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人教版七年级数学下册同步练习第06讲有理数的乘方(原卷版+解析)
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这是一份人教版七年级数学下册同步练习第06讲有理数的乘方(原卷版+解析)，共48页。
知识点01 平行线的性质
两直线平行，同位角相等：
①性质内容：
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成 。
②符号语言：
若AB∥CD，则∠NEB＝∠NFD
两直线平行，内错角相等：
①性质内容：
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成 。
②符号语言：若AB∥CD，则∠AEM＝∠NFD
两直线平行，同旁内角互补：
①性质内容：
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成 。
②符号语言：若AB∥CD，则∠BEM＋∠NFD=180°
【即学即练1】
1．用一副三角板拼成如图所示的形状，使得两个三角形的直角边互相平行，则∠1与∠2相等的依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两直线平行，内错角相等
C．两直线平行，同旁内角互补
D．对顶角相等
【即学即练2】
2．如图，直线l1∥l2，Rt△ABC中，∠B＝60°，直角顶点A在直线l上，顶点C在直线l2上，已知∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【即学即练3】
3．如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝48°，则∠2的度数是（ ）
A．148°B．138°C．142°D．132°
题型01 根据平行线的性质计算
【典例1】如图，a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．48°B．42°C．138°D．52°
【变式1】如图，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，则∠C＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【变式2】如图，∠ECD＝50°，点M是EC上一点，过点M作AB∥CD，若MF平分∠AME，则∠AMF的度数为（ ）
A．60°B．55°C．70°D．65°
【变式3】如图，AB∥DE，BC∥EF，若∠E＝118°，则∠B的度数为（ ）
A．62°B．72°C．102°D．118°
题型02 平行线与直角三角板
【典例1】如图，将直尺与含45°角的直角三角形叠放在一起，若∠2＝35°，则∠1的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【变式1】如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝60°15′，则∠2的大小为（ ）
A．60°15′B．39°45′C．29°85′D．29°45′
【变式2】如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．25°
【变式3】将等腰直角三角形ADE和直角三角形ABC（其中∠C＝30°）按如图所示的方式摆放，点D在BC上，若AE∥BC，则∠DAC的度数是（ ）
A．12°B．15°C．20°D．25°
题型03 平行线与折叠
【典例1】如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B'，D'处．若∠1＝80°，则∠2的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【变式1】如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．30°C．35°D．55°
【变式2】如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1＝32°，则∠BMC＝（ ）
A．74°B．106°C．122°D．148°
【变式3】如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，下列正确的是（ ）
A．若∠1＝∠2，则∠1＝40°B．若∠1＝∠2，则∠1＝55°
C．若∠1＝2∠2，则∠1＝80°D．若∠1＝3∠2，则∠1＝108°
题型04 平行线间的拐点
【典例1】如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．15°B．25°C．35°D．45°
【变式1】如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．60°B．50°C．45°D．40°
【变式2】如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2+∠3＝360°
C．∠1+∠3＝2∠2D．∠1+∠3＝∠2
【变式3】如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系为（ ）
A．∠A+∠C+∠F＝∠EB．∠A+∠C+∠E+∠F＝360°
C．∠A+∠C+∠E﹣∠F＝180°D．∠A+∠C﹣∠E+∠F＝180°
【变式4】如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线AB，CD之间，∠AEG与∠FHG的平分线交于点M．若∠EGH＝84°，∠HFD＝20°，则∠M的度数为（ ）
A．64°B．54°C．42°D．32°
题型05 平行线的判定与性质求值
【典例1】如图，已知∠1＝∠2，下列结论正确的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠1＝∠4C．∠B＝∠5D．∠D＝∠5
【变式1】如图，已知a⊥c，b⊥c，若∠1＝65°，则∠2等于（ ）
A．65°B．90°C．25°D．70°
【变式2】如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝76°，则∠4＝（ ）°
A．76B．104C．114D．14
【变式3】如图，若∠1＝55°，∠3+∠4＝180°，则∠2的度数为（ ）
A．115°B．120°C．125°D．135°
题型06 平行线的判定与性质证明
【典例1】将下面的解答过程补充完整：如图，已知DE∥BC，EF平分∠CED，∠A＝∠CFE，那么EF与AB平行吗？为什么？
解：因为DE∥BC（已知），
所以∠DEF＝∠CFE（ ①），
因为EF平分∠CED（已知），
所以∠DEF＝ ②（角平分线的定义），
所以∠CFE＝∠CEF（ ③），
因为∠A＝∠CFE（已知），
所以∠A＝ ④（等量代换），
所以EF∥AB（ ⑤）．
【典例2】如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．
【变式1】如图，∠B＝∠BGD，∠BGC＝∠F．试说明∠B+∠F＝180°．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论根据．
解：∵∠B＝∠BGD（已知），
∴ ∥CD（ ）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CD∥ （ ）．
∴ ∥ （平行于同一直线的两直线平行）．
∴∠B+∠F＝180°（ ）．
【变式2】请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：
已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠D．
求证：∠B＝∠C
证明：∵∠1＝∠2，（已知）
又：∵∠1＝∠3，
∴∠2＝ ，（等量代换）
∴AE∥FD
∴∠A＝∠BFD
∵∠A＝∠D（已知）
∴∠D＝ （等量代换）
∴ ∥CD
∴∠B＝∠C ．
【变式3】如图，已知AD∥FE，∠1＝∠2．
（1）试说明DG∥AC；
（2）若∠BAC＝70°，求∠AGD的度数．
【变式4】已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；
（1）求证：DE∥BA．
（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．
1．如图所示，直线a∥b，直线l与a，b相交，若∠1＝110°，∠2的度数为（ ）
A．110°B．55°C．70°D．80°
2．如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝36°，则∠1+∠2的度数是（ ）
A．66°B．72°C．78°D．82°
3．如图，直线l1∥l2，Rt△ABC中，∠B＝60°，直角顶点A在直线l1上，顶点C在直线l2上，已知∠1＝25°，则∠2的度数为 （ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
4．如图两直线m、n与△ABC的边相交，且m、n分别与AB、BC平行．根据图中所示角度，可知∠B的度数为（ ）
A．52°B．58°C．70°D．72°
5．如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝60°，则∠GFH的度数为（ ）
A．20°B．40°C．60°D．80°
6．如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠EFD＝32°，则∠BGE的度数是（ ）
A．62°B．58°C．52°D．48°
7．如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．30°B．40°C．45°D．50°
8．如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则（ ）
A．∠E＝∠FB．∠E+∠F＝180°
C．2∠E+∠F＝360°D．2∠E﹣∠F＝180°
9．图1是长方形纸条，∠DEF＝α，将纸条沿EF折叠成折叠成图2，则图中的∠GFC的度数是（ ）
A．2αB．90°+2αC．180°﹣2αD．180°﹣3α
10．平面镜在光学仪器中有广泛的应用．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图①．一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则∠1＝∠2．如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝30°时，∠DCN的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
11．为增强学生体质，望一观音湖学校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学跳绳时的一个瞬间．数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，则∠AEC＝ ．
12．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE，若∠A+∠B＝100°，则∠FEC＝ ．
13．如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线OB，且与射线OA交于点C，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，连接OP，已知∠POB＝40°，则∠ACP的度数是 ．
14．如图，∠1＝37°，∠2＝37°，∠D＝54°，那么∠BAE＝ °．
15．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠CAE其余符合条件的度数为 ．【例如：图3，当∠CAE＝15°时，BC∥DE】．
16．一副三角尺按如图所示的方式摆放，∠B＝∠EDF＝90°，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠A＝30°，∠F＝45°，求出∠CED的度数．
17．如图，AB∥CD，∠A＝40°，∠C＝∠E，求∠C的度数．
18．如图，点M在CD上，已知∠BAM+∠AMD＝180°，AE平分∠BAM，MF平分∠AMC，请说明AE∥MF的理由．
解：因为∠BAM+∠AMD＝180°（ ），
∠AMC+∠AMD＝180°（ ），
所以∠BAM＝∠AMC（ ）．
因为AE平分∠BAM，
所以 （ ）．
因为MF平分∠AMC，
所以 ，
得 （ ），
所以 （ ）．
19．综合与实践
如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．
（1）当所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM的数量关系是 ；
（2）当所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．
20．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D．
（1）求∠ABN和∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．
第06讲 平行线的性质
知识点01 平行线的性质
两直线平行，同位角相等：
①性质内容：
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成 两直线平行，同位角相等 。
