人教版九年级数学下册同步精品讲义 第08讲 投影（原卷版+解析）

这是一份人教版九年级数学下册同步精品讲义 第08讲 投影（原卷版+解析），共43页。试卷主要包含了1 投影，投影的概念，平行投影，中心投影的计算等内容，欢迎下载使用。

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知识精讲
知识点01 平行投影
1.投影的概念
一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫作投影.这时的照射光线叫作投射线，投影所在的平面叫作投影面。
物体形成投影需要具备两个条件：一是有光线；二是有投影面。
2.平行投影
由平行的光线所形成的投影是平行投影.
太阳光可以看成平行光，所以在阳光下大树的影子，阳光照到窗户上在屋里所形成的窗户的影子都是平行投影。
【微点拨】平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影的知识解决阳光下物体影子的问题时，首先要看是否在同一时刻，在不同时刻，同一物体的平行投影方向与大小一般不同；在相同时刻，不同物体的物高与影长成比例，物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行投影。
【即学即练1】在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影不可能是（ ）
A．B．
C．D．
知识点02 中心投影
1.中心投影
由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫作中心投影，那个点叫作投影中心。
在中心投影的情况下，点光源、物体边缘的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上。
因为点光源的光线是发散的，所以灯光下物体的影长与物体的高度不一定成比例。
(1)等高的物体垂直于地面放置时，中心投影如下图：
(2)等长的物体平行于地面放置时，中心投影如下图：
【微点拨】在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘的点以及它在影子
上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以确定第三个点的位置.
2.平行投影与中心投影的关系
(1)联系
①都是投影：中心投影、平行投影都是研究物体的投影中的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线；而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，如灯泡发出的光线.
②都有变化：在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化，不同物体和它们的影子之间存在着相似关系.在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也会跟着发生变化；固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.
(2)区别
①比例不同：太阳光线是平行的，因此在同一时刻下，太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子长度与物体高度不一定成比例.
②方向不同：同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.
如何判断物体的投影是在太阳光下还是在灯光下形成的：
①太阳光线是平行光线，灯光光线是从一点发出的，因此，在判断是太阳光线还是灯光光线时，只要看光线呈什么形状就可得出结论.
②如果已知影子，那么先找两对物体与影子的对应点，然后连接它们得到光线，由两条光线可大致判断它们是否平行，若光线平行，则为太阳光线；若光线相交，则为灯光光线.
3.中心投影的计算
与太阳光相比，灯光对我们来说是近距离的，我们可以把灯光光线看成是从一点发出向四周发射的，而且同一物体对于同一光源在不同的地点的影长也不相同.物体中心投影的大小是随着投影中心距离物体的远近的变化
而变化的.根据中心投影的性质结合相似三角形的知识，在日常生活、生产中可以进行求影长、物体的高度等的计算.
【即学即练2】小卓家餐桌正上方有一盏灯，晚饭时妈妈打开此灯，在此情境下，下列关于灯泡安装的高度与餐桌在地面上的影子的说法正确的是（ ）
A．餐桌在地面上不会形成影子B．当灯泡安装在屋顶时，影子最大
C．当灯泡安装在屋顶时，影子最小D．影子的大小与灯泡安装的高度无关
知识点03 正投影
(1)正投影的概念：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影叫作正投影(如图所示).
(2)正投影(投射线与投影面垂直的平行投影)的性质：线段的正投影分3种情况.
①当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，这时AB=A1B1。
②当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，这时A2B2③当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A3B3，如图.
一般地，线段正投影有如下规律：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点。
平面图形的正投影分3种情况：
①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等.
②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影的形状、大小发生变化，即会缩小，但不一定相似.
③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是一条线段，如图.
一般地，平面图形正投影有如下规律：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段.
【微点拨】正投影能如实地反映物体的形状和大小，画图也很方便，所以生产上的图样主要是用这种方法绘制.
(3)作物体的正投影.作物体的正投影，观察和思考的过程如下：
把要作投影的物体放在投影面和观察者的中间，按观察者一物体一投影面的顺序摆好，由观察者的眼睛假想发出一束平行的投射线，这些投射线经过物体轮廓线上的顶点后，与投影面垂直相交，交点连接起来的图形，就是物体的正投影.
