人教版七年级数学下册同步精品讲义第16讲专题9.1-2不等式与一元一次不等式(八大核心考点，111题)(学生版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步精品讲义第16讲专题9.1-2不等式与一元一次不等式(八大核心考点，111题)(学生版+解析)，共90页。试卷主要包含了不等式的性质，解一元一次不等式，一元一次不等式的应用等内容，欢迎下载使用。
1、不等式的性质：
①性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。
用字母表示为： 如果，那么； 如果，那么 ；
如果，那么； 如果，那么 。
②性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。
用字母表示为： 如果，那么(或)；如果，那么(或)；
如果，那么(或)；如果，那么(或)；
③性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，不等号的方向 改变 。
用字母表示为： 如果，那么(或)；如果，那么(或)；
如果，那么(或)；如果，那么(或)；
2、解一元一次不等式
3、一元一次不等式的应用
考点精讲
考点1：不等式的定义和意义
典例：10．(2023秋·八年级课时练习）根据下列数量关系列不等式：
(1)a是正数．
(2)y的2倍与6的和比1小．
(3)减去10不大于10．
(4)设a，b，c为一个三角形的三条边长，两边之和大于第三边．
方法或规律点拨
本题主要考查列不等式，准确找到不等量关系，理解“大于，小于，不大于，不小于”的意义是关键
巩固练习
1．（2023春·全国·七年级专题练习）在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考阶段练习）下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．a不是负数，可表示成B．x不大于3，可表示成
C．m与4的差是负数，可表示成D．x与2的和是非负数，可表示成
3．（2023春·全国·七年级专题练习）x是不大于2021的正数，则下列表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·山西太原·八年级太原五中校考阶段练习）2月份的研学活动，对于初二的全体同学是难得且有意义的，我校租用55座和53座两种型号的客车接送同学们，若租用55座客车辆，租用53座客车辆，则不等式“”表示的实际意义是（ ）
A．两种客车总的载客量不少于990人B．两种客车总的载客量不超过990人
C．两种客车总的载客量不足990人D．两种客车总的载客量恰好等于990人
5．（2023春·安徽六安·七年级校考阶段练习）用不等式表示“与3的和不小于1”为___________．
6．（2023秋·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校考期末）“a的一半与3的和小于2”用不等式表示为___________．
7．（2023春·八年级课时练习）“的3倍与的差是负数”用不等式表示为_______．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）用不等式表示：
（1）与的差为非负数：_____________；
（2）a与b的的和不超过2：__________________．
9．（2023春·八年级课时练习）用不等式表示：
(1)0大于．
(2)x减去y不大于．
(3)a的倍与的和是非负数．
(4)a的与b的平方的和为正数．
考点2：不等式性质
典例：（2023春·全国·七年级专题练习）把下列各不等式化成“”或“”的形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
方法或规律点拨
此题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
巩固练习
1．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）下列不等式的变形不一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．（2023春·全国·七年级专题练习）若，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，，，，四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期中）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，则●与■的质量比可能为（ ）
A．B．C．D．无法确定
7．（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式变形正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
8．（2023春·七年级单元测试）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）已知“”，则下列不等式中，不成立的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023春·山西晋中·八年级统考期中）若，则下列各式错误的是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023春·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考期中）若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023春·全国·七年级专题练习）若不等式，两边同时除以，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·北京海淀·北理工附中校考模拟预测）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ）
A．B．C．D．
14．（2023春·全国·七年级专题练习）已知两个有理数a和b，满足的关系是，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C．D．
15．（2023春·四川达州·八年级达州市通川区第八中学校考阶段练习）已知a，b，c均为实数，若，．下列结论不一定正确的是（ ）．
A． B．
C．D．
考点3：不等式的解集
典例：（2023春·广东深圳·八年级深圳市光明区高级中学校联考期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
方法或规律点拨
本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键．
巩固练习
1．（2023春·吉林长春·七年级吉林省实验校考阶段练习）若关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是（ ）
A．1B．0C．D．
2．（2023春·广东佛山·八年级佛山市顺德区梁开初级中学校联考期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）下列数是不等式的一个解的是（ ）
A．B．2C．D．3
4．（2023春·七年级单元测试）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）下列变形中正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
6．（2023·甘肃兰州·统考一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·吉林·一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023春·安徽·七年级期中）一元一次不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023春·福建三明·八年级统考期中）不等式的解集是______．