②符号语言：
若AB∥CD，则∠NEB＝∠NFD
两直线平行，内错角相等：
①性质内容：
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成 两直线平行，内错角相等 。
②符号语言：若AB∥CD，则∠AEM＝∠NFD
两直线平行，同旁内角互补：
①性质内容：
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成 两直线平行，同旁内角互补 。
②符号语言：若AB∥CD，则∠BEM＋∠NFD=180°
【即学即练1】
1．用一副三角板拼成如图所示的形状，使得两个三角形的直角边互相平行，则∠1与∠2相等的依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两直线平行，内错角相等
C．两直线平行，同旁内角互补
D．对顶角相等
【分析】由两平行线，内错角相等，即可得到答案．
【解答】解：∠1与∠2相等的依据是两直线平行，内错角相等，
故选：B．
【即学即练2】
2．如图，直线l1∥l2，Rt△ABC中，∠B＝60°，直角顶点A在直线l上，顶点C在直线l2上，已知∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质和平行线的性质得出∠2的度数即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠B＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠ACB+∠1＝30°+25°＝55°，
故选：C．
【即学即练3】
3．如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝48°，则∠2的度数是（ ）
A．148°B．138°C．142°D．132°
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由邻补角的定义即可得出结论．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝48°，
∴∠3＝∠1＝48°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣48°＝132°．
故选：D．
题型01 根据平行线的性质计算
【典例1】如图，a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．48°B．42°C．138°D．52°
【分析】根据平行线的性质和对顶角相等解答即可．
【解答】解：∵∠1＝∠3＝42°，a∥b，
∴∠2＝∠3＝42°，
故选：B．
【变式1】如图，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，则∠C＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【分析】根据邻补角定义得出∠DAC＝80°，根据角的和差求出∠CAE＝30°，根据平行线的性质即可得解．
【解答】解：∵∠DAC+∠BAC＝180°，∠BAC＝100°，
∴∠DAC＝80°，
∵∠DAC＝∠DAE+∠CAE，∠DAE＝50°，
∴∠CAE＝30°，
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE＝30°，
故选：C．
【变式2】如图，∠ECD＝50°，点M是EC上一点，过点M作AB∥CD，若MF平分∠AME，则∠AMF的度数为（ ）
A．60°B．55°C．70°D．65°
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠EMB＝∠ECD＝50°，于是利用平角的定义可得∠AME＝130°，再根据角平分线的定义即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠EMB＝∠ECD＝50°，
∴∠AME＝180°﹣∠EMB＝180°﹣50°＝130°，
∵MF平分∠AME，
∴∠AMF＝65°．
故选：D．
【变式3】如图，AB∥DE，BC∥EF，若∠E＝118°，则∠B的度数为（ ）
A．62°B．72°C．102°D．118°
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求得∠1＝50°，再两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠B．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠1+∠E＝180°，
∵∠E＝118°，
∴∠1＝62°，
∵BC∥EF，
∴∠B＝∠1＝62°．
故选：A．
题型02 平行线与直角三角板
【典例1】如图，将直尺与含45°角的直角三角形叠放在一起，若∠2＝35°，则∠1的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【分析】根据余角的定义和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，
∵∠ACB＝90°，∠2＝35°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣35°＝55°，
∵直尺对边平行，
∴∠1＝∠3＝55°．
故选：C．
【变式1】如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝60°15′，则∠2的大小为（ ）
A．60°15′B．39°45′C．29°85′D．29°45′
【分析】根据平行线的性质得出∠3，进而利用互余解答即可．
【解答】解：如图，
由直尺两边平行，可得：∠1＝∠3＝60°15'，
∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣60°15'＝29°45'，
故选：D．
【变式2】如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．25°
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由两角互余的性质求出∠2的度数即可．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝55°，
∴∠3＝∠1＝55°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣55°＝35°．
故选：A．
【变式3】将等腰直角三角形ADE和直角三角形ABC（其中∠C＝30°）按如图所示的方式摆放，点D在BC上，若AE∥BC，则∠DAC的度数是（ ）
A．12°B．15°C．20°D．25°
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”求出∠CAE＝30°，再根据角的和差求解即可．
【解答】解：∵AE∥BC，∠C＝30°，
∴∠CAE＝∠C＝30°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠DAC＝∠DAE﹣∠CAE＝15°，
故选：B．
题型03 平行线与折叠
【典例1】如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B'，D'处．若∠1＝80°，则∠2的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】根据平行线的性质可得∠AEB′＝80°，从而利用平角定义求出∠BEB′＝100°，然后根据折叠的性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠AEB′＝80°，
∴∠BEB′＝180°﹣∠AEB′＝100°，
由折叠得：
∠2＝∠FEB′＝∠BEB′＝50°，
故选：A．
【变式1】如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．30°C．35°D．55°
【分析】已知四边形ABCD是矩形，则可得AB∥CD，∠C＝90°；联系折叠的性质易得∠BDC′、∠DC′B的度数，由平行线的性质可求出∠ABD的度数；接下来在△BC′D中利用三角形内角和即可求出∠2．
【解答】解：由题意可知：
∠C＝90°，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠1＝35°
由折叠的性质可知：
∠BDC′＝∠1＝35°，∠DC′B＝∠C＝90°．
∴∠2＝180°﹣∠DC′B﹣∠ABD﹣∠BDC′＝20°．
故选：A．
【变式2】如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1＝32°，则∠BMC＝（ ）
A．74°B．106°C．122°D．148°
【分析】利用折叠的性质，相重合的角相等，然后利用平角定理求出角的度数．
【解答】解：∵∠1＝32°，∠AMA1+∠1+∠DMD1＝180°，
∴∠AMA1+∠DMD1＝180°﹣32°＝148°．
∴∠BMA1+∠CMD1＝74°．
∴∠BMC＝∠BMA1+∠CMD1+∠1＝74°+32°＝106°．
故选：B．
【变式3】如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，下列正确的是（ ）
A．若∠1＝∠2，则∠1＝40°B．若∠1＝∠2，则∠1＝55°
C．若∠1＝2∠2，则∠1＝80°D．若∠1＝3∠2，则∠1＝108°
【分析】先根据已知条件画出图形，再根据平行线的性质证出∠ABC＝∠1，再由折叠性质证出2∠2+∠1＝180°，最后按照证出的∠1和∠2的关系式，根据各个选项的中的已知条件，求出∠1的度数，进行判断即可．
【解答】解：如图所示：由平行线的性质可得：
∠ABC＝∠1，
由折叠性质可得：∠CBD+∠ABD＝180°，
即∠2+∠2+∠ABC＝180°，
∴2∠2+∠ABC＝180°，
∴2∠2+∠1＝180°，
A．若∠1＝，则，∠1＝36°，故此选项不符合题意；
B．若∠1＝∠2，则3∠1＝180°，∠1＝60°，故此选项不符合题意；
C．若∠1＝2∠2，则4∠2＝180°，∠2＝45°，∠1＝90°，故此选项不符合题意；
D．若∠1＝3∠2，则5∠2＝180°，∠2＝36°，∠1＝108°，故此选项符合题意；
故选：D．
题型04 平行线间的拐点
【典例1】如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．15°B．25°C．35°D．45°
【分析】过B作BK∥m，推出BK∥n，由平行线的性质得到∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，求出∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝25°，即可得到∠2＝25°．
【解答】解：过B作BK∥m，
∵m∥n，
∴BK∥n，
∴∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，
∵∠ABO＝45°，
∴∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝45°﹣20°＝25°，
∴∠2＝∠ABK＝25°．
故选：B．
【变式1】如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．60°B．50°C．45°D．40°
【分析】根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BDC，然后直角三角形的性质，即可求得∠2的度数．
【解答】解：延长AB交直线n于点D，
∵m∥n，∠1＝50°，
∴∠1＝∠BDC＝50°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠BDC＝90°﹣50°＝40°，
故选：D．
【变式2】如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2+∠3＝360°
C．∠1+∠3＝2∠2D．∠1+∠3＝∠2
【分析】首先过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可得EF∥AB∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，继而可得∠1+∠3＝∠2．
【解答】解：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，
∵∠2＝∠AEF+∠CEF＝∠1+∠3．
故选：D．
【变式3】如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系为（ ）
A．∠A+∠C+∠F＝∠EB．∠A+∠C+∠E+∠F＝360°
C．∠A+∠C+∠E﹣∠F＝180°D．∠A+∠C﹣∠E+∠F＝180°
【分析】过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，得到EM∥FN∥CD，因此∠A+∠AEM＝180°，∠MEF＝∠NFE，∠NFC＝∠C，得到∠MEF＝∠EFC﹣∠C，故∠AEM＝∠AEF+∠C﹣∠EFC，于是得到∠A+∠AEF+∠C﹣∠EFC＝180°．
【解答】解：过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥FN∥CD，
∴∠A+∠AEM＝180°，∠MEF＝∠NFE，∠NFC＝∠C，
∴∠C+∠MEF＝∠NFE+∠NFC＝∠EFC，
∴∠MEF＝∠EFC﹣∠C，
∵∠AEM＝∠AEF﹣∠MEF＝∠AEF+∠C﹣∠EFC，
∴∠A+∠AEF+∠C﹣∠EFC＝180°．
故选：C．