【即学即练3】如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的几方向如箭头所示，它的正投影是（ ）
A．B．C．D．
能力拓展
考法01 平行投影的应用
【典例1】如图所示，一电线杆AB的影子落在地面和墙壁上，同一时刻，小明在地面上竖立一根1米高的标杆（PQ），量得其影长（QR）为0.5米，此时他又量得电线杆AB落在地面上的影子BD长为3米，墙壁上的影子CD高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高为（ ）
A．5米B．6米C．7米D．8米
考法02 中心投影的应用
【典例2】如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树的高度，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯高的长是（ ）
A．B．C．D．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，小红晚上在一条笔直的小路上由处径直走到处，小路的正中间有一盏路灯，那么小红在灯光照射下的影长l与她行走的路程之间的变化关系用图象刻画出来大致是（ ）
A．B．
C．D．
2．太阳发出的光照在物体上是（ ），路灯发出的光照在物体上是（ ）
A．平行投影，中心投影B．中心投影，平行投影
C．平行投影，平行投影D．中心投影，中心投影
3．下列各种现象属于中心投影的是（ ）
A．晚上人走在路灯下的影子B．中午用来乘凉的树影
C．上午人走在路上的影子D．阳光下旗杆的影子
4．如图是某学校操场上单杠（图中实线部分）在地面上的影子（图中虚线部分），可判断形成该影子的光线为（ ）
A．该影子实际不可能存在B．可能是太阳光线也可能是灯光光线
C．太阳光线D．灯光光线
5．在某一时刻，测得一根长为2米的标杆的影长为4米，同时测得一根旗杆的影长为10米，那么这根旗杆的高度为________米．
6．夜晚路灯下同样高的旗杆，离路灯越近，它的影子越______（填“长”或“短”）．
7．如图，日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于______投影．
8．小华家客厅有一张直径为高为的圆桌有一盏灯到地面垂直距离为圆桌的影子为，则点到点的距离为_______．
9．如图，身高1.6m的小王晚上沿箭头方向散步至一路灯下，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下；先从路灯底部向东走20步到M处，发现自己的影子端点刚好在两盏路灯的中间点P处，继续沿刚才自己的影子走5步到P处，此时影子的端点在Q处．
(1)根据题意画图，找出路灯的位置．
(2)求路灯的高和影长．
10．如图，阳光下，小亮的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段BC所示，线段DE表示旗杆的高，线段FG表示一堵高墙
(1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子的示意图；
(2)如果小亮的身高，他的影子，旗杆的高，旗杆与高墙的距离，请求出旗杆的影子落在墙上的长度．
题组B 能力提升练
1．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．下列结论正确的有（ ）
①同一时刻，同一公园内的物体在阳光照射下，影子的方向是相同的
②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的
③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关
④物体在点光源照射下，影子的长短仅与物体的长短有关
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如果在同一盏路灯下，小明与小强的影子一样长，下列说法正确的是（ ）
A．小明比小强的个子高B．小强比小明的个子高
C．两个人的个子一样高D．无法判断谁的个子高
4．如图，在平面直角坐标系中，点(2，2)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)．则木杆AB在x轴上的投影A′B′长为（ ）
A．B．C．5D．6
5．如图，一棵树的高度为米，下午某一个时刻它在水平地面上形成的树影长为米，现在小明想要站这棵树下乘凉，他的身高为米，那么他最多离开树干______米才可以不被阳光晒到？
6．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在x轴上的影长为_________．
7．在平坦的操场上，某一时刻阳光照射下，身高的小明影长，同一时刻附近旗杆影长为，则旗杆高度为_______m．
8．一块直角三角板如图所示放置，，，，测得边在平面的中心投影长为，则长为________，的面积是________．
9．数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前一棵小树的高度，课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，同一时刻，她发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙上，她先测得留在墙壁上的影高为1.3m，又测得地面上的影长为2.4m，请你帮她计算一下树的高度是多少？
10．如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=3m．
(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影;
(2)在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，计算DE的长
题组C 培优拔尖练
1．如图，是线段AB在投影面P上的正投影，，，则投影的长为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，竖直放置的杆AB，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CD的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得BC为10米，CD为8米，斜坡CD与地面成30°角，则杆AB的高度为（ ）
A．米B．米C．8米D．10米
3．如图，在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为．则木杆在x轴上的投影长为（ ）
A．8B．9C．10D．12
4．如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ）
