专题53 巧用图形的平移解决几何问题-中考数学重难点专项突破（全国通用）

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【知识精讲】
应用探究：（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是 ；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是 ；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是 ．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对等边三角形ABC及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到等边三角形△A′B′C′及其内部的点，其中点A（﹣3，0），B（3，0）的对应点分别为A′（﹣1，2），B′（2，2）．已知等边三角形ABC内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．
解：（1）点A′：﹣3×+1＝﹣1+1＝0，
设点B表示的数为a，则a+1＝2，
解得a＝3，
设点E表示的数为b，则b+1＝b，
解得b＝；
故答案为：0，3，；
（2）根据题意，得：，
解得：，
设点F的坐标为（x，y），
∵对应点F′与点F重合，
∴x+＝x，y+2＝y，
解得x＝1，y＝4，
所以，点F的坐标为（1，4）．
【知识精讲】
1、如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），
点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，
此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为 .
【解析】作AM⊥x轴于点M.根据等边三角形的性质得OA=OB=2，∠AOB=60°，
在Rt△OAM中,利用含30°角的直角三角形的性质求出OM=1，AM=，从而求得
点A的坐标为（1，），直线OA的解析式为y=x,当x=3时，y=3,所以
点A′的坐标为（3，3），所以点A′是由点A向右平移2个单位，向上平移
23个单位后得到的，于是得点B′的坐标为（4,2）.
【答案】（4,23）
2、在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,线段AD是BC边上的中线,如图1,将△ADC沿直线BC平移,使点D与点C重合,得到△FCE,如图2,再将△FCE绕点C顺时针旋转,设旋转角为α(0°＜α≤90°),连接AF,DE．
(1)在旋转过程中,当∠ACE=150°时,求旋转角α的度数；
(2)探究旋转过程中四边形ADEF能形成哪些特殊四边形？请说明理由．
【解析】(1)由题意分析可知此问需分两种情况讨论：①点E和点D在直线AC两侧；②点E和点D在直线AC同侧；(2)在旋转过程中,总是存在AC=CE,DC=CE.由图形的对称性可知,将会出现两种对角线相等的特殊四边形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋转的性质,较易证明．
【答案】：(1)在图1中,∵∠BAC=90°,∠B=30°,
∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°．
如图2,当点E和点D在直线AC两侧时,由于∠ACE=150°,
∴α=150°-120°=30°.当点E和点D在直线AC同侧时,
由于∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°,∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=150°-60°=90°.
∴α=180°-∠DCE=90°.∴旋转角α为30°或90°;
(2)四边形ADEF能形成等腰梯形和矩形．
∵∠BAC=90°,∠B=30°,∴AC=BC．
又∵AD是BC边上的中线,∴AD=DC=BC=AC.∴△ADC为正三角形．
①当α=60°时,如图3,∠ACE=120°+60°=180°.
∵CA=CE=CD=CF,
∴四边形ADEF为矩形．
②当α≠60°时,∠ACF≠120°,∠DCE=360°-60°-60°-∠ACF≠120°．
显然DE≠AF．∵AC=CF,CD=CE,
∴2∠FAC+∠ACF=2∠CDE+∠DCE=180°.
∵∠ACF+∠DCE=360°-60°-60°=240°,
∴∠FAC+∠CDE=60°.∴∠DAF+∠ADE=120°+60°=180°.∴AF∥DE．
又∵DE≠AF,AD=EF,∴四边形ADEF为等腰梯形．
3、如图，点C、M、N在射线DQ上，点B在射线AP上，且AP∥DQ，∠D＝∠ABC＝80°，∠1＝∠2，AN平分∠DAM．
（1）试说明AD∥BC的理由；
（2）试求∠CAN的度数；
（3）平移线段BC．
①试问∠AMD：∠ACD的值是否发生变化？若不会，请求出这个比值；若会，请找出相应变化规律；
②若在平移过程中存在某种位置，使得∠AND＝∠ACB，试求此时∠ACB的度数．
解：（1）∵AP∥DQ，
∴∠D+∠DAB＝180°．
∵∠D＝80°，
∴∠DAB＝100°．
∵∠ABC＝80°，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
（2）∵AN平分∠DAM，
∴∠NAM＝∠NAD＝∠DAM．
∵∠1＝∠2，
∴∠CAM＝∠BAM．
∴∠NAM+∠CAM＝∠DAM+∠BAM，
即：∠CAN＝∠DAB
∵∠DAB＝100°，
∴∠CAN＝50°，
（3）①不会．
∵AP∥DQ，
∴∠AMD＝∠MAB＝2∠1，∠ACD＝∠1，
∴∠AMD：∠ACD＝2，
②∵AP∥DQ，AD∥BC，
∴∠AND＝∠NAB，∠ACB＝∠DAC，
∵∠AND＝∠ACB，
∴∠NAB＝∠DAC，
∴∠NAB﹣∠NAC＝∠DAC﹣∠NAC，
即：∠1＝∠DAN．
∴∠1＝∠2＝∠DAN＝∠MAN＝25°，
∴∠ACB＝∠DAC＝75°．
4、如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标是（1，3），顶点B的坐标是（﹣2，4），顶点C的坐标是（﹣2，﹣1），现在将△ABC平移得到△A′B′C′，平移后点B和点A刚好重合．其中点A′，B′，C′分别为点A，B，C的对应点．