【变式4】如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线AB，CD之间，∠AEG与∠FHG的平分线交于点M．若∠EGH＝84°，∠HFD＝20°，则∠M的度数为（ ）
A．64°B．54°C．42°D．32°
【分析】过点G，M，H作AB的平行线，容易得出∠AEG+∠GHF＝104°，EM和MH是角平分线，所以∠AEM+∠MHF＝52°，进一步求∠M即可．
【解答】解：如图所示，过点G，M，H作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，
∵AB∥CD．
∴AB∥GN∥M P∥KH∥CD，
∵GN∥AB．
∴∠AEG＝∠EGN，
∵GN∥KH，
∴∠NGH＝∠GHK，
∵KH∥CD，
∴∠HFD＝∠KHF，
∵∠EGH＝84°，∠HFD＝20°，
∴∠AEG+∠GHF＝104°，
∵EM和MH是角平分线，
∴∠AEM+∠MHF＝52°，
∵∠HFD＝∠KHF＝20°，
∴∠AEM+∠MHK＝32°，
∵MP∥AB∥KH，
∴∠EMP＝∠AEM，∠PMH＝∠MHK，
∴∠EMP+∠PMH＝32°，
即∠EMH＝32°．
故选：D．
题型05 平行线的判定与性质求值
【典例1】如图，已知∠1＝∠2，下列结论正确的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠1＝∠4C．∠B＝∠5D．∠D＝∠5
【分析】根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得结论．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠5．
故选：D．
【变式1】如图，已知a⊥c，b⊥c，若∠1＝65°，则∠2等于（ ）
A．65°B．90°C．25°D．70°
【分析】先根据a⊥c，b⊥c，可得a∥b，根据平行线的性质可得∠1＝∠3，再根据对顶角的性质即可得出答案．
【解答】解：因为a⊥c，b⊥c，
所以a∥b，
所以∠1＝∠3＝65°，
所以∠2＝∠3＝65°．
故选：A．
【变式2】如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝76°，则∠4＝（ ）°
A．76B．104C．114D．14
【分析】由∠1＝∠2，证出a∥b，由平行线的性质即可得出∠4＝∠3＝76°．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴∠4＝∠3＝76°，
故选：A．
【变式3】如图，若∠1＝55°，∠3+∠4＝180°，则∠2的度数为（ ）
A．115°B．120°C．125°D．135°
【分析】由∠3+∠4＝180°，得到AB∥CD，推出∠5＝∠1＝55°，即可求出∠2＝125°．
【解答】解：∵∠3+∠4＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠5＝∠1＝55°，
∵∠5+∠2＝180°，
∴∠2＝125°．
故选：C．
题型06 平行线的判定与性质证明
【典例1】将下面的解答过程补充完整：如图，已知DE∥BC，EF平分∠CED，∠A＝∠CFE，那么EF与AB平行吗？为什么？
解：因为DE∥BC（已知），
所以∠DEF＝∠CFE（ 两直线平行，内错角相等 ①），
因为EF平分∠CED（已知），
所以∠DEF＝ ∠CFE ②（角平分线的定义），
所以∠CFE＝∠CEF（ 等量代换 ③），
因为∠A＝∠CFE（已知），
所以∠A＝ ∠CEF ④（等量代换），
所以EF∥AB（ 同位角相等，两直线平行 ⑤）．
【分析】先根据两直线平行，内错角相等，得到∠DEF＝∠CFE，再根据角平分线得出∠DEF＝∠CEF，进而得到∠CFE＝∠CEF，再根据∠A＝∠CFE，即可得出∠A＝∠CEF，进而根据同位角相等，两直线平行，判定EF∥BC．
【解答】解：因为DE∥BC（已知），
所以∠DEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等①），
因为EF平分∠CED（已知），
所以∠DEF＝∠CFE②（角平分线的定义），
所以∠CFE＝∠CEF（等量代换③），
因为∠A＝∠CFE（已知），
所以∠A＝∠CEF④（等量代换），
所以EF∥AB（同位角相等，两直线平行⑤）
故答案为：两直线平行，内错角相等，∠CFE．等量代换，∠CEF，同位角相等，两直线平行．
【典例2】如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．
【分析】（1）求出∠ABC+∠A＝180°，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据平行线的性质求出∠DBC，根据垂直推出BD∥EF，根据平行线的性质即可求出∠EFC．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝180°﹣∠A，
∴∠ABC+∠A＝180°，
∴AD∥BC；
（2）∵AD∥BC，∠ADB＝36°，
∴∠DBC＝∠ADB＝36°，
∵BD⊥CD，EF⊥CD，
∴BD∥EF，
∴∠DBC＝∠EFC＝36°
【变式1】如图，∠B＝∠BGD，∠BGC＝∠F．试说明∠B+∠F＝180°．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论根据．
解：∵∠B＝∠BGD（已知），
∴ AB ∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CD∥ EF （ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴ AB ∥ EF （平行于同一直线的两直线平行）．
∴∠B+∠F＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
【分析】由平行线的判定条件可得AB∥CD，CD∥EF，再利用平行线的性质即可得到AB∥EF，从而可证得∠B+∠F＝180°．
【解答】解：∵∠B＝∠BGD（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
∴AB∥EF（平行于同一直线的两直线平行）．
∴∠B+∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：AB；内错角相等，两直线平行；EF；同位角相等，两直线平行；AB；EF；两直线平行，同旁内角互补．
【变式2】请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：
已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠D．
求证：∠B＝∠C
证明：∵∠1＝∠2，（已知）
又：∵∠1＝∠3， 对顶角相等
∴∠2＝ ∠3 ，（等量代换）
∴AE∥FD 同位角相等，两直线平行
∴∠A＝∠BFD 两直线平行，同位角相等
∵∠A＝∠D（已知）
∴∠D＝ ∠BFD （等量代换）
∴ AB ∥CD 内错角相等，两直线平行
∴∠B＝∠C 两直线平行，内错角相等 ．
【分析】先根据题意得出∠2＝∠3，故可得出AE∥FD，故∠A＝∠BFD，再由∠A＝∠D可得出∠D＝∠BFD，
故可得出AB∥CD，进而可得出结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），
又∵∠1＝∠3对顶角相等，
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AE∥FD （同位角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠BFD （两直线平行，同位角相等）．
∵∠A＝∠D（已知），
∴∠D＝∠BFD（等量代换），
∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行）．
∴∠B＝∠C （两直线平行，内错角相等）．
故答案为：对顶角相等；∠3；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠BFD；AB，内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【变式3】如图，已知AD∥FE，∠1＝∠2．
（1）试说明DG∥AC；
（2）若∠BAC＝70°，求∠AGD的度数．
【分析】（1）只要证明∠2＝∠DAC即可．
（2）利用平行线的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）∵AD∥EF，
∴∠1＝∠DAC，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DAC，
∴DG∥AC．
（2）∵DG∥AC，
∴∠AGD+∠BAC＝180°，
∵∠BAC＝70°，
∴∠AGD＝110°
【变式4】已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；
（1）求证：DE∥BA．
（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质与判定方法证明即可；
（2）设∠EDC＝x°，由∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC可得∠BFD＝∠BDF＝2x°，根据平行线的性质可得∠DFB＝∠FDE＝2x°，再根据平角的定义列方程可得x的值，进而得出∠B的度数．
【解答】解：（1）证明：∵DF∥CA，
∴∠DFB＝∠A，
又∵∠FDE＝∠A，
∴∠DFB＝∠FDE，
∴DE∥AB；
（2）设∠EDC＝x°，
∵∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，
∴∠BFD＝∠BDF＝2x°，
由（1）可知DE∥BA，
∴∠DFB＝∠FDE＝2x°，
∴∠BDF+∠EDF+∠EDC＝2x°+2x°+x°＝180°，
∴x＝36，
又∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝36°．
1．如图所示，直线a∥b，直线l与a，b相交，若∠1＝110°，∠2的度数为（ ）
A．110°B．55°C．70°D．80°
【分析】由推出平行线的性质推出∠1+∠3＝180°，又∠1＝110°，求出∠3＝70°，由对顶角的性质得到∠2＝∠3＝70°．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1+∠3＝180°，
∵∠1＝110°，
∴∠3＝70°，
∴∠2＝∠3＝70°．
故选：C．
2．如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝36°，则∠1+∠2的度数是（ ）
A．66°B．72°C．78°D．82°
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝＝72°，
∵直线l1∥l2，
∴∠1+∠ABC+∠2+∠BAC＝180°，即∠1+72°+∠2+36°＝180°，
∴∠1+∠2＝72°．
故选：B．
3．如图，直线l1∥l2，Rt△ABC中，∠B＝60°，直角顶点A在直线l1上，顶点C在直线l2上，已知∠1＝25°，则∠2的度数为 （ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【分析】由直角三角形的性质求出∠ACB＝30°，得到∠BCD＝∠ACB+∠1＝55°．由平行线的性质推出∠2＝∠BCD＝55°．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠1＝55°，
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠BCD＝55°．
故选：C．
4．如图两直线m、n与△ABC的边相交，且m、n分别与AB、BC平行．根据图中所示角度，可知∠B的度数为（ ）
A．52°B．58°C．70°D．72°
【分析】由两直线平行，同旁内角互补可得出∠A和∠C的度数，再根据三角形内角和可得出∠B的度数．
【解答】解：因为m、n分别与AB、BC平行，
所以∠C+122°＝180°，∠A+110°＝180°，
所以∠C＝58°，∠A＝70°，
所以∠B＝180°﹣∠C＝∠A＝52°．
故选：A．
5．如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝60°，则∠GFH的度数为（ ）
A．20°B．40°C．60°D．80°
【分析】先利用平行线的性质可得∠FED＝∠GFB＝60°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，∠FED＝60°，
∴∠FED＝∠GFB＝60°，
∵∠HFB＝20°，
∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝40°，
故选：B．
6．如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠EFD＝32°，则∠BGE的度数是（ ）
A．62°B．58°C．52°D．48°
【分析】过点E作AB的平行线HI，利用平行线的性质即可求解．
【解答】解：过点E作直线HI∥AB．
∵AB∥CD，AB∥HI，∠EFD＝32°，
∴CD∥HI，
∴∠HEF＝∠EFD＝32°，
∵GE⊥EF于点E，
∴∠GEF＝90°，
∴∠GEH＝∠GEF﹣∠HEF＝90°﹣32°＝58°，
∵AB∥HI，
∴∠BGE＝∠GEH＝58°．
故选：B．
7．如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．30°B．40°C．45°D．50°