A．B．C．D．

5．如图，在A时测得某树的影长为4m，B时又测得该树的影长为16m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______．
6．在同一时刻两根垂直于水平地面的木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿，它的影子，木竿的影子有一部分落在了墙上，则木竿的长度为__________．
7．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，垂直于地面的木棒与影子的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于___________米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于___________米．
8．在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼5 m，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子CD长为2 m，已知此时高1.4 m的竹竿在水平地面上的影子长1 m，那么这棵大树高________m．
9．如图，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在P处，作记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，且小王每步的间距相同．
(1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．
(2)估计路灯的高，并求影长合计的步数．
10．某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米．
(1)直接写出∠BAD＝ ；
(2)求旗杆的高度.（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08）
11．如图，在安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高，身高的红英MN站在距离C点15米的路面上．在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP为0.4米，
(1)画出红英MN在地面的影子NF；
(2)若红英留在路面上的影长NF为3m，求路灯AB的高度．
12．如图1所示的是一户外遮阳伞支架张开的状态，图1可抽象成图2，在图2中，点A可在BD上滑动，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在处，点C落在处，，，．
(1)BD的长为______．
(2)如图2，当时．
①求的度数；（参考数据：，，，）
②求伞能遮雨的面积（伞的正投影可以看作一个圆）．
课程标准
课标解读
通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念。
1.理解和掌握平行投影、中心投影以及正投影的概念，能够正确区分它们的区别与联系。
2.能够利用投影的相关知识，进行有关计算。
第二十九章 投影与视图
29.1 投影
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知识精讲
知识点01 平行投影
1.投影的概念
一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫作投影.这时的照射光线叫作投射线，投影所在的平面叫作投影面。
物体形成投影需要具备两个条件：一是有光线；二是有投影面。
2.平行投影
由平行的光线所形成的投影是平行投影.
太阳光可以看成平行光，所以在阳光下大树的影子，阳光照到窗户上在屋里所形成的窗户的影子都是平行投影。
【微点拨】平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影的知识解决阳光下物体影子的问题时，首先要看是否在同一时刻，在不同时刻，同一物体的平行投影方向与大小一般不同；在相同时刻，不同物体的物高与影长成比例，物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行投影。
【即学即练1】在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由于平行线的投影是平行或重合，根据这一特征即可作出判断．
【详解】由于矩形的两组对边分别平行，且平行线在太阳光下的投影是平行或重合，则A、B、D三个选项中的图形可能是矩形在地面上的投影，而C选项中的梯形有一组对边不平行，所以它不可能是矩形在地面上的投影．故选：C．
知识点02 中心投影
1.中心投影
由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫作中心投影，那个点叫作投影中心。
在中心投影的情况下，点光源、物体边缘的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上。
因为点光源的光线是发散的，所以灯光下物体的影长与物体的高度不一定成比例。
(1)等高的物体垂直于地面放置时，中心投影如下图：
(2)等长的物体平行于地面放置时，中心投影如下图：
【微点拨】在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘的点以及它在影子
上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以确定第三个点的位置.
2.平行投影与中心投影的关系
(1)联系
①都是投影：中心投影、平行投影都是研究物体的投影中的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线；而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，如灯泡发出的光线.
②都有变化：在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化，不同物体和它们的影子之间存在着相似关系.在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也会跟着发生变化；固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.
(2)区别
①比例不同：太阳光线是平行的，因此在同一时刻下，太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子长度与物体高度不一定成比例.
②方向不同：同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.