10．（2023·上海·模拟预测）设a，b是任意两个实数，用max{a，b}表示a，b两数中较大者，例如：max{-2，-2}＝-2，max{-1，2}＝2，max{3，2}＝3．参照上面的材料，如果max{-2x+1，-x+2}＝-x+2，那么x的取值范围是 _____．
考点4：解一元一次不等式
典例：（2023春·山西晋中·八年级统考期中）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务．
任务一：填空：
①以上运算步骤中，去分母的依据是________；
②第二步变形所依据的运算律是________；
③第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________；
任务二：请直接写出正确的计算结果．
方法或规律点拨
本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，是解题的关键．
巩固练习
1．（2023·广东广州·统考一模）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
2．（2023春·江西九江·八年级濂溪一中校考阶段练习）用不等式的性质解不等式：，并在数轴上表示解集．
3．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）解不等式：，并写出它的正整数解．
4．（2023春·山东菏泽·八年级菏泽市牡丹区第二十二初级中学校考阶段练习）解不等式，并把不等式的解集表示在数轴上．
(1)；
(2)．
5．（2023春·安徽宿州·九年级统考期中）解不等式：
6．(2023春·广东江门·八年级统考阶段练习）求一元一次不等式的负整数解．
7．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图是一道关于整式运算的例题及正确的解答过程，其中是两个关于的二项式．
(1)直接写出二项式和，并求出该题目的最后运算结果；
(2)若，求的最小整数值．
8．（2023·陕西咸阳·校考二模）解不等式：，并写出该不等式的最小整数解．
9．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）约定：上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数．
例如：
(1)___________，___________（用含的代数式表示）
(2)若，求的最小整数值．
考点5：一元一次不等式的实际应用问题
典例：（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）某服装厂加工A、两种款式的运动服共100件，加工A种运动服的成本为每件80元，加工种运动服的成本为每件100元，加工两种运动服的成本共用去9200元．
(1)A、两种运动服各加工多少件？
(2)两种运动服共计100件送到商场销售，A种运动服的售价为200元，种运动服的售价为220元，销售过程中发现A种运动服的销量不好，A种运动服卖出一定数量后，商家决定，余下的部分按原价的八折出售，两种运动服全部卖出后，若共获利高于10520元，则A种运动服至少卖出多少件时才可以打折销售？
方法或规律点拨
本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，关键是根据题意列出方程组解答．
巩固练习
1．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）一件商品的成本价是50元，如果按原价的八五折销售，至少可获得12%的利润，若设该商品的原价是元，则列式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考期中）春到人间，绿化争先．为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动，决定用不超过4200元购买甲、乙两种树苗共100颗，已知甲种树苗每颗45元，乙种树苗每颗38元，则至少可以购买乙种树苗（ ）
A．42颗B．43颗C．57颗D．58颗
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）某种商品的进价为300元，要保证利润率不低于10%，则售价至少是（ ）
A．330元B．320元C．310元D．300元
4．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价1000元，出售时标价为1400元，本次打折销售要保证利润不低于，则最多可打（ ）
A．六折B．七折C．七点五折D．八折
5．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）某学校为了开展好课后服务，计划用不超过元的资金购买足球，篮球和排球，将它们用于球类兴趣班，已知足球，篮球，排球的售价分别为元，元，元，且根据参加球类兴趣班的学生总数了解到以下两项信息：①篮球的数量必须比足球的数量多；②排球数量必须是足球数量的倍，则学校最多能购买足球（ ）
A．个B．个C．个D．个
6．（2023春·山西晋中·八年级统考期中）台灯的光亮照射范围相对比较集中，便于阅读、学习、工作且节省能源．某款稻草人小台灯进价10元，标价15元，商店为了促销，决定打折销售，但每台利润不少于2元，则最多可打________折销售．
7．（2023春·山西太原·八年级太原五中校考阶段练习）2022年教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并在同年9月份开学开始正式施行．某学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地，请列出符合题意的一元一次不等式_______．
8．（2023春·陕西西安·八年级校联考阶段练习）如图1，一个容量为的杯子中装有的水，将五颗相同的玻璃球放入这个杯子中（如图2），结果水没有满．设每颗玻璃球的体积为．请列出不等式：______．
9．（江西省新余市2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷）春运期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要很长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有人排队购票．同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，购票时售票厅每分钟新增人，每分钟每个窗口出售票数张．（规定每人只限购一张）
(1)若开放两个售票窗口，问开始售票后多少分钟售票厅内有人？
(2)若在开始售票分钟后，来购票的旅客不用排队等待，至少需要开放几个窗口？
10．（2023春·全国·七年级专题练习）甲、乙两个家庭计划利用“五一”假期到某景区旅游，已知甲家庭人数比乙家庭人数多4人，且甲家庭人数的2倍恰好等于乙家庭人数的3倍．
(1)求甲、乙两家庭的人数分别有多少人？
(2)现有A，B两个旅行社，他们的报价相同，都是成人票价200元，儿童票价120元．同时，他们都规定：团体人数不少于15人，可按表格中的优惠条件购票．设两个家庭共有m名儿童，若他们组团旅游，则选择哪一家旅行社支付旅游费用较少？
11．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）某社会团体准备购进、两种防护服捐给一线抗疫人员，经了解，购进5件种防护服和4件种防护服需要6000元，购进10件种防护服和3件种防护服需要8000元．
(1)求种防护服和种防护服每件各多少元？
(2)实际购买时，发现厂家有两种优惠方案，方案一：购买种防护服超过20件时，超过的部分按原价的8折付款，种防护服没有优惠；方案二：两种防护服都按原价的9折付款，该社会团体决定购买40件种防护服和件种防护服．请问如何购买选择方案二更合算