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到∠2．
【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝50°，
∴∠1＝∠3＝50°，
∵直线AB⊥AC，
∴∠2+∠3＝90°．
∴∠2＝40°．
故选：B．
8．如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则（ ）
A．∠E＝∠FB．∠E+∠F＝180°
C．2∠E+∠F＝360°D．2∠E﹣∠F＝180°
【分析】过点E作EM∥AB，利用平行线的性质可证得∠BED＝（∠ABF+∠CDF），可以得到∠BED与∠BFD的关系．
【解答】解：过点E作EM∥AB，如图：
∵AB∥CD，EM∥AB
∴CD∥EM，
∴∠ABE＝∠BEM，∠CDE＝∠DEM，
∵∠ABF的平分线与∠CDF的平分线相交于点E，
∴∠ABE＝∠ABF，∠CDE＝∠CDF，
∴∠BED＝∠BEM+∠DEM＝（∠ABF+∠CDF），
∵∠ABF+∠BFD+∠CDF＝360°，
∴∠ABF+∠CDF＝360°﹣∠BFD，
∴∠BED＝（360°﹣∠BFD），
整理得：2∠BED+∠BFD＝360°．
故选：C．
9．图1是长方形纸条，∠DEF＝α，将纸条沿EF折叠成折叠成图2，则图中的∠GFC的度数是（ ）
A．2αB．90°+2αC．180°﹣2αD．180°﹣3α
【分析】由折叠得∠GEF＝α，由长方形知FC∥GD，AE∥BG，从而得到∠FGD，再由平行线的性质得到∠GFC的度数．
【解答】解：由折叠和∠DEF＝α，得∠GEF＝α，
由长方形得，C∥GD，AE∥BG，
∴∠GFC+∠FGD＝180°，∠EFB＝∠DEF＝α，
∴∠FGD＝∠GEF+∠EFB＝2α，
∴∠GFC＝180°﹣2α，
故选：C．
10．平面镜在光学仪器中有广泛的应用．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图①．一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则∠1＝∠2．如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝30°时，∠DCN的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】由题意得∠ABM＝∠CBO，∠BCO＝∠DCN，根据平角的定义可求出∠ABC的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCD的度数，从而求出∠DCN
的度数．
【解答】解：由题意得∠ABM＝∠CBO，∠BCO＝∠DCN，
∵∠ABM＝30°，
∴∠CBO＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠CBO＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝60°，
∵∠BCD+∠BCO+∠DCN＝180°，
∴∠DCN＝60°，
故选：C．
11．为增强学生体质，望一观音湖学校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学跳绳时的一个瞬间．数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，则∠AEC＝ 35° ．
【分析】过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，利用平行线的性质求得∠FEA＝110°，∠FEC＝75°，进而可求解．
【解答】解：过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠EAB+∠FEA＝180°，∠ECD+∠FEC＝180°，
∵∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，
∴∠FEA＝110°，∠FEC＝75°，
∴∠AEC＝∠FEA﹣∠FEC＝35°，
故答案为：35°．
12．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE，若∠A+∠B＝100°，则∠FEC＝ 20° ．
【分析】根据折叠的性质、平行线的性质和三角形内角和，即可得到结论．
【解答】解：由题意可得，
∠AED＝∠DEF，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠C，∠DEF＝∠EFC，
∴∠C＝∠EFC，
∵∠A+∠B＝100°，
∴∠C＝180°﹣100°＝80°，
∴∠EFC＝80°，
∵∠C+∠EFC+∠FEC＝180°，
∴∠FEC＝180°﹣80°﹣80°＝20°，
故答案为：20°．
13．如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线OB，且与射线OA交于点C，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，连接OP，已知∠POB＝40°，则∠ACP的度数是 80° ．
【分析】根据两把完全相同的长方形直尺，可知OP平分∠AOB，又∠POB＝40°，进而可得∠AOB的度数．再由长方形直尺可得CP∥OB，利用平行线的性质可求解．
【解答】解：由题意，得OP平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠POB＝2×40°＝80°，
由长方形直尺可知：CP∥OB，
∴∠ACP＝∠AOB＝80°，
故答案为：80°．
14．如图，∠1＝37°，∠2＝37°，∠D＝54°，那么∠BAE＝ 54 °．
【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．
【解答】解：∵∠1＝37°，∠2＝37°，
∴∠1＝∠2，
∴AE∥CD，
∴∠BAE＝∠D＝54°，
故答案为：54．
15．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠CAE其余符合条件的度数为 60°或105°或135° ．【例如：图3，当∠CAE＝15°时，BC∥DE】．
【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数，再找到关于A点中心对称的情况即可求解．
【解答】解：如图3，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；
如图，当AE∥BC时，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；
如图，当DE∥AB（或AD∥BC）时，∠CAE＝45°+60°＝105°；
当DE∥AC时，如图①，∠CAE＝45°+90°＝135°．
综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为60°或105°或135°，
故答案为：60°或105°或135°．
16．一副三角尺按如图所示的方式摆放，∠B＝∠EDF＝90°，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠A＝30°，∠F＝45°，求出∠CED的度数．
【分析】由直角三角形的性质求出∴∠ECB＝60°，∠FED＝45°，由平行线的性质推出∠FEC＝∠ECB＝60°，即可求出∠CED＝∠FEC﹣∠FED＝15°．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝30°，
∴∠ECB＝90°﹣∠A＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠ECB＝60°，
∵∠EDF＝90°，∠F＝45°，
∴∠FED＝90°﹣∠F＝45°，
∴∠CED＝∠FEC﹣∠FED＝60°﹣45°＝15°．
17．如图，AB∥CD，∠A＝40°，∠C＝∠E，求∠C的度数．
【分析】根据AB∥CD，则∠A＝∠1＝40°，再根据三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠1＝40°，
∵∠C+∠E＝∠1，∠C＝∠E，
∴2∠C＝40°，
∴∠C＝20°．
18．如图，点M在CD上，已知∠BAM+∠AMD＝180°，AE平分∠BAM，MF平分∠AMC，请说明AE∥MF的理由．
解：因为∠BAM+∠AMD＝180°（ 已知 ），
∠AMC+∠AMD＝180°（ 平角的定义 ），
所以∠BAM＝∠AMC（ 等量代换 ）．
因为AE平分∠BAM，
所以 ∠BAM （ 角平分线的定义 ）．
因为MF平分∠AMC，
所以 ∠AMC ，
得 ∠1＝∠2 （ 等量代换 ），
所以 AE∥MF （ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据角平分线的定义，平行线的判定定理完成填空即可求解．
【解答】解：因为∠BAM+∠AMD＝180°（已知），∠AMC+∠AMD＝180°（平角的定义），
所以∠BAM＝∠AMC（等量代换）．
因为AE平分∠BAM，
所以∠BAM（角平分线的定义）．
因为MF平分∠AMC，
所以∠AMC，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以AE∥MF（内错角相等，两直线平行）
故答案为：已知；平角的定义；等量代换；∠BAM；角平分线的定义；∠AMC；∠1＝∠2；等量代换；AE∥MF；内错角相等，两直线平行．
19．综合与实践
如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．
（1）当所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM的数量关系是 ∠PFD+∠AEM＝90° ；
（2）当所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．
【分析】（1）作PH∥AB，根据平行线的性质得到∠AEM＝∠HPM，∠PFD＝∠HPN，根据∠MPN＝90°解答；
（2）根据平行线的性质得到∠PFD+∠BHN＝180°，根据∠P＝90°解答；
（3）根据平行线的性质、对顶角相等计算．
【解答】解：（1）如图①，作PH∥AB，
则∠AEM＝∠HPM，
∵AB∥CD，PH∥AB，
∴PH∥CD，
∴∠PFD＝∠HPN，
∵∠MPN＝90°，
∴∠PFD+∠AEM＝90°，
故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；
（2）猜想：∠PFD−∠AEM＝90°；
理由如下：如图②，
∵AB∥CD，
∴∠PFD+∠BHN＝180°，
∵∠BHN＝∠PHE，
∴∠PFD+∠PHE＝180°，
∵∠P＝90°，
∴∠PHE+∠PEB＝90°，
∵∠PEB＝∠AEM，
∴∠PHE+∠AEM＝90°，
∴∠PFD−∠AEM＝90°；
（3）如图②，∵∠P＝90°，∠PEB＝15°，
∴∠PHE＝∠P−∠PEB＝90°−15°＝75°，
∴∠BHF＝∠PHE＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠DFH+∠BHF＝180°，
∴∠DFH＝180°−∠BHF＝105°，
∴∠OFN＝∠DFH＝105°，
∵∠DON＝20°，
∴∠N＝180°−∠DON−∠OFN＝55°．
20．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D．
（1）求∠ABN和∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．
【分析】（1）由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；由角平分线的定义可以证明∠CBD＝∠ABN，即可求出结果；
（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1，由AM∥BN得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，根据BD平分∠PBN得∠PBN＝2∠DBN，即可推出结论；
（3）可先证明∠ABC＝∠DBN，由（1）∠ABN＝116°，∠CBD＝58°，所以∠ABC+∠DBN＝58°，则可求出∠ABC的度数．
【解答】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°．
∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝120°．
∵BC，BD分别平分∠ABP，∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°，
故答案为：120°，60°；
（2）∠APB与∠ADB之间的数量关系不变，∠APB＝2∠ADB；
理由：∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN．
又∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN
，∴∠APB＝2∠ADB；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN．
∵∠ACB＝∠ABD，
∴∠CBN＝∠ABD，即∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN．
∵BC，BD分别平分∠ABP，∠PBN，
∴．
课程标准
学习目标
①平行线的性质
掌握两直线平行，同位角相等，并能够灵活应用。
掌握两直线平行，内错角相等，并能够灵活应用。
掌握两直线平行，同旁内角互补，并能够灵活应用。
课程标准
学习目标
①平行线的性质
