据AD⊥BC，得出点C到直线AD的距离为CD．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴点C到直线AD的距离是指CD的长度．
故选：D．
【变式2】
（2023春•天元区校级期末）如图，笔直小路DE的一侧栽种有两棵小树BM，CN，小明测得AB＝4m，AC＝6m，则点A到DE的距离可能为（ ）
A．6mB．5mC．4mD．3m
【分析】根据点到直线的距离的定义和垂线段最短即可得到结论．
【解答】解：根据垂线段最短得，点A到DE的距离＜AB，
故选：D．
【变式3】
（2023春•澄迈县期末）已知P是直线l外一点，A是直线l上一点，若PA＝2cm，则点P到直线l的距离（ ）
A．小于2cmB．不大于2cmC．等于2cmD．大于2cm
【分析】根据直线外一点到直线的距离即为垂线段的长度和垂线段最短的性质进行求解．
【解答】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离≤PA，
即点P到直线l的距离不大于2cm．
故选：B．
1．（2023春•孟村县期末）已知，如图所示，AB⊥CD，垂足为O，EF为过O点的一条直线，则∠α与∠β的关系一定成立的是（ ）
A．相等B．互余
C．互补D．互为对顶角
【分析】根据图形可看出，∠β的对顶角∠COE与∠α互余，那么∠α与∠β就互余．
【解答】解：图中，∠β＝∠COE（对顶角相等），
又∵AB⊥CD，
∴∠α+∠COE＝90°，
∴∠α+∠β＝90°，
∴两角互余．
故选：B．
2．（2023•游仙区开学）过点P作AB的垂线CD，下列选项中，三角板的放法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据垂线的定义，即可解答．
【解答】解：过点P作AB的垂线CD，下列选项中，三角板的放法正确的是
故选：C．
3．（2023•贵州模拟）如图，工程队准备将一段笔直的河道改弯，从而增加游览船的航程，让游客饱览山间风光．这其中体现的数学原理是（ ）
A．两点确定一条直线
B．经过一点有无数条直线
C．两点之间，线段最短
D．垂线段最短
【分析】由线段的性质：两点之间，线段最短，即可判断．
【解答】解：将一段笔直的河道改弯，从而增加游览船的航程，这其中体现的数学原理是：两点之间，线段最短．
故选：C．
4．（2023春•临沂期中）如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．已知直线的垂线只有一条
【分析】直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案．
【解答】解：在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故选：C．
5．（2023秋•南岗区校级期中）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD），开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做的依据是（ ）
A．两点之间线段最短B．点到直线的距离
C．垂线段最短D．两点确定一条直线
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．
【解答】解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD），开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做的依据是：垂线段最短，
故选：C．
6．（2023春•巴南区期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝125°，则∠BOD等于（ ）
A．55°B．45°C．35°D．25°
【分析】先根据平角的定义求出∠BOC的度数，再根据垂线的定义得出∠COD＝90°，从而求出∠BOD的度数．
【解答】解：∵∠AOC＝125°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣125°＝55°，
∵OC⊥OD．
∴∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣55°＝35°，
故选：C．
7．（2023春•泰来县校级期末）如图，直线BO⊥AO于点O，OB平分∠COD，∠AOC＝70°，则∠DOA的度数是（ ）
A．110°B．120°C．125°D．130°
【分析】根据垂直定义可得∠AOB＝90°，从而可得∠BOC＝20°，然后利用角平分线的定义可得∠DOB＝∠BOC＝20°，从而利用角的和差关系，进行计算即可解答．
【解答】解：∵BO⊥AO，
∴∠AOB＝90°，
∵∠AOC＝70°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝20°，
∵OB平分∠COD，
∴∠DOB＝∠BOC＝20°，
∴∠DOA＝∠DOB+∠AOB＝110°，
故选：A．
8．（2023春•千山区期中）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC＝90°，则下列结论中正确的是（ ）
①线段BP的长度是点P到直线l的距离；②线段AP是A点到直线PC的距离；③在PA，PB，PC三条线段中，PB最短；④线段PC的长度是点P到直线l的距离
A．①②③B．③④C．①③D．①②③④
【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，“从直线外一点到这条线段的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可得解．
【解答】解：∵PB⊥l于点B，
∴线段BP的长度是点P到直线l的距离，故①正确，④错误；
∵∠APC＝90°，
∴线段AP的长度是A点到直线PC的距离，故②错误；
根据垂线段最短，在PA，PB，PC三条线段中，PB最短，故③正确；
故选C．
9．（2023春•殷都区期末）点O是直线l外一点，点A，B，C为直线l上三点，且OA＝2cm，OB＝5cm，OC＝3cm，则点O到直线l的距离（ ）
A．小于2cmB．等于2cmC．不大于2cmD．等于3cm
【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答．
【解答】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离OA≤PC，
即点O到直线l的距离不大于2cm．
故选：C．
10．（2023春•渠县校级期末）如图，直线AB、CD相交于O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【分析】先利用角平分线的定义可得∠AOM＝∠COM＝35°，再根据垂直定义可得∠MON＝90°，然后利用角的和差关系，进行计算即可解答．
【解答】解：∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOM＝∠COM＝35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠CON＝∠MON﹣∠COM＝55°，
故选：C．
11．（2023春•涵江区期中）如图：李明同学参加跳远比赛，要测量他的跳远成绩，只要测量PA的长度，其依据的数学原理是： 垂线段最短 .