如何判断物体的投影是在太阳光下还是在灯光下形成的：
①太阳光线是平行光线，灯光光线是从一点发出的，因此，在判断是太阳光线还是灯光光线时，只要看光线呈什么形状就可得出结论.
②如果已知影子，那么先找两对物体与影子的对应点，然后连接它们得到光线，由两条光线可大致判断它们是否平行，若光线平行，则为太阳光线；若光线相交，则为灯光光线.
3.中心投影的计算
与太阳光相比，灯光对我们来说是近距离的，我们可以把灯光光线看成是从一点发出向四周发射的，而且同一物体对于同一光源在不同的地点的影长也不相同.物体中心投影的大小是随着投影中心距离物体的远近的变化
而变化的.根据中心投影的性质结合相似三角形的知识，在日常生活、生产中可以进行求影长、物体的高度等的计算.
【即学即练2】小卓家餐桌正上方有一盏灯，晚饭时妈妈打开此灯，在此情境下，下列关于灯泡安装的高度与餐桌在地面上的影子的说法正确的是（ ）
A．餐桌在地面上不会形成影子B．当灯泡安装在屋顶时，影子最大
C．当灯泡安装在屋顶时，影子最小D．影子的大小与灯泡安装的高度无关
【答案】C
【分析】根据投影可进行排除选项．
【详解】解：A、餐桌在地面上会形成影子，故说法错误；
B、当灯泡安装在屋顶时，影子最小，故说法错误；
C、当灯泡安装在屋顶时，影子最小，故说法正确；
D、影子的大小与灯泡安装的高度是有关的，故说法错误；
故选C．
知识点03 正投影
(1)正投影的概念：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影叫作正投影(如图所示).
(2)正投影(投射线与投影面垂直的平行投影)的性质：线段的正投影分3种情况.
①当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，这时AB=A1B1。
②当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，这时A2B2③当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A3B3，如图.
一般地，线段正投影有如下规律：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点。
平面图形的正投影分3种情况：
①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等.
②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影的形状、大小发生变化，即会缩小，但不一定相似.
③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是一条线段，如图.
一般地，平面图形正投影有如下规律：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段.
【微点拨】正投影能如实地反映物体的形状和大小，画图也很方便，所以生产上的图样主要是用这种方法绘制.
(3)作物体的正投影.作物体的正投影，观察和思考的过程如下：
把要作投影的物体放在投影面和观察者的中间，按观察者一物体一投影面的顺序摆好，由观察者的眼睛假想发出一束平行的投射线，这些投射线经过物体轮廓线上的顶点后，与投影面垂直相交，交点连接起来的图形，就是物体的正投影.
【即学即练3】如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的几方向如箭头所示，它的正投影是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】水杯的杯口与投影面平行，即与光线垂直，则它的正投影图有圆形．
【详解】解：依题意，光线是垂直照下的，它的正投影图有圆形，只有D符合，
故选D．
能力拓展
考法01 平行投影的应用
【典例1】如图所示，一电线杆AB的影子落在地面和墙壁上，同一时刻，小明在地面上竖立一根1米高的标杆（PQ），量得其影长（QR）为0.5米，此时他又量得电线杆AB落在地面上的影子BD长为3米，墙壁上的影子CD高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高为（ ）
A．5米B．6米C．7米D．8米
【答案】D
【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
【详解】解：如图：假设没有墙CD，则影子落在点E，
∵杆高与影长成正比例，
∴CD：DE=1：0.5，
∴DE=1米，
∴AB：BE=1：0.5，
∵BE=BD+DE=4，
∴，
∴AB=8米．
故选：D．
考法02 中心投影的应用
【典例2】如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树的高度，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯高的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定与性质直接求解即可．
【详解】解：根据题意可知，
，，
，
，即，解得m，
路灯高的长是m，
故选：C．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，小红晚上在一条笔直的小路上由处径直走到处，小路的正中间有一盏路灯，那么小红在灯光照射下的影长l与她行走的路程之间的变化关系用图象刻画出来大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据中心投影的性质得出小红在灯下走的过程中应长随路程之间的变化，进而得出符合要求的图象．