掌握两直线平行，同位角相等，并能够灵活应用。
掌握两直线平行，内错角相等，并能够灵活应用。
掌握两直线平行，同旁内角互补，并能够灵活应用。
知识点01 平行线的性质
两直线平行，同位角相等：
①性质内容：
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成 。
②符号语言：
若AB∥CD，则∠NEB＝∠NFD
两直线平行，内错角相等：
①性质内容：
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成 。
②符号语言：若AB∥CD，则∠AEM＝∠NFD
两直线平行，同旁内角互补：
①性质内容：
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成 。
②符号语言：若AB∥CD，则∠BEM＋∠NFD=180°
【即学即练1】
1．用一副三角板拼成如图所示的形状，使得两个三角形的直角边互相平行，则∠1与∠2相等的依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两直线平行，内错角相等
C．两直线平行，同旁内角互补
D．对顶角相等
【即学即练2】
2．如图，直线l1∥l2，Rt△ABC中，∠B＝60°，直角顶点A在直线l上，顶点C在直线l2上，已知∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【即学即练3】
3．如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝48°，则∠2的度数是（ ）
A．148°B．138°C．142°D．132°
题型01 根据平行线的性质计算
【典例1】如图，a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．48°B．42°C．138°D．52°
【变式1】如图，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，则∠C＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【变式2】如图，∠ECD＝50°，点M是EC上一点，过点M作AB∥CD，若MF平分∠AME，则∠AMF的度数为（ ）
A．60°B．55°C．70°D．65°
【变式3】如图，AB∥DE，BC∥EF，若∠E＝118°，则∠B的度数为（ ）
A．62°B．72°C．102°D．118°
题型02 平行线与直角三角板
【典例1】如图，将直尺与含45°角的直角三角形叠放在一起，若∠2＝35°，则∠1的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【变式1】如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝60°15′，则∠2的大小为（ ）
A．60°15′B．39°45′C．29°85′D．29°45′
【变式2】如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．25°
【变式3】将等腰直角三角形ADE和直角三角形ABC（其中∠C＝30°）按如图所示的方式摆放，点D在BC上，若AE∥BC，则∠DAC的度数是（ ）
A．12°B．15°C．20°D．25°
题型03 平行线与折叠
【典例1】如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B'，D'处．若∠1＝80°，则∠2的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【变式1】如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．30°C．35°D．55°
【变式2】如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1＝32°，则∠BMC＝（ ）
A．74°B．106°C．122°D．148°
【变式3】如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，下列正确的是（ ）
A．若∠1＝∠2，则∠1＝40°B．若∠1＝∠2，则∠1＝55°
C．若∠1＝2∠2，则∠1＝80°D．若∠1＝3∠2，则∠1＝108°
题型04 平行线间的拐点
【典例1】如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．15°B．25°C．35°D．45°
【变式1】如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．60°B．50°C．45°D．40°
【变式2】如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2+∠3＝360°
C．∠1+∠3＝2∠2D．∠1+∠3＝∠2
【变式3】如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系为（ ）
A．∠A+∠C+∠F＝∠EB．∠A+∠C+∠E+∠F＝360°
C．∠A+∠C+∠E﹣∠F＝180°D．∠A+∠C﹣∠E+∠F＝180°
【变式4】如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线AB，CD之间，∠AEG与∠FHG的平分线交于点M．若∠EGH＝84°，∠HFD＝20°，则∠M的度数为（ ）
A．64°B．54°C．42°D．32°
题型05 平行线的判定与性质求值
【典例1】如图，已知∠1＝∠2，下列结论正确的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠1＝∠4C．∠B＝∠5D．∠D＝∠5
【变式1】如图，已知a⊥c，b⊥c，若∠1＝65°，则∠2等于（ ）
A．65°B．90°C．25°D．70°
【变式2】如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝76°，则∠4＝（ ）°
A．76B．104C．114D．14
【变式3】如图，若∠1＝55°，∠3+∠4＝180°，则∠2的度数为（ ）
A．115°B．120°C．125°D．135°
题型06 平行线的判定与性质证明
【典例1】将下面的解答过程补充完整：如图，已知DE∥BC，EF平分∠CED，∠A＝∠CFE，那么EF与AB平行吗？为什么？
解：因为DE∥BC（已知），
所以∠DEF＝∠CFE（ ①），
因为EF平分∠CED（已知），
所以∠DEF＝ ②（角平分线的定义），
所以∠CFE＝∠CEF（ ③），
因为∠A＝∠CFE（已知），
所以∠A＝ ④（等量代换），
所以EF∥AB（ ⑤）．
【典例2】如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．
【变式1】如图，∠B＝∠BGD，∠BGC＝∠F．试说明∠B+∠F＝180°．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论根据．
解：∵∠B＝∠BGD（已知），
∴ ∥CD（ ）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CD∥ （ ）．
∴ ∥ （平行于同一直线的两直线平行）．
∴∠B+∠F＝180°（ ）．
【变式2】请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：
已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠D．
求证：∠B＝∠C
证明：∵∠1＝∠2，（已知）
又：∵∠1＝∠3，
∴∠2＝ ，（等量代换）
∴AE∥FD
∴∠A＝∠BFD
∵∠A＝∠D（已知）
∴∠D＝ （等量代换）
∴ ∥CD
∴∠B＝∠C ．
【变式3】如图，已知AD∥FE，∠1＝∠2．
（1）试说明DG∥AC；
（2）若∠BAC＝70°，求∠AGD的度数．
【变式4】已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；
（1）求证：DE∥BA．
（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．
1．如图所示，直线a∥b，直线l与a，b相交，若∠1＝110°，∠2的度数为（ ）
A．110°B．55°C．70°D．80°
2．如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝36°，则∠1+∠2的度数是（ ）
A．66°B．72°C．78°D．82°
3．如图，直线l1∥l2，Rt△ABC中，∠B＝60°，直角顶点A在直线l1上，顶点C在直线l2上，已知∠1＝25°，则∠2的度数为 （ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
4．如图两直线m、n与△ABC的边相交，且m、n分别与AB、BC平行．根据图中所示角度，可知∠B的度数为（ ）
A．52°B．58°C．70°D．72°
5．如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝60°，则∠GFH的度数为（ ）
A．20°B．40°C．60°D．80°
6．如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠EFD＝32°，则∠BGE的度数是（ ）
A．62°B．58°C．52°D．48°
7．如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．30°B．40°C．45°D．50°
8．如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则（ ）
A．∠E＝∠FB．∠E+∠F＝180°
C．2∠E+∠F＝360°D．2∠E﹣∠F＝180°
9．图1是长方形纸条，∠DEF＝α，将纸条沿EF折叠成折叠成图2，则图中的∠GFC的度数是（ ）
A．2αB．90°+2αC．180°﹣2αD．180°﹣3α
10．平面镜在光学仪器中有广泛的应用．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图①．一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则∠1＝∠2．如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝30°时，∠DCN的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
11．为增强学生体质，望一观音湖学校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学跳绳时的一个瞬间．数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，则∠AEC＝ ．
12．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE，若∠A+∠B＝100°，则∠FEC＝ ．
13．如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线OB，且与射线OA交于点C，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，连接OP，已知∠POB＝40°，则∠ACP的度数是 ．
14．如图，∠1＝37°，∠2＝37°，∠D＝54°，那么∠BAE＝ °．
15．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠CAE其余符合条件的度数为 ．【例如：图3，当∠CAE＝15°时，BC∥DE】．
16．一副三角尺按如图所示的方式摆放，∠B＝∠EDF＝90°，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠A＝30°，∠F＝45°，求出∠CED的度数．
17．如图，AB∥CD，∠A＝40°，∠C＝∠E，求∠C的度数．
18．如图，点M在CD上，已知∠BAM+∠AMD＝180°，AE平分∠BAM，MF平分∠AMC，请说明AE∥MF的理由．
解：因为∠BAM+∠AMD＝180°（ ），
∠AMC+∠AMD＝180°（ ），
所以∠BAM＝∠AMC（ ）．
因为AE平分∠BAM，
所以 （ ）．
因为MF平分∠AMC，
所以 ，
得 （ ），
所以 （ ）．
19．综合与实践
如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．
（1）当所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM的数量关系是 ；
（2）当所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．
20．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D．
（1）求∠ABN和∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．
第06讲 平行线的性质
知识点01 平行线的性质
两直线平行，同位角相等：
①性质内容：
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成 两直线平行，同位角相等 。
②符号语言：
若AB∥CD，则∠NEB＝∠NFD
两直线平行，内错角相等：
①性质内容：
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成 两直线平行，内错角相等 。