【分析】由垂线段最短，即可得到答案．
【解答】解：李明同学参加跳远比赛，要测量他的跳远成绩，只要测量PA的长度，其依据的数学原理是：垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
12．（2023春•通道县期末）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，则点C到AB的距离为 4.8 ．
【分析】设点C到AB的距离为h，再根据三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：设点C到AB的距离为h，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴10h＝6×8，
∴h＝＝4.8．
故答案为：4.8．
13．（2023春•滨州期末）如图，已知直线l上，点P为直线l外一点，点B为直线l上的动点，PB≥4cm，则点P到直线l的距离是 4cm ．
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可得到答案．
【解答】解：点B为直线l上的动点，PB≥4cm，则点P到直线l的距离是4cm．
故答案为：4cm．
14．（2023春•西宁期末）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数是 60°或120° ．
【分析】先根据题意可得OC分在AB同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据OC⊥OD与∠AOC＝30°，计算∠BOD的度数．
【解答】解：当OC、OD在直线AB同侧时，如图：
∵OC⊥OD，∠AOC＝30°；
∴∠BOD＝180°﹣∠COD﹣∠AOC＝180°﹣90°﹣30°＝60°；
当OC、OD在直线AB异侧时，如图：
∵OC⊥OD，∠AOC＝30°；
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣（∠DOC﹣∠AOC）＝180°﹣（90°﹣30°）＝120°．
故答案为：60°或120°．
15．（2023秋•让胡路区校级期中）已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，则∠MOE＝ 110°或70° ．
【分析】分两种情况进行讨论：OM在AC上方，或OM在AC下方，先依据已知条件求得∠BOE的度数，再根据∠MOB＝90°，即可得到∠MOE的度数．
【解答】解：分两种情况进行讨论：
①如图1所示，若OM在AC上方，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD＝∠BOD，
∵4∠BOE+∠BOC＝180°，∠AOB+∠BOC＝180°，
∴∠AOB＝4∠BOE，即∠AOE＝3∠BOE，
设∠BOE＝α，则∠AOE＝3α，∠BOD＝70°﹣α＝∠COD，
∵∠AOC为平角，
∴∠AOE+∠DOE+∠COD＝180°，
即3α+70°+70°﹣α＝180°，
解得α＝20°，
∴∠BOE＝20°，
又∵OM⊥OB，
∴∠MOB＝90°，
∴∠MOE＝∠BOE+∠MOB＝20°+90°＝110°；
②如图2所示，若OM在AC下方，
同理可得，∠BOE＝20°，
又∵OM⊥OB，
∴∠MOB＝90°，
∴∠MOE＝∠MOB﹣∠BOE＝90°﹣20°＝70°；
综上所述，∠MOE的度数为110°或70°．
故答案为：110°或70°．
16．（2023春•馆陶县期中）如图，将一块直角三角板COD的直角顶点O放在直线AB上．
（1）若线段OC的长是点C到直线AB的距离，则点D在直线AB 上 （填“上”或“外”）．
（2）比较CD与OD的大小，并说明理由．
【分析】（1）由线段OC的长是点C到直线AB的距离，可得OC⊥OB，结合CO⊥OD，从而可得答案；
（2）由垂线段最短可得答案．
【解答】解：（1）∵线段OC的长是点C到直线AB的距离，
∴OC⊥OB，
∵CO⊥OD，
∴OB，OD重合，
∴则点D在直线AB上．
（2）DC＞DO，理由如下：
∵OD⊥OC，
∴D与OC上各点的连线段中，垂线段OD最短．
∴DC＞DO．
17．（2023春•金安区校级期末）如图，直线AB与EF交于点O，已知OC和OD位于AB的两侧，且OC⊥OD，OF平分∠BOC，若∠BOD＝20°，求∠AOE的度数．
【分析】根据OC⊥OD，得∠COD＝90°，所以∠BOC＝70°，再根据OF平分∠BOC，得∠BOF＝∠BOC＝35°，根据对顶角的性质得∠AOE＝∠BOF＝35°．
【解答】解：∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∵∠BOD＝20°，
∴∠BOC＝70°，
∵OF平分∠BOC，
∴∠BOF＝∠BOC＝35°，
∴∠AOE＝∠BOF＝35°．
18．（2023春•青山区期中）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．
（1）直接写出∠AOC的对顶角和邻补角；
（2）若∠AOC：∠COE＝3：1，求∠AOD的度数．
【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义，即可解答；
（2）根据垂直定义可得∠AOE＝90°，从而求出∠AOC，利用邻补角进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∠AOC的对顶角是∠BOD，∠AOC的邻补角是∠BOC和∠AOD；
（2）∵EO⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC：∠COE＝3：1，