【详解】∵小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系，
应为当小红走到灯下以前为：l随s的增大而减小，当小红走到灯下以后再往前走时，l随s的增大而增大，
∴用图象刻画出来应为C．
故选：C．
2．太阳发出的光照在物体上是（ ），路灯发出的光照在物体上是（ ）
A．平行投影，中心投影B．中心投影，平行投影
C．平行投影，平行投影D．中心投影，中心投影
【答案】A
【分析】根据平行投影与中心投影的定义判断即可．
【详解】解：太阳发出的光照在物体上是平行投影，路灯发出的光照在物体上是中心投影．
故选：A．
3．下列各种现象属于中心投影的是（ ）
A．晚上人走在路灯下的影子B．中午用来乘凉的树影
C．上午人走在路上的影子D．阳光下旗杆的影子
【答案】A
【分析】根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得．
【详解】解：A、晚上人走在路灯下的影子，光源是灯光，是中心投影，则此项符合题意；
B、中午用来乘凉的树影，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
C、上午人走在路上的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
D、阳光下旗杆的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
故选：A．
4．如图是某学校操场上单杠（图中实线部分）在地面上的影子（图中虚线部分），可判断形成该影子的光线为（ ）
A．该影子实际不可能存在B．可能是太阳光线也可能是灯光光线
C．太阳光线D．灯光光线
【答案】D
【分析】根据平行投影和中心投影的特点分析判断即可．
【详解】解：若影子是由太阳光照射形成的，则两条直线一定平行；若影子是由灯光照射形成的，则两条直线一定相交．据此可判断形成该影子的光线为灯光光线．
故选：D．
5．在某一时刻，测得一根长为2米的标杆的影长为4米，同时测得一根旗杆的影长为10米，那么这根旗杆的高度为________米．
【答案】5
【分析】利用物高与影长成正比例，列出方程求解，即可得出结论．
【详解】解：设旗杆的高度为x米，根据题意得，
，
解得：．
则旗杆的高度为5米，
故答案为：5．
6．夜晚路灯下同样高的旗杆，离路灯越近，它的影子越______（填“长”或“短”）．
【答案】短
【分析】连接路灯和旗杆的顶端并延长交平面于一点，这点到旗杆的底端的距离是就是旗杆的影长，画出相应图形，比较即可．
【详解】解：由图易得AB＜CD，那么离路灯越近，它的影子越短，
故答案为：短．
7．如图，日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于______投影．
【答案】平行
【分析】根据太阳光是平行光线可以判定晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影．
【详解】解：因为太阳光属于平行光线，而日晷利用日影测定时刻，所以晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影．
故答案为：平行．
8．小华家客厅有一张直径为高为的圆桌有一盏灯到地面垂直距离为圆桌的影子为，则点到点的距离为_______．
【答案】4
【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴=.
∵AB=1.2，
∴CD=2.
又∵FC=2,
∴DF=CD+FC=2+2=4．
故答案为：4．
9．如图，身高1.6m的小王晚上沿箭头方向散步至一路灯下，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下；先从路灯底部向东走20步到M处，发现自己的影子端点刚好在两盏路灯的中间点P处，继续沿刚才自己的影子走5步到P处，此时影子的端点在Q处．
(1)根据题意画图，找出路灯的位置．
(2)求路灯的高和影长．
【答案】(1)见解析
(2)路灯高8米，影长为步
【分析】（1）连接，并延长相交于点，即为路灯的位置；
（2）由，，可分别得，，根据三角形相似的性质，得到对应边成比例，列出比例式，代入数值计算即可．
【详解】（1）解：如图，点O为路灯的位置；
（2）解：作垂直地面，如图，步，步，，
，
∴，
∴，即，解得，
∵，
∴，
∴，即，解得
答：路灯高为8米，影长为步．
10．如图，阳光下，小亮的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段BC所示，线段DE表示旗杆的高，线段FG表示一堵高墙
(1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子的示意图；
(2)如果小亮的身高，他的影子，旗杆的高，旗杆与高墙的距离，请求出旗杆的影子落在墙上的长度．
【答案】(1)见解析
(2)旗杆的影子落在墙上的长度为
【分析】（1）连接，过点作的平行线即可；
（2）过作于，利用相似三角形列出比例式求出旗杆的高度即可．
【详解】（1）解：如图：线段和就表示旗杆在阳光下形成的影子．
（2）过作于，
设旗杆的影子落在墙上的长度为，由题意得：，
∴，
又∵，，
，
∴，
解得：，
答：旗杆的影子落在墙上的长度为米．
题组B 能力提升练
1．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】利用中心投影，过点P作PE⊥CD于点E交AB于点M，证明，然后利用相似比可求出CD的长．
【详解】解：如图，过点P作PE⊥CD于点E交AB于点M，
根据题意得：，
∴，
∵，A，B．