②符号语言：若AB∥CD，则∠AEM＝∠NFD
两直线平行，同旁内角互补：
①性质内容：
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成 两直线平行，同旁内角互补 。
②符号语言：若AB∥CD，则∠BEM＋∠NFD=180°
【即学即练1】
1．用一副三角板拼成如图所示的形状，使得两个三角形的直角边互相平行，则∠1与∠2相等的依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两直线平行，内错角相等
C．两直线平行，同旁内角互补
D．对顶角相等
【分析】由两平行线，内错角相等，即可得到答案．
【解答】解：∠1与∠2相等的依据是两直线平行，内错角相等，
故选：B．
【即学即练2】
2．如图，直线l1∥l2，Rt△ABC中，∠B＝60°，直角顶点A在直线l上，顶点C在直线l2上，已知∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质和平行线的性质得出∠2的度数即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠B＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠ACB+∠1＝30°+25°＝55°，
故选：C．
【即学即练3】
3．如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝48°，则∠2的度数是（ ）
A．148°B．138°C．142°D．132°
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由邻补角的定义即可得出结论．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝48°，
∴∠3＝∠1＝48°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣48°＝132°．
故选：D．
题型01 根据平行线的性质计算
【典例1】如图，a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．48°B．42°C．138°D．52°
【分析】根据平行线的性质和对顶角相等解答即可．
【解答】解：∵∠1＝∠3＝42°，a∥b，
∴∠2＝∠3＝42°，
故选：B．
【变式1】如图，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，则∠C＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【分析】根据邻补角定义得出∠DAC＝80°，根据角的和差求出∠CAE＝30°，根据平行线的性质即可得解．
【解答】解：∵∠DAC+∠BAC＝180°，∠BAC＝100°，
∴∠DAC＝80°，
∵∠DAC＝∠DAE+∠CAE，∠DAE＝50°，
∴∠CAE＝30°，
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE＝30°，
故选：C．
【变式2】如图，∠ECD＝50°，点M是EC上一点，过点M作AB∥CD，若MF平分∠AME，则∠AMF的度数为（ ）
A．60°B．55°C．70°D．65°
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠EMB＝∠ECD＝50°，于是利用平角的定义可得∠AME＝130°，再根据角平分线的定义即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠EMB＝∠ECD＝50°，
∴∠AME＝180°﹣∠EMB＝180°﹣50°＝130°，
∵MF平分∠AME，
∴∠AMF＝65°．
故选：D．
【变式3】如图，AB∥DE，BC∥EF，若∠E＝118°，则∠B的度数为（ ）
A．62°B．72°C．102°D．118°
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求得∠1＝50°，再两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠B．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠1+∠E＝180°，
∵∠E＝118°，
∴∠1＝62°，
∵BC∥EF，
∴∠B＝∠1＝62°．
故选：A．
题型02 平行线与直角三角板
【典例1】如图，将直尺与含45°角的直角三角形叠放在一起，若∠2＝35°，则∠1的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【分析】根据余角的定义和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，
∵∠ACB＝90°，∠2＝35°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣35°＝55°，
∵直尺对边平行，
∴∠1＝∠3＝55°．
故选：C．
【变式1】如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝60°15′，则∠2的大小为（ ）
A．60°15′B．39°45′C．29°85′D．29°45′
【分析】根据平行线的性质得出∠3，进而利用互余解答即可．
【解答】解：如图，
由直尺两边平行，可得：∠1＝∠3＝60°15'，
∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣60°15'＝29°45'，
故选：D．
【变式2】如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．25°
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由两角互余的性质求出∠2的度数即可．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝55°，
∴∠3＝∠1＝55°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣55°＝35°．
故选：A．
【变式3】将等腰直角三角形ADE和直角三角形ABC（其中∠C＝30°）按如图所示的方式摆放，点D在BC上，若AE∥BC，则∠DAC的度数是（ ）
A．12°B．15°C．20°D．25°
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”求出∠CAE＝30°，再根据角的和差求解即可．
【解答】解：∵AE∥BC，∠C＝30°，
∴∠CAE＝∠C＝30°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠DAC＝∠DAE﹣∠CAE＝15°，
故选：B．
题型03 平行线与折叠
【典例1】如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B'，D'处．若∠1＝80°，则∠2的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】根据平行线的性质可得∠AEB′＝80°，从而利用平角定义求出∠BEB′＝100°，然后根据折叠的性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠AEB′＝80°，
∴∠BEB′＝180°﹣∠AEB′＝100°，
由折叠得：
∠2＝∠FEB′＝∠BEB′＝50°，
故选：A．
【变式1】如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．30°C．35°D．55°
【分析】已知四边形ABCD是矩形，则可得AB∥CD，∠C＝90°；联系折叠的性质易得∠BDC′、∠DC′B的度数，由平行线的性质可求出∠ABD的度数；接下来在△BC′D中利用三角形内角和即可求出∠2．
【解答】解：由题意可知：
∠C＝90°，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠1＝35°
由折叠的性质可知：
∠BDC′＝∠1＝35°，∠DC′B＝∠C＝90°．
∴∠2＝180°﹣∠DC′B﹣∠ABD﹣∠BDC′＝20°．
故选：A．
【变式2】如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1＝32°，则∠BMC＝（ ）
A．74°B．106°C．122°D．148°
【分析】利用折叠的性质，相重合的角相等，然后利用平角定理求出角的度数．
【解答】解：∵∠1＝32°，∠AMA1+∠1+∠DMD1＝180°，
∴∠AMA1+∠DMD1＝180°﹣32°＝148°．
∴∠BMA1+∠CMD1＝74°．
∴∠BMC＝∠BMA1+∠CMD1+∠1＝74°+32°＝106°．
故选：B．
【变式3】如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，下列正确的是（ ）
A．若∠1＝∠2，则∠1＝40°B．若∠1＝∠2，则∠1＝55°
C．若∠1＝2∠2，则∠1＝80°D．若∠1＝3∠2，则∠1＝108°
【分析】先根据已知条件画出图形，再根据平行线的性质证出∠ABC＝∠1，再由折叠性质证出2∠2+∠1＝180°，最后按照证出的∠1和∠2的关系式，根据各个选项的中的已知条件，求出∠1的度数，进行判断即可．
【解答】解：如图所示：由平行线的性质可得：
∠ABC＝∠1，
由折叠性质可得：∠CBD+∠ABD＝180°，
即∠2+∠2+∠ABC＝180°，
∴2∠2+∠ABC＝180°，
∴2∠2+∠1＝180°，
A．若∠1＝，则，∠1＝36°，故此选项不符合题意；
B．若∠1＝∠2，则3∠1＝180°，∠1＝60°，故此选项不符合题意；
C．若∠1＝2∠2，则4∠2＝180°，∠2＝45°，∠1＝90°，故此选项不符合题意；
D．若∠1＝3∠2，则5∠2＝180°，∠2＝36°，∠1＝108°，故此选项符合题意；
故选：D．
题型04 平行线间的拐点
【典例1】如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．15°B．25°C．35°D．45°
【分析】过B作BK∥m，推出BK∥n，由平行线的性质得到∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，求出∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝25°，即可得到∠2＝25°．
【解答】解：过B作BK∥m，
∵m∥n，
∴BK∥n，
∴∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，
∵∠ABO＝45°，
∴∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝45°﹣20°＝25°，
∴∠2＝∠ABK＝25°．
故选：B．
【变式1】如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．60°B．50°C．45°D．40°
【分析】根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BDC，然后直角三角形的性质，即可求得∠2的度数．
【解答】解：延长AB交直线n于点D，
∵m∥n，∠1＝50°，
∴∠1＝∠BDC＝50°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠BDC＝90°﹣50°＝40°，
故选：D．
【变式2】如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2+∠3＝360°
C．∠1+∠3＝2∠2D．∠1+∠3＝∠2
【分析】首先过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可得EF∥AB∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，继而可得∠1+∠3＝∠2．
【解答】解：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，
∵∠2＝∠AEF+∠CEF＝∠1+∠3．
故选：D．
【变式3】如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系为（ ）
A．∠A+∠C+∠F＝∠EB．∠A+∠C+∠E+∠F＝360°
C．∠A+∠C+∠E﹣∠F＝180°D．∠A+∠C﹣∠E+∠F＝180°
【分析】过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，得到EM∥FN∥CD，因此∠A+∠AEM＝180°，∠MEF＝∠NFE，∠NFC＝∠C，得到∠MEF＝∠EFC﹣∠C，故∠AEM＝∠AEF+∠C﹣∠EFC，于是得到∠A+∠AEF+∠C﹣∠EFC＝180°．
【解答】解：过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥FN∥CD，
∴∠A+∠AEM＝180°，∠MEF＝∠NFE，∠NFC＝∠C，
∴∠C+∠MEF＝∠NFE+∠NFC＝∠EFC，
∴∠MEF＝∠EFC﹣∠C，
∵∠AEM＝∠AEF﹣∠MEF＝∠AEF+∠C﹣∠EFC，
∴∠A+∠AEF+∠C﹣∠EFC＝180°．
故选：C．
【变式4】如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线AB，CD之间，∠AEG与∠FHG的平分线交于点M．若∠EGH＝84°，∠HFD＝20°，则∠M的度数为（ ）
