2024北京高三期末考试数学新定义汇编（学生及教师版）

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（1）判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；
①；②
（2）若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：；
（3）若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值．
【答案】（1）、均是周期数列，数列周期为1（或任意正整数），数列周期为6
（2）证明见解析 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由周期数列的定义求解即可；
（2）由“同根数列”的定义求解即可；
（3）是奇数时，首先证明不存在数列满足条件，其次证明存在数列满足条件.当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件,其次证明时存在数列满足条件．
【小问1详解】
、均是周期数列，理由如下：
因为，
所以数列是周期数列，其周期为1（或任意正整数）．
因，
所以．
所以数列是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）．
【小问2详解】
假设不成立，则有，即对于，都有．
因为，，所以．
又因为，，所以．
所以，
所以，与的最小值是3矛盾．
所以．
【小问3详解】
当是奇数时，首先证明不存在数列满足条件．
假设，即对于，都有．
因为，
所以，
即，及．
又时，，
所以，与的最小值是矛盾．
其次证明存在数列满足条件．
取
及，
对于，都有．
当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件．
假设，即对于，都有．
因为，
所以，
即，及．
又时，，
所以，与的最小值是矛盾．
其次证明时存在数列满足条件．
取
及，
对于，都有．
综上，当是奇数时，的最大值为；
当是偶数时，的最大值为．
【点睛】关键点睛：本题(3)的突破口是利用“同根数列”的定义分类讨论，当是奇数时，首先证明不存在数列满足条件，其次证明存在数列满足条件.当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件，其次证明时存在数列满足条件．
2.（2024.1西城区高三期末21 ） 给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中.
（1）当，时，写出所有满足的数对序列；
（2）当时，证明：；
（3）当为奇数时，记的最大值为，求.
【答案】（1）或
（2）证明详见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用列举法求得正确答案.
（2）利用组合数公式求得的一个大致范围，然后根据序列满足的性质证得.
（3）先证明，然后利用累加法求得.
【小问1详解】
依题意，当，时有：
或.
【小问2详解】
当时，
因为与不同时在数对序列中，
所以，所以每个数至多出现次，
又因为，
所以只有对应的数可以出现次，
所以.
【小问3详解】
当为奇数时，先证明.
因为与不同时在数对序列中，
所以，
当时，构造恰有项，且首项的第个分量与末项的第个分量都为.
对奇数，如果和可以构造一个恰有项的序列，且首项的第个分量与末项的第个分量都为，
那么多奇数而言，可按如下方式构造满足条件的序列：
首先，对于如下个数对集合：
，
，
……
，
，
每个集合中都至多有一个数对出现在序列中，
所以，
其次，对每个不大于的偶数，
将如下个数对并一组：
，
共得到组，将这组对数以及，
按如下方式补充到的后面，
即
.
此时恰有项，所以.
综上，当为奇数时，
.
【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：
(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.
(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
3.（2024.1大兴区高三期末21）若各项为正的无穷数列满足：对于，，其中为非零常数，则称数列为数列.记.
（1）判断无穷数列和是否是数列，并说明理由；
（2）若是数列，证明：数列中存在小于1的项；
（3）若是数列，证明：存在正整数，使得.
【答案】（1）数列，不是数列，理由见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）代入定义计算即可得；
（2）借助题目条件，借助放缩将等式转换为不等式后结合数列的函数性质即可得；
（3）由题意将表示出来后，使用放缩技巧，通过放缩法结合裂项相消法求和以表示出与有关不等式即可证明.
【小问1详解】
是数列，不是数列，理由如下：
当时，，，
则，故是数列；
当时，，，
则，故不是数列；
【小问2详解】
若是数列，则且，
此时数列是以为首项，为公差的等差数列，
故，当时，则总存在正整数，使，
与矛盾，故恒成立，，
有，，
即，，有，
则，
由随的增大而增大，
故总存在正整数使，即数列中存在小于1的项；
【小问3详解】
由（2）得，故，
即
，
则
，由随的增大而增大，
且时，，
故对任意的，总存在正整数使，
即总存在正整数，使得.
【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是通过放缩法结合裂项相消法求和以表示出与有关不等式.
4.（2024.1海淀区高三期末21）21. 对于给定的奇数，设是由个实数组成的行列的数表，且中所有数不全相同，中第行第列的数，记为的第行各数之和，为的第列各数之和，其中.记.设集合或，记为集合所含元素的个数.
（1）对以下两个数表，，写出，，，的值；
（2）若中恰有个正数，中恰有个正数.求证：；
（3）当时，求的最小值.
【答案】（1），；，
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）按定义求出，，，，进行求解即可.