∴PE=2，AB=3，ME=1，
∴PM=1，
∴，即，
解得：CD=6，．
故选：B
2．下列结论正确的有（ ）
①同一时刻，同一公园内的物体在阳光照射下，影子的方向是相同的
②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的
③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关
④物体在点光源照射下，影子的长短仅与物体的长短有关
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用平行投影和中心投影的特点进行逐项分析即可．
【详解】解：①由于太阳光线是平行光线，所以物体在阳光照射下，影子的方向是相同的，故正确；
②物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关，故错误；
③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关，故正确；
④物体在点光源的照射下，影子的长短与物体的长短和光源的位置有关，故错误．
所以正确的只有2个．
故选：B．
3．如果在同一盏路灯下，小明与小强的影子一样长，下列说法正确的是（ ）
A．小明比小强的个子高B．小强比小明的个子高
C．两个人的个子一样高D．无法判断谁的个子高
【答案】D
【分析】在同一路灯下由于位置不确定，根据中心投影的特点判断得出答案即可．
【详解】解：在同一路灯下由于小明与小强位置不确定，虽然影子一样长，但无法判断谁的个子高．
故选：D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点(2，2)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)．则木杆AB在x轴上的投影A′B′长为（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】D
【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长．
【详解】解：延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，
∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．
∴PD=1，PE=2，AB=3，
∵AB∥A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴，即，
∴A′B′=6，
答：木杆AB在x轴上的投影A'B'的长为6．
故选：D．
5．如图，一棵树的高度为米，下午某一个时刻它在水平地面上形成的树影长为米，现在小明想要站这棵树下乘凉，他的身高为米，那么他最多离开树干______米才可以不被阳光晒到？
【答案】
【分析】设小明这个时刻在水平地面上形成的影长为米，利用同一时刻物体的高度与影长成正比得到 ，解得，然后计算两影长的差即可．
【详解】解：设小明这个时刻在水平地面上形成的影长为米，
根据题意，得，
解得，
即小明这个时刻在水平地面上形成的影长为米，
因为米，
所以他最多离开树干米才可以不被阳光晒到．
故答案为．
6．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在x轴上的影长为_________．
【答案】8
【分析】根据坐标与图形的性质得到轴于D，求得，再利用中心投影，证明，然后利用相似比可求出CD的长．
【详解】解：∵，，
∴轴于D，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8．
7．在平坦的操场上，某一时刻阳光照射下，身高的小明影长，同一时刻附近旗杆影长为，则旗杆高度为_______m．
【答案】15
【分析】根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．
【详解】解：设旗杆高度为，
由题意得，，
解得，
即旗杆高度为，
故答案为：15．
8．一块直角三角板如图所示放置，，，，测得边在平面的中心投影长为，则长为________，的面积是________．
【答案】 192
【分析】根据直角三角形，可先求出的长，再根据△和是相似的，得到的长，再由面积比等于相似比的平方，算出的面积即可；
【详解】∵，，
∴AB=
又∵是的投影
∴
∴
∴
∴
故答案为：；．
9．数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前一棵小树的高度，课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，同一时刻，她发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙上，她先测得留在墙壁上的影高为1.3m，又测得地面上的影长为2.4m，请你帮她计算一下树的高度是多少？
【答案】m
【分析】利用同一时刻不同物体的物高与影长的比相等，求出影长为2.4m的树高，再加上墙上的影高即为所求．
【详解】解：设影长为2.4m的树高为m：
由题意得：，
解得：，
∴树高为：m．
10．如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=3m．
(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影;
(2)在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，计算DE的长
【答案】(1)见解析