12．（2023·广东广州·统考一模）“桃之夭夭，灼灼其华”，每年月份，我区某湿地公园内的桃花陆续绽放，引来众多市民前往踏青观赏，纷纷拍照留念，记录生活美好时光，小王抓住这一商机，计划从市场购进、两种型号的手机自拍杆进行销售，据调查，购进件型号和件型号自拍杆共需元，其中件型号自拍杆价格是件型号自拍杆价格的倍．
(1)求件型号和件型号自拍杆的进价各是多少元？
(2)若小王计划购进、两种型号自拍杆共件，并将这两款手机自拍杆分别以元，元的价钱进行售卖，为了保证全部售卖完后的总利润不低于元，求最多购进型号自拍杆多少件？
13．(2023春·广东江门·八年级统考阶段练习）随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表：
(1)若该公司三月份的利润为8.8万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
(2)如果该公司四月份投入成本不超过20万元，该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩多少万只？
(3)养正学校到该公司购买乙型口罩有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打8折；方案二：购买16.8元会员卡后，乙型口罩一律7折，请帮养正学校设计出合适的购买方案．
14．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲，乙两种货车向疫区运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
(1)求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；
(2)由于疫情的持续，该公司安排甲、乙货车共10辆进行第三次物资的运送，运送的物资不少于吨，请问该公司应至少安排甲种货车多少辆？
15．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考阶段练习）某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200干克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．
(1)大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？
(2)该水果商第二次仍用8000元从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的，大樱桃的售价最少应为多少？
16．（2023春·安徽安庆·七年级统考期中）为把市建成秀美、宜居的生态城市，市政府欲购买甲、乙、丙三种风景树美化环境．已知甲、乙、丙三种风景树的价格之比为，甲种风景树每棵元．若计划用元资金，购买这三种风景树共棵，求丙种风景树最多可以购买多少棵？
17．（2023·湖南衡阳·模拟预测）某班级为优秀小组购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔．到文教店查看定价后发现，若购买2支钢笔和5支自动铅笔共需75元；若购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元．
(1)求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价；
(2)经协商，文教店给予该班级购买一支该品牌钢笔赠送一支自动铅笔的优惠．如果该班级需要自动铅笔的支数比钢笔的支数的2倍还多8支，且班级购买钢笔和自动铅笔的总费用不超过680元，那么该班级最多可购买多少支该品牌的钢笔？
18．（2023·河南安阳·统考一模）某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元．
(1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？
(2)已知该中学需要购买两种球拍共副，羽毛球拍的数量不超过副．现商店推出两种购买方案，方案：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠．
考点6：用一元一次不等式解决几何问题
典例：(2023春·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期末）如图1，平面甶角坐标系中，点A在第一象限，轴于B，轴于C，，且a，b满足．
(1)直接写出点A的坐标________．
(2)如图2，点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿射线OC方向运动，点E从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO方向运动，设运动时间为t，当三角形AOD的面积小于三角形AOE的面积时，求t的取值范围；
(3)如图3，将线段BC平移，使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上，点C的对应点N落在第二象限，设点M的坐标为，请直接用含m的式子表示点N的坐标．
方法或规律点拨
本题考查了非负数的性质，坐标与图形，一元一次不等式的应用，平移的性质，掌握以上知识是解题的关键．
巩固练习
1．（2023·安徽·模拟预测）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·江苏·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是，．其中a，b满足，将点B向左平移16个单位长度得到点C．当线段上的动点M从点B以每秒1个单位长度的速度向左平移时，线段上的动点N同时从点A以每秒2个单位长度的速度向右平移，连接，，，设运动时间为t（）．问：
(1)求点C的坐标．
(2)点M，点N在同时运动过程中，和的面积比会不会改变？若不会改变，请求出这个比值，若会改变，请说明理由．
(3)是否存在某个时间t，使得四边形的面积小于四边形面积的一半？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．
3．(2023秋·八年级课时练习）如图，在下面直角坐标系中，已知，，三点，其中、、满足关系式：．
(1)求、、的值；
(2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；
(3)在的条件下，是否存在负整数，使四边形的面积不小于面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
4．（2023春·八年级课时练习）已知平面直角坐标系中，已知A(a，0)，B(b，3)，C(2，0)，且满足，线段AB交y轴于点F．
(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
(2)求三角形ABC的面积；
(3)若点P是x轴上一动点，且三角形ABP的面积大于三角形ABC的面积，求出点P的坐标必须满足什么条件？
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知∠AOB＝120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动．设旋转时间为t秒．
(1)当t＝5时，则∠POQ的度数是______．
(2)求射线OQ返回时t的值取值范围．
(3)在旋转过程中，当时，求t的取值范围．
（注：此题主要考查，把不等式变等式来求，分三种情况，求相遇，相距30度的t，再写三个不等式范围）
6．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，BC=6cm．射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以2cm/s的速度运动，当点E出发1s后，点F也从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动，分别连接AF，CE．设点E运动时间为t，其中t>0．
(1)若∠BAF 0．
(1)若∠BAF