（2）分两种情况进行证明，即①或，②且分别证明即可.
（3）因为，分情况讨论①若或时；②若或；③若，进行求解.
【小问1详解】
，；，.
由定义可知：将数表中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），，的值不变.因为为奇数，，所以，均不为0.
【小问2详解】
当或时，不妨设，即，.
若，结论显然成立；
若，不妨设，，则，，.
所以，结论成立
当且时，不妨设，，，，
则当时，；当时，.
因为当，时，，，
所以.
所以.
同理可得：，，.
所以.
【小问3详解】
当时，的最小值为.对于如下的数表，.
下面证明：.
设中恰有个正数，中恰有个正数，.
①若或，不妨设，即，.
所以当时，.
由中所有数不全相同，记数表中1的个数为，则，且
，.
所以.
②由①设且.若或，不妨设，则由（2）中结论知：.
因为，
所以.
③由①②设且.
若，则由（2）中结论知：.
因为，
所以.
若，，不妨设，，，且，由（2）中结论知：.所以.
若数表中存在为1，将其替换为后得到数表.
因为，，
所以.
所以将数表中第行第列为1的数替换为后值变小.
所以不妨设.
因为，，
所以，故的最小值为.
5.（2024.1朝阳区高三期末21）21. 已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定.
（1）若，写出及的值；
（2）若数列是等差数列，求数列的通项公式；
（3）设集合，求证：且.
【答案】（1），，，
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据集合新定义求出前几项判断即可；
（2）通过集合新定义结合等差数列性质求出，然后利用反证法结合数列的单调性求得，利用等差数列定义求解通项公式即可；
（3）先利用集合性质得数列是递增数列，然后利用反证法结合数列的单调性证明，由集合新定义及集合相等证明．
【小问1详解】
因为，所以，
则，所以，，
又，所以，，所以；
【小问2详解】
由题可知，所以，所以.
若，则，，所以，，与是等差数列矛盾.
所以.设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以.
假设存在使得.设，由得.
由得，，与等差数列矛盾.
所以对任意都有.所以数列是等差数列，.
【小问3详解】
因为对于，，所以.
所以，即数列是递增数列.
先证明.假设，设正整数.
由于，故存在正整数使得，所以.
因为是各项均为正整数的递增数列，所以.所以，.
所以，.
又因为数列是递增数列，所以，矛盾.所以.
再证明.由题可知.
设且，因为数列是各项均为正整数的递增数列，
所以存在正整数，使得.令.
若，则，即，所以.所以，所以.
若，则，所以.
所以，所以.
因为，所以.所以.
综上，且.
【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.
6.（2024.1东城区高三期末 ）若有穷数列满足：，则称此数列具有性质.
（1）若数列具有性质，求值；
（2）设数列A具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列；
（3）把具有性质，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在.
【答案】（1）2；2；4
（2）证明见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）由数列具有性质定义可得；
（2）由数列具有性质的定义和等差数列的定义可得.
（3）分、和三种情况讨论即得.
【小问1详解】
由已知可得数列共有5项，所以，
当时，有，
当时，有，所以，
当时，有，所以，
【小问2详解】
数列A具有性质，且为奇数，令，
可得，
设，
由于当时，存在正整数，使得，
所以这项均为数列A中的项，
且，
因此一定有
即，
这说明：为公差为的等差数列，再数列A具有性质，
以及可得，数列A为等差数列；
【小问3详解】
当时，
设A：，，， ，，
由于数列具有性质，且满足，
由和，得，
当时，不妨设，此时：，，此时结论成立，
当时，同理可证，所以结论成立.
当时，不妨设，反例如下：
当时，不妨设，反例如下：
综上所述，符合题意.
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.
7.（2024.1石景山区高三期末21）对于项数为的数列，若数列满足，，其中，表示数集中最大的数，则称数列是的数列.
（1）若各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列；
（2）证明：若数列中存在使得，则存在使得成立；
（3）数列是的数列，数列是的数列，定义其中．求证：为单调递增数列的充要条件是为单调递增数列．
【答案】（1），，，
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据数列的数列相关条件即可得出所有的数列；
（2）利用反证法，假设不存在使得成立，得出与假设不成立，即可得出结论；
（3）通过证明得出为单调递增，再通过为单调递增数列证明为单调递增数列，即可得出结论.