A．64°B．54°C．42°D．32°
【分析】过点G，M，H作AB的平行线，容易得出∠AEG+∠GHF＝104°，EM和MH是角平分线，所以∠AEM+∠MHF＝52°，进一步求∠M即可．
【解答】解：如图所示，过点G，M，H作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，
∵AB∥CD．
∴AB∥GN∥M P∥KH∥CD，
∵GN∥AB．
∴∠AEG＝∠EGN，
∵GN∥KH，
∴∠NGH＝∠GHK，
∵KH∥CD，
∴∠HFD＝∠KHF，
∵∠EGH＝84°，∠HFD＝20°，
∴∠AEG+∠GHF＝104°，
∵EM和MH是角平分线，
∴∠AEM+∠MHF＝52°，
∵∠HFD＝∠KHF＝20°，
∴∠AEM+∠MHK＝32°，
∵MP∥AB∥KH，
∴∠EMP＝∠AEM，∠PMH＝∠MHK，
∴∠EMP+∠PMH＝32°，
即∠EMH＝32°．
故选：D．
题型05 平行线的判定与性质求值
【典例1】如图，已知∠1＝∠2，下列结论正确的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠1＝∠4C．∠B＝∠5D．∠D＝∠5
【分析】根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得结论．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠5．
故选：D．
【变式1】如图，已知a⊥c，b⊥c，若∠1＝65°，则∠2等于（ ）
A．65°B．90°C．25°D．70°
【分析】先根据a⊥c，b⊥c，可得a∥b，根据平行线的性质可得∠1＝∠3，再根据对顶角的性质即可得出答案．
【解答】解：因为a⊥c，b⊥c，
所以a∥b，
所以∠1＝∠3＝65°，
所以∠2＝∠3＝65°．
故选：A．
【变式2】如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝76°，则∠4＝（ ）°
A．76B．104C．114D．14
【分析】由∠1＝∠2，证出a∥b，由平行线的性质即可得出∠4＝∠3＝76°．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴∠4＝∠3＝76°，
故选：A．
【变式3】如图，若∠1＝55°，∠3+∠4＝180°，则∠2的度数为（ ）
A．115°B．120°C．125°D．135°
【分析】由∠3+∠4＝180°，得到AB∥CD，推出∠5＝∠1＝55°，即可求出∠2＝125°．
【解答】解：∵∠3+∠4＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠5＝∠1＝55°，
∵∠5+∠2＝180°，
∴∠2＝125°．
故选：C．
题型06 平行线的判定与性质证明
【典例1】将下面的解答过程补充完整：如图，已知DE∥BC，EF平分∠CED，∠A＝∠CFE，那么EF与AB平行吗？为什么？
解：因为DE∥BC（已知），
所以∠DEF＝∠CFE（ 两直线平行，内错角相等 ①），
因为EF平分∠CED（已知），
所以∠DEF＝ ∠CFE ②（角平分线的定义），
所以∠CFE＝∠CEF（ 等量代换 ③），
因为∠A＝∠CFE（已知），
所以∠A＝ ∠CEF ④（等量代换），
所以EF∥AB（ 同位角相等，两直线平行 ⑤）．
【分析】先根据两直线平行，内错角相等，得到∠DEF＝∠CFE，再根据角平分线得出∠DEF＝∠CEF，进而得到∠CFE＝∠CEF，再根据∠A＝∠CFE，即可得出∠A＝∠CEF，进而根据同位角相等，两直线平行，判定EF∥BC．
【解答】解：因为DE∥BC（已知），
所以∠DEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等①），
因为EF平分∠CED（已知），
所以∠DEF＝∠CFE②（角平分线的定义），
所以∠CFE＝∠CEF（等量代换③），
因为∠A＝∠CFE（已知），
所以∠A＝∠CEF④（等量代换），
所以EF∥AB（同位角相等，两直线平行⑤）
故答案为：两直线平行，内错角相等，∠CFE．等量代换，∠CEF，同位角相等，两直线平行．
【典例2】如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．
【分析】（1）求出∠ABC+∠A＝180°，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据平行线的性质求出∠DBC，根据垂直推出BD∥EF，根据平行线的性质即可求出∠EFC．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝180°﹣∠A，
∴∠ABC+∠A＝180°，
∴AD∥BC；
（2）∵AD∥BC，∠ADB＝36°，
∴∠DBC＝∠ADB＝36°，
∵BD⊥CD，EF⊥CD，
∴BD∥EF，
∴∠DBC＝∠EFC＝36°
【变式1】如图，∠B＝∠BGD，∠BGC＝∠F．试说明∠B+∠F＝180°．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论根据．
解：∵∠B＝∠BGD（已知），
∴ AB ∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CD∥ EF （ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴ AB ∥ EF （平行于同一直线的两直线平行）．
∴∠B+∠F＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
【分析】由平行线的判定条件可得AB∥CD，CD∥EF，再利用平行线的性质即可得到AB∥EF，从而可证得∠B+∠F＝180°．
【解答】解：∵∠B＝∠BGD（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
∴AB∥EF（平行于同一直线的两直线平行）．
∴∠B+∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：AB；内错角相等，两直线平行；EF；同位角相等，两直线平行；AB；EF；两直线平行，同旁内角互补．
【变式2】请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：
已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠D．
求证：∠B＝∠C
证明：∵∠1＝∠2，（已知）
又：∵∠1＝∠3， 对顶角相等
∴∠2＝ ∠3 ，（等量代换）
∴AE∥FD 同位角相等，两直线平行
∴∠A＝∠BFD 两直线平行，同位角相等
∵∠A＝∠D（已知）
∴∠D＝ ∠BFD （等量代换）
∴ AB ∥CD 内错角相等，两直线平行
∴∠B＝∠C 两直线平行，内错角相等 ．
【分析】先根据题意得出∠2＝∠3，故可得出AE∥FD，故∠A＝∠BFD，再由∠A＝∠D可得出∠D＝∠BFD，
故可得出AB∥CD，进而可得出结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），
又∵∠1＝∠3对顶角相等，
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AE∥FD （同位角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠BFD （两直线平行，同位角相等）．
∵∠A＝∠D（已知），
∴∠D＝∠BFD（等量代换），
∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行）．
∴∠B＝∠C （两直线平行，内错角相等）．
故答案为：对顶角相等；∠3；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠BFD；AB，内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【变式3】如图，已知AD∥FE，∠1＝∠2．
（1）试说明DG∥AC；
（2）若∠BAC＝70°，求∠AGD的度数．
【分析】（1）只要证明∠2＝∠DAC即可．
（2）利用平行线的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）∵AD∥EF，
∴∠1＝∠DAC，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DAC，
∴DG∥AC．
（2）∵DG∥AC，
∴∠AGD+∠BAC＝180°，
∵∠BAC＝70°，
∴∠AGD＝110°
【变式4】已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；
（1）求证：DE∥BA．
（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质与判定方法证明即可；
（2）设∠EDC＝x°，由∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC可得∠BFD＝∠BDF＝2x°，根据平行线的性质可得∠DFB＝∠FDE＝2x°，再根据平角的定义列方程可得x的值，进而得出∠B的度数．
【解答】解：（1）证明：∵DF∥CA，
∴∠DFB＝∠A，
又∵∠FDE＝∠A，
∴∠DFB＝∠FDE，
∴DE∥AB；
（2）设∠EDC＝x°，
∵∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，
∴∠BFD＝∠BDF＝2x°，
由（1）可知DE∥BA，
∴∠DFB＝∠FDE＝2x°，
∴∠BDF+∠EDF+∠EDC＝2x°+2x°+x°＝180°，
∴x＝36，
又∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝36°．
1．如图所示，直线a∥b，直线l与a，b相交，若∠1＝110°，∠2的度数为（ ）
A．110°B．55°C．70°D．80°
【分析】由推出平行线的性质推出∠1+∠3＝180°，又∠1＝110°，求出∠3＝70°，由对顶角的性质得到∠2＝∠3＝70°．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1+∠3＝180°，
∵∠1＝110°，
∴∠3＝70°，
∴∠2＝∠3＝70°．
故选：C．
2．如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝36°，则∠1+∠2的度数是（ ）
A．66°B．72°C．78°D．82°
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝＝72°，
∵直线l1∥l2，
∴∠1+∠ABC+∠2+∠BAC＝180°，即∠1+72°+∠2+36°＝180°，
∴∠1+∠2＝72°．
故选：B．
3．如图，直线l1∥l2，Rt△ABC中，∠B＝60°，直角顶点A在直线l1上，顶点C在直线l2上，已知∠1＝25°，则∠2的度数为 （ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【分析】由直角三角形的性质求出∠ACB＝30°，得到∠BCD＝∠ACB+∠1＝55°．由平行线的性质推出∠2＝∠BCD＝55°．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠1＝55°，
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠BCD＝55°．
故选：C．
4．如图两直线m、n与△ABC的边相交，且m、n分别与AB、BC平行．根据图中所示角度，可知∠B的度数为（ ）
A．52°B．58°C．70°D．72°
【分析】由两直线平行，同旁内角互补可得出∠A和∠C的度数，再根据三角形内角和可得出∠B的度数．
【解答】解：因为m、n分别与AB、BC平行，
所以∠C+122°＝180°，∠A+110°＝180°，
所以∠C＝58°，∠A＝70°，
所以∠B＝180°﹣∠C＝∠A＝52°．
故选：A．
5．如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝60°，则∠GFH的度数为（ ）
A．20°B．40°C．60°D．80°
【分析】先利用平行线的性质可得∠FED＝∠GFB＝60°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，∠FED＝60°，
∴∠FED＝∠GFB＝60°，
∵∠HFB＝20°，
∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝40°，
故选：B．
6．如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠EFD＝32°，则∠BGE的度数是（ ）
A．62°B．58°C．52°D．48°
【分析】过点E作AB的平行线HI，利用平行线的性质即可求解．
【解答】解：过点E作直线HI∥AB．
∵AB∥CD，AB∥HI，∠EFD＝32°，
∴CD∥HI，
∴∠HEF＝∠EFD＝32°，
∵GE⊥EF于点E，
∴∠GEF＝90°，
∴∠GEH＝∠GEF﹣∠HEF＝90°﹣32°＝58°，
∵AB∥HI，
∴∠BGE＝∠GEH＝58°．
故选：B．
7．如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．30°B．40°C．45°D．50°
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到∠2．
【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝50°，