∴∠AOC＝∠AOE＝×90°＝67.5°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝112.5°．
18．（2023春•大足区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB．
（1）若∠BOF＝∠DOE，求证：OF⊥CD；
（2）在（1）的条件下，若∠BOC﹣∠AOF＝∠AOC，求∠COE的度数．
【分析】（1）根据OE⊥AB，得∠BOE＝90°，即∠DOE+∠BOD＝90°，再根据∠BOF＝∠DOE，所以∠BOF+∠BOD＝90°，即可得出结论；
（2）根据∠BOC﹣∠AOF＝∠AOC，∠BOC＝180°﹣∠AOC，∠AOF＝90°+∠AOC，得180°﹣∠AOC﹣90°﹣∠AOC＝∠AOC，所以∠AOC＝30°，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝∠AOE＝90°，
∴∠DOE+∠BOD＝90°，
∵∠BOF＝∠DOE，
∴∠BOF+∠BOD＝90°，
∴∠DOF＝90°，
∴OF⊥CD；
（2）解：∵∠BOC﹣∠AOF＝∠AOC，
又∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，∠AOF＝90°+∠AOC，
∴180°﹣∠AOC﹣90°﹣∠AOC＝∠AOC，
∴∠AOC＝30°，
∵∠COE＝30°+90°＝120°．
20．（2023•南岗区校级开学）如图1，O是直线AB上的一点，OC⊥OD，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOD＝35°，求∠BOE的度数；
（2）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置．
①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，并说明理由；
②在∠AOC的内部有一条射线OF，∠BOE内部有一条射线OM，且3∠AOD﹣∠AOF+2∠MOE＝13∠COE+∠AOF，试确定∠FOM与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由．

【分析】（1）由垂线的定义得∠COD＝90°，从而得到∠AOC＝90°﹣∠AOD＝55°，由邻补角的定义计算可得∠BOC＝180°﹣∠AOC＝125°，最后由角平分线的性质即可得到答案；
（2）①先分别表示出∠DOE和∠AOC再找出其中的关系即可；
②根据题意得出∠AOD＝90°+2∠COE，∠AOF＝180°﹣2∠COE﹣∠COF代入3∠AOD﹣∠AOF+2∠MOE＝3∠COE+∠AOF，得到2∠COF+2∠MOE﹣90°＝3∠∠COE再将∠FOM＝∠COF+∠COE+∠MOE，∠DOE＝90°﹣∠COE代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵∠AOD＝35°，OC⊥OD，
∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝90°﹣35°＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣55°＝125°．
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝×125°＝62.5°．
（2）①∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠AOC．
又∵∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣∠AOC），即∠DOE＝∠AOC，
∴∠AOC＝2∠DOE．
②∠FOM与∠DOE的度数之间的关系：2∠FOM+5∠DOE＝540°．
理由如下：由图可知：∠AOD＝360°﹣∠COD﹣∠AOC，
∵∠COD＝90°，∠AOC＝2∠DOE，
∴∠AOD＝360°﹣90°﹣2∠DOE＝270°﹣2∠DOE，
∵3∠AOD﹣∠AOF+2∠MOE＝13∠COE+∠AOF，
∴3（270°﹣2∠DOE）﹣∠AOF+2∠MOE＝13∠COE+∠AOF，
∴810°﹣6∠DOE＝2∠AOF+13∠COE﹣2∠MOE，
∵OE平分∠BOC．∠AOF＝180°﹣∠BOF，∠MOE＝∠COM﹣∠COE，
∴∠COE＝∠BOC，
∠MOE＝∠COM﹣∠BOC，
∴810°﹣6∠DOE＝2（180°﹣∠BOF）+13×∠BOC﹣2（∠COM﹣∠BOC），
∴810°﹣6∠DOE＝360°﹣2∠BOF+∠BOC﹣2∠COM+∠BOC，
∴450°﹣6∠DOE＝﹣2∠BOF+∠BOC﹣2∠COM，
∴450°﹣6∠DOE＝﹣2（∠BOF+∠COM）+∠BOC，
∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣2∠DOE，
∠BOF+∠COM＝∠BOM+∠MOF+∠COM＝∠BOC+∠MOF
∴450°﹣6∠DOE＝﹣2（∠BOC+∠MOF）+∠BOC＝∠BOC﹣2∠MOF，
∴450°﹣6∠DOE＝（180°﹣2∠DOE）﹣2∠MOF，
整理可得：2∠FOM+5∠DOE＝540°．
课程标准
学习目标
①垂直的定义
②垂直的画法
③垂线的性质
④点到直线的距离
掌握垂线的定义及其表示。
能够利用三角板或两角器画垂线。
掌握垂线的性质并且能够运用性质进行相关的计算。
课程标准
学习目标
①垂直的定义
②垂直的画法
③垂线的性质
④点到直线的距离
掌握垂线的定义及其表示。
能够利用三角板或两角器画垂线。
掌握垂线的性质并且能够运用性质进行相关的计算。