【小问1详解】
由题意，
各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列为：
，，，
【小问2详解】
由题意，
假设不存在使得成立，
根据数列定义可知，，
所以，则，
即，
所以，所以，这与已知矛盾，
故若此数列中存在使得，
则存在使得成立．
【小问3详解】
由题意，
必要性：
，，，
则．
因为为单调递增数列，
所以对所有的，或，
否则．
因此，所有的同号或为，即，
所以为单调递增数列．
充分性：
因为为单调递增数列，，且，
所以只能，所以同号或为，
所以对所有的，或，
所以．
所以，即为单调递增数列．
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，数列的单调性证明，反证法，考查学生的分析证明能力，具有较强的综合性.
8.（2024.1昌平山区高三期末21）已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集．
（1）若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由；
（2）若，证明：；
（3）设，若，求的最小值．
【答案】21. 31是可表数，1024不是可表数，理由见解析；
22. 证明见解析； 23. 8
【解析】
【分析】（1）根据定义赋值及数列求和计算验证即可；
（2）根据定义判定则有，从而可知，利用集合间的基本关系得出中最多含有个元素，解不等式即可证明；
（3）利用第二问的结论可设，有，然后利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实确定的最小值为满足成立的，代入求即可.
【小问1详解】
31是，1024不是，理由如下：
由题意可知，
当时，有，
显然若时，，
而，
故31是可表数，1024不是可表数；
【小问2详解】
由题意可知若，即，
设，即使得，
所以，且成立，故，
所以若，则，
即中的元素个数不能超过中的元素，
对于确定的，中最多有个元素，
所以；
【小问3详解】
由题意可设，使，
又，
所以，即，
而，
即当时，取时，为可表数，
因为，
由三进制的基本事实可知，对任意的，存在，
使，
所以
，
令，则有，
设，
由的任意性，对任意的，
都有，
又因为，所以对于任意的，为可表数，
综上，可知的最小值为，其中满足，
又当时，，
所以的最小值为.
【点睛】难点点睛：第二问关键是根据定义可确定中元素互为相反数，再利用集合间的基本关系确定元素个数的关系计算即可；第三问利用第二问的结论可设，有，利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实设任意的，存在，使，得出并结合定义确定为可表数，从而确定的最小值为满足成立的，代入求即可.
（2024.1通州区高三期末21）已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列：
①；
②对于，使得的正整数对有k个.
（1）写出所有4的1减数列；
（2）若存在m的6减数列，证明：；
（3）若存在2024的k减数列，求k的最大值.
解：（1）数列和数列3，1.
（2）因为对于，使得的正整数对有个，且存在的6减数列，所以，得.
①当时，因为存在的6减数列，
所以数列中各项均不相同.
所以.
②当时，因为存在的6减数列，
所以数列各项中必有不同的项.
所以.
若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2.
所以，不符合题意.
所以.
③当时，因为存在的6减数列，
所以数列各项中必有不同的项.
所以.
综上所述，若存在的6减数列，则.
（也可以就的取值展开讨论或者直接利用枚举法给出证明）
（3）若数列中的每一项都相等，则.
若，所以数列存在大于1的项.
若末项，将拆分成个1后变大，
所以此时不是最大值.
所以.
当时，若，交换的顺序后变为，
所以此时不是最大值.
所以.
若，所以.
所以将改为，并在数列末尾添加一项1，所以变大.
所以此时不是最大值.
所以.
若数列中存在相邻的两项，设此时中有项为2，将改为2，并在数列末尾添加项1后，的值至少变为，
所以此时不是最大值.
所以数列的各项只能为2或1.
所以数列为的形式.
设其中有项为2，有项为1，
因为存在2024的减数列，
所以，
所以.
所以当且仅当时，取最大值为512072.
所以若存在2024的减数列，的最大值为512072.
10.（2024.1房山区高三期末21）若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”.
（1）若具有性质“”，且，，，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为2的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并说明理由；
（3）设既具有性质“”，又具有性质“”，其中，，，求证：具有性质“”.
【答案】（1）
（2）不具有性质“”，理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由具有性质“”，可得当时，，结合题意计算即可得；
（2）由题意计算出通项公式后，检验是否恒等于即可得；
（3）借助既具有性质“”，又具有性质“”，则当时，有，，则有，，通过运算得到，从而可验证对任意的时，是否有即可得.
【小问1详解】
由具有性质“”，则当时，，
故，，，又，，
故，
即；
【小问2详解】
不具有性质“”，理由如下：
设，，由，，
即有，解得，故，，
则，有，
则，不恒等于，故不具有性质“”；
【小问3详解】
由既具有性质“”，又具有性质“”，
即当时，有，，
则有，，
由，故，
故，即，由，，则，
当，即时，有，
即对任意的时，有，即具有性质“”.
【点睛】关键点睛：本题关键点在于通过对数列新定义的分析，从而得到，，并由此得到，，从而得出
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