∴∠1＝∠3＝50°，
∵直线AB⊥AC，
∴∠2+∠3＝90°．
∴∠2＝40°．
故选：B．
8．如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则（ ）
A．∠E＝∠FB．∠E+∠F＝180°
C．2∠E+∠F＝360°D．2∠E﹣∠F＝180°
【分析】过点E作EM∥AB，利用平行线的性质可证得∠BED＝（∠ABF+∠CDF），可以得到∠BED与∠BFD的关系．
【解答】解：过点E作EM∥AB，如图：
∵AB∥CD，EM∥AB
∴CD∥EM，
∴∠ABE＝∠BEM，∠CDE＝∠DEM，
∵∠ABF的平分线与∠CDF的平分线相交于点E，
∴∠ABE＝∠ABF，∠CDE＝∠CDF，
∴∠BED＝∠BEM+∠DEM＝（∠ABF+∠CDF），
∵∠ABF+∠BFD+∠CDF＝360°，
∴∠ABF+∠CDF＝360°﹣∠BFD，
∴∠BED＝（360°﹣∠BFD），
整理得：2∠BED+∠BFD＝360°．
故选：C．
9．图1是长方形纸条，∠DEF＝α，将纸条沿EF折叠成折叠成图2，则图中的∠GFC的度数是（ ）
A．2αB．90°+2αC．180°﹣2αD．180°﹣3α
【分析】由折叠得∠GEF＝α，由长方形知FC∥GD，AE∥BG，从而得到∠FGD，再由平行线的性质得到∠GFC的度数．
【解答】解：由折叠和∠DEF＝α，得∠GEF＝α，
由长方形得，C∥GD，AE∥BG，
∴∠GFC+∠FGD＝180°，∠EFB＝∠DEF＝α，
∴∠FGD＝∠GEF+∠EFB＝2α，
∴∠GFC＝180°﹣2α，
故选：C．
10．平面镜在光学仪器中有广泛的应用．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图①．一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则∠1＝∠2．如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝30°时，∠DCN的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】由题意得∠ABM＝∠CBO，∠BCO＝∠DCN，根据平角的定义可求出∠ABC的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCD的度数，从而求出∠DCN
的度数．
【解答】解：由题意得∠ABM＝∠CBO，∠BCO＝∠DCN，
∵∠ABM＝30°，
∴∠CBO＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠CBO＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝60°，
∵∠BCD+∠BCO+∠DCN＝180°，
∴∠DCN＝60°，
故选：C．
11．为增强学生体质，望一观音湖学校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学跳绳时的一个瞬间．数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，则∠AEC＝ 35° ．
【分析】过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，利用平行线的性质求得∠FEA＝110°，∠FEC＝75°，进而可求解．
【解答】解：过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠EAB+∠FEA＝180°，∠ECD+∠FEC＝180°，
∵∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，
∴∠FEA＝110°，∠FEC＝75°，
∴∠AEC＝∠FEA﹣∠FEC＝35°，
故答案为：35°．
12．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE，若∠A+∠B＝100°，则∠FEC＝ 20° ．
【分析】根据折叠的性质、平行线的性质和三角形内角和，即可得到结论．
【解答】解：由题意可得，
∠AED＝∠DEF，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠C，∠DEF＝∠EFC，
∴∠C＝∠EFC，
∵∠A+∠B＝100°，
∴∠C＝180°﹣100°＝80°，
∴∠EFC＝80°，
∵∠C+∠EFC+∠FEC＝180°，
∴∠FEC＝180°﹣80°﹣80°＝20°，
故答案为：20°．
13．如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线OB，且与射线OA交于点C，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，连接OP，已知∠POB＝40°，则∠ACP的度数是 80° ．
【分析】根据两把完全相同的长方形直尺，可知OP平分∠AOB，又∠POB＝40°，进而可得∠AOB的度数．再由长方形直尺可得CP∥OB，利用平行线的性质可求解．
【解答】解：由题意，得OP平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠POB＝2×40°＝80°，
由长方形直尺可知：CP∥OB，
∴∠ACP＝∠AOB＝80°，
故答案为：80°．
14．如图，∠1＝37°，∠2＝37°，∠D＝54°，那么∠BAE＝ 54 °．
【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．
【解答】解：∵∠1＝37°，∠2＝37°，
∴∠1＝∠2，
∴AE∥CD，
∴∠BAE＝∠D＝54°，
故答案为：54．
15．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠CAE其余符合条件的度数为 60°或105°或135° ．【例如：图3，当∠CAE＝15°时，BC∥DE】．
【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数，再找到关于A点中心对称的情况即可求解．
【解答】解：如图3，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；
如图，当AE∥BC时，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；
如图，当DE∥AB（或AD∥BC）时，∠CAE＝45°+60°＝105°；
当DE∥AC时，如图①，∠CAE＝45°+90°＝135°．
综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为60°或105°或135°，
故答案为：60°或105°或135°．
16．一副三角尺按如图所示的方式摆放，∠B＝∠EDF＝90°，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠A＝30°，∠F＝45°，求出∠CED的度数．
【分析】由直角三角形的性质求出∴∠ECB＝60°，∠FED＝45°，由平行线的性质推出∠FEC＝∠ECB＝60°，即可求出∠CED＝∠FEC﹣∠FED＝15°．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝30°，
∴∠ECB＝90°﹣∠A＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠ECB＝60°，
∵∠EDF＝90°，∠F＝45°，
∴∠FED＝90°﹣∠F＝45°，
∴∠CED＝∠FEC﹣∠FED＝60°﹣45°＝15°．
17．如图，AB∥CD，∠A＝40°，∠C＝∠E，求∠C的度数．
【分析】根据AB∥CD，则∠A＝∠1＝40°，再根据三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠1＝40°，
∵∠C+∠E＝∠1，∠C＝∠E，
∴2∠C＝40°，
∴∠C＝20°．
18．如图，点M在CD上，已知∠BAM+∠AMD＝180°，AE平分∠BAM，MF平分∠AMC，请说明AE∥MF的理由．
解：因为∠BAM+∠AMD＝180°（ 已知 ），
∠AMC+∠AMD＝180°（ 平角的定义 ），
所以∠BAM＝∠AMC（ 等量代换 ）．
因为AE平分∠BAM，
所以 ∠BAM （ 角平分线的定义 ）．
因为MF平分∠AMC，
所以 ∠AMC ，
得 ∠1＝∠2 （ 等量代换 ），
所以 AE∥MF （ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据角平分线的定义，平行线的判定定理完成填空即可求解．
【解答】解：因为∠BAM+∠AMD＝180°（已知），∠AMC+∠AMD＝180°（平角的定义），
所以∠BAM＝∠AMC（等量代换）．
因为AE平分∠BAM，
所以∠BAM（角平分线的定义）．
因为MF平分∠AMC，
所以∠AMC，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以AE∥MF（内错角相等，两直线平行）
故答案为：已知；平角的定义；等量代换；∠BAM；角平分线的定义；∠AMC；∠1＝∠2；等量代换；AE∥MF；内错角相等，两直线平行．
19．综合与实践
如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．
（1）当所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM的数量关系是 ∠PFD+∠AEM＝90° ；
（2）当所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．
【分析】（1）作PH∥AB，根据平行线的性质得到∠AEM＝∠HPM，∠PFD＝∠HPN，根据∠MPN＝90°解答；
（2）根据平行线的性质得到∠PFD+∠BHN＝180°，根据∠P＝90°解答；
（3）根据平行线的性质、对顶角相等计算．
【解答】解：（1）如图①，作PH∥AB，
则∠AEM＝∠HPM，
∵AB∥CD，PH∥AB，
∴PH∥CD，
∴∠PFD＝∠HPN，
∵∠MPN＝90°，
∴∠PFD+∠AEM＝90°，
故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；
（2）猜想：∠PFD−∠AEM＝90°；
理由如下：如图②，
∵AB∥CD，
∴∠PFD+∠BHN＝180°，
∵∠BHN＝∠PHE，
∴∠PFD+∠PHE＝180°，
∵∠P＝90°，
∴∠PHE+∠PEB＝90°，
∵∠PEB＝∠AEM，
∴∠PHE+∠AEM＝90°，
∴∠PFD−∠AEM＝90°；
（3）如图②，∵∠P＝90°，∠PEB＝15°，
∴∠PHE＝∠P−∠PEB＝90°−15°＝75°，
∴∠BHF＝∠PHE＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠DFH+∠BHF＝180°，
∴∠DFH＝180°−∠BHF＝105°，
∴∠OFN＝∠DFH＝105°，
∵∠DON＝20°，
∴∠N＝180°−∠DON−∠OFN＝55°．
20．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D．
（1）求∠ABN和∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．
【分析】（1）由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；由角平分线的定义可以证明∠CBD＝∠ABN，即可求出结果；
（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1，由AM∥BN得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，根据BD平分∠PBN得∠PBN＝2∠DBN，即可推出结论；
（3）可先证明∠ABC＝∠DBN，由（1）∠ABN＝116°，∠CBD＝58°，所以∠ABC+∠DBN＝58°，则可求出∠ABC的度数．
【解答】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°．
∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝120°．
∵BC，BD分别平分∠ABP，∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°，
故答案为：120°，60°；
（2）∠APB与∠ADB之间的数量关系不变，∠APB＝2∠ADB；
理由：∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN．
又∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN
，∴∠APB＝2∠ADB；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN．
∵∠ACB＝∠ABD，
∴∠CBN＝∠ABD，即∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN．
∵BC，BD分别平分∠ABP，∠PBN，
∴．
课程标准
学习目标
①平行线的性质
掌握两直线平行，同位角相等，并能够灵活应用。
掌握两直线平行，内错角相等，并能够灵活应用。
掌握两直线平行，同旁内角互补，并能够灵活应用。
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掌握两直线平行，同位角相等，并能够灵活应用。
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