（1）在图中画出△A′B′C′；
（2）直接写出A′、C′点的坐标；
（3）若AB边上有一点P，P点的坐标是（a，b），平移后的对应点是P′，请直接写出P′点的坐标．
解：（1）△A′B′C′如图：
（2）∵平移后点B和点A刚好重合，
∴平移后，对应点的横坐标增加3，纵坐标减小1，
又∵顶点A的坐标是（1，3），顶点C的坐标是（﹣2，﹣1），
∴A′、C′点的坐标分别为（4，2），（1，﹣2）；
（3）∵P点的坐标是（a，b），
∴平移后的对应点P′的坐标是（a+3，b﹣1）．
5、如图所示，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）
（1）将△ABC沿x轴正方形平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，点B1坐标为 ；
（2）将△A1B1C1沿y轴正方向平移4个单位长度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，点C2的坐标为 ；
（3）点P（a，b）是△ABC内一点，经过上述2次平移后对应点坐标为 ；△A2B2C2的面积为 ．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点B1坐标为（1，﹣4）；
故答案为：（1，﹣4）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（2，2）；
故答案为：（2，2）；
（3）点P（a，b）沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移4个单位长度后，对应点的坐标为（a+3，b+4），△A2B2C2的面积为．
故答案为：（a+3，b+4），．
6、如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．
（1）填空：AB与CD的关系为 ∠B与∠D的大小关系为 ；
（2）如图2，若∠B＝60°，F、E为BC的延长线上的点，∠EFD＝∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．
（3）在（2）中，若∠FDG＝α，其它条件不变，则∠B＝ ．
解：（1）AB∥CD，且AB＝CD，∠B与∠D相等；
（2）∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠B，
由三角形的外角性质得，∠CDF＝∠DFE﹣∠DCE，
∴∠CDG＝∠CDF+∠FDG＝∠DFE﹣∠DCE+∠FDG，
在△DEF中，∠DEF＝180°﹣2∠DFE，
在△DFG中，∠DGF＝180°﹣∠FDG﹣∠DFE，
∴∠EDG＝∠DGF﹣∠DEF＝180°﹣∠FDG﹣∠DFE﹣（180°﹣2∠DFE）＝2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE，
∵DG平分∠CDE，
∴∠CDG＝∠EDG，
∴∠DFE﹣∠DCE+∠FDG＝2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE，
∴∠FDG＝∠DCE，
即∠FDG＝∠B，
∵∠B＝60°，
∴∠FDG＝×60°＝30°；
（3）思路同（2），
∵∠FDG＝α，
∴∠B＝2α，
故答案为：（1）AB∥CD，且AB＝CD，相等；（3）2α．
7、如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC＝50°，∠A1D1C＝30°，求∠A1EC的度数．
（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC的度数．
解：（1）如图1所示：
∵直线PQ∥MN，∠ADC＝30°，
∴∠ADC＝∠QAD＝30°，
∴∠PAD＝150°，
∵∠PAC＝50°，AE平分∠PAD，
∴∠PAE＝75°，
∴∠CAE＝25°，
可得∠PAC＝∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECA＝25°，
∴∠AEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；
（2）如图2所示：
∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向右平移到A1D1，PQ∥MN，
∴∠QA1D1＝30°，
∴∠PA1D1＝150°，
∵A1E平分∠AA1D1，
∴∠PA1E＝∠EA1D1＝75°，
∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，
∴∠CAQ＝130°，∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD1，
∴∠ACE＝25°，
∴∠CEA1＝360°﹣25°﹣130°﹣75°＝130°；
（3）如图3所示：
过点E作FE∥PQ，
∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向左平移到A1D1，PQ∥MN，
∴∠QA1D1＝30°，
∵A1E平分∠AA1D1，
∴∠QA1E＝∠2＝15°，
∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，
∴∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD1，
∴∠ACE＝∠ECN＝∠1＝25°，
∴∠CEA1＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°．阅读理解：在平面直角坐标系内，如果把一个点的横坐标都加（或减去）一个正数k，就是把这个点向右（或向左）平移k个单位长度；反之如果把一个点向右（或向左）平移k个单位长度，就是把这个点的横坐标都加（或减去）一个正数k．
在平面直角坐标系内，如果把一个点的纵坐标都加（或减去）一个正数k，就是把这个点向上（或向下）平移k个单位长度；反之如果把一个点向上（或向下）平移k个单位长度；就是把这个点的纵坐标都加（或减去）一个正数k．