(2)10m
【分析】（1）根据平行投影的性质可先连接AC，再过点D作DF∥AC交地面与点F，DF即为所求；
（2）根据平行的性质可知△ABC∽△DEF，利用相似三角形对应边成比例即可求出DE的长．
【详解】（1）解：DE在阳光下的投影是EF如图所示；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，
∵△ABC∽△DEF，AB＝5m，BC＝3m，EF＝6m，
∴，
∴，
∴DE＝10（m），
答：DE的长为10m．
题组C 培优拔尖练
1．如图，是线段AB在投影面P上的正投影，，，则投影的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点A作于点C，根据解直角三角形即可求得．
【详解】解：过点A作于点C，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
故选：A．
2．如图，竖直放置的杆AB，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CD的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得BC为10米，CD为8米，斜坡CD与地面成30°角，则杆AB的高度为（ ）
A．米B．米C．8米D．10米
【答案】A
【分析】如图，延长AB交DT的延长线于E．首先证明AE=DE，然后在Rt△CDT中，求出DT和CT，再根据AB＝AE﹣BE，即可得出结论，
【详解】解：如图，延长AB交DT的延长线于E．
∵1米的杆影长恰好为1米，
∴AE＝DE，
易得四边形BCTE是矩形，
∴BC＝ET＝10米，BE＝CT，
在Rt△CDT中，∵∠CTD＝90°，CD＝8米，∠CDT＝30°，
∴DT＝CD•cs30°＝8× ＝4 （米），CT＝CD＝4（米），
∴AE＝DE＝ET+DT＝（米），BE＝CT＝4（米），
∴AB＝AE﹣BE＝﹣4＝（米），
故选：A．
3．如图，在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为．则木杆在x轴上的投影长为（ ）
A．8B．9C．10D．12
【答案】B
【分析】延长PA、PB交x轴于E、C，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于F，由A、B、P的坐标求出AB，PD，PF的长，证明△PEC∽△PAB，得到，代入数值求出结果．
【详解】解：延长PA、PB交x轴于E、C，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于F，
∵ 的坐标分别为．
∴AB=6-0=6，轴，
∵ ，
∴PD=6，PF=6-2=4，
∵轴，
∴△PEC∽△PAB，
∴
∴，
∴EC=9，
故选：B．
．
4．如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到符合题意的选项
【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，
故选D

5．如图，在A时测得某树的影长为4m，B时又测得该树的影长为16m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______．
【答案】8m
【分析】根据题意，画出示意图，易得：，进而可得；即，代入数据可得答案．
【详解】解：如图：过点C作，
由题意得：△EFC是直角三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；即，
由题意得：，
∴，
（负值舍去），
故答案为：8m．
6．在同一时刻两根垂直于水平地面的木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿，它的影子，木竿的影子有一部分落在了墙上，则木竿的长度为__________．
【答案】3m
【分析】过N点作ND⊥PQ于D，根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长，再根据此影长列出比例式求解即可．
【详解】解：如图：过N点作ND⊥PQ于D，
∴四边形DPMN是矩形
∴DN=PM,PD=MN
∴，
又∵AB=2.5，BC=2，DN=PM=1.6，NM=1，
∴QD===2（m），
∴PQ=QD+DP=QD+NM=2+1=3（m）．
故答案为3m．
7．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，垂直于地面的木棒与影子的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于___________米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于___________米．
【答案】 10
【分析】过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，求出CH的长度，根据，求出OM的长度，证明，得出，，求出IJ、BI、OI的长度，用勾股定理求出OB的长，即可算出所求长度．
【详解】如图，过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，
由题意可知，点O是AB的中点，
∵，
∴点H是CD的中点，
∵，
∴，
∴，
又∵由题意可知：，
∴，解得，
∴点O、M之间的距离等于，
∵BI⊥OJ，
∴，
∵由题意可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形IHDJ是平行四边形，
∴，
∵，
∴，，，
∵在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴叶片外端离地面的最大高度等于，
故答案为：10，．
8．在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼5 m，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子CD长为2 m，已知此时高1.4 m的竹竿在水平地面上的影子长1 m，那么这棵大树高________m．
【答案】9
【分析】过点D作DE⊥AB于E，则四边形BCDE是矩形，得BE=CD=2m，DE=BC=5m，再根据同一时刻，物高与影长成正比，可得，代入DE，即可求出AE长，即可由AB=AE+BE求解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
由题意，得AB⊥BC，DC⊥BC，
∵DE⊥AB，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BE=CD=2m，DE=BC=5m，
由题意，得，
∴，
∴AE=7
∴AB=AE+BE=7+2=9（m），
答：这棵大树高为9m，
故答案为：9．
9．如图，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在P处，作记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，且小王每步的间距相同．
(1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．
(2)估计路灯的高，并求影长合计的步数．
【答案】(1)答案见详解；
(2)9米；步．
【分析】（1）如图所示，小王在M处的头顶位置为点N，在P处的头顶位置为点B，延长交路灯灯柱于点O，再连接并延长交延长线于点Q即可；
（2）先证明，利用相似三角形对应边成比例可求出，同理证，求出．
【详解】（1）解：如图所示，路灯O和影子端点Q为所求；
（2）解：根据题意知：，步，步，，
，
，
即，
解得；
，
，
即，
解得（步）；
答：估计路灯的高为9米，影长为步．
10．某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米．
(1)直接写出∠BAD＝ ；
(2)求旗杆的高度.（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08）
【答案】(1)18°；(2)13.8
【分析】（1）过点D作DE⊥AB于点E，由光线与水平面的夹角为72°，即可求解；
（2）如图作CMAB交AD于M，MN⊥AB于N，根据，求出CM，在中利用，求出AN即可解决问题．
【详解】（1）如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵光线与水平面的夹角为72°，
∴∠ADE=72°，
∵DE⊥AB，
∴；
（2）如图，作CMAB交AD于M，MN⊥AB于N．
由题意，即，
（米），
在中，
∵∠ANM＝90°，MN＝BC＝4，∠AMN＝72°，
∴，
∴AN≈12.32（米），
∵MNBC，ABCM，
∴四边形MNBC是平行四边形，
∴BN＝CM＝（米），
∴AB＝AN＋BN＝12.32＋1.5≈13.8（米）．
11．如图，在安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高，身高的红英MN站在距离C点15米的路面上．在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP为0.4米，
(1)画出红英MN在地面的影子NF；
(2)若红英留在路面上的影长NF为3m，求路灯AB的高度．
【答案】(1)见解析；(2)9米
【分析】（1）根据相似即可画出影子NF；
（2）如图，设AB=x m，CB=y m．构建方程组解决问题即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：设，
∵， ，
∴
∴解得，
经检验是分式方程的解，
∴，
答：灯AB的高度为米．
12．如图1所示的是一户外遮阳伞支架张开的状态，图1可抽象成图2，在图2中，点A可在BD上滑动，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在处，点C落在处，，，．
(1)BD的长为______．
(2)如图2，当时．
①求的度数；（参考数据：，，，）
②求伞能遮雨的面积（伞的正投影可以看作一个圆）．
【答案】(1)250cm
(2)①35°；②
【分析】（1）根据题意可得，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在处，点C落在处，可得，代入数据求解即可；
（2）①过点作，根据，可得，根据，，即可求解；
②根据题意可知，则，根据求得，根据勾股定理可得，根据正投影是一个圆，根据圆的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在处，点C落在处，可得
∴cm
（2）①如图，过点作
cm，
cm，
②如图，连接，过点作，
根据题意可知
伞能遮雨的面积为
课程标准
课标解读
通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念。
1.理解和掌握平行投影、中心投影以及正投影的概念，能够正确区分它们的区别与联系。
2.能够利用投影的相关知识，进行有关计算。