陕西省西安市滨河学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份陕西省西安市滨河学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 的倒数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义，根据互为倒数的两数之积为1，求解即可．
【详解】解：的倒数是2024；
故选B．
2. 下列新能源汽车的标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义：轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，旋转后的图形能与原来的图形重合；据此即可作答．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，故该选项是错误的；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，故该选项是错误的；
C、不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意，故该选项是错误的；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意，故该选项是正确的；
故选：D
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. 您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查同底数幂乘法除法，积的乘方，多项式乘多项式，根据，，及多项式乘多项式的法则：用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的各项直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，故A选项错误，不符合题意，
，故B选项错误，不符合题意，
，正确，符合题意，
，故D选项错误，不符合题意，
故选：C．
4. 如图，将直角三角形的直角顶点放在直尺的一边上，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，
先根据平行线的性质求出的度数，再由余角的定义得到的度数，再次利用平行线的性质求出的度数，即可得出结论．
【详解】如图，∵，，
∴，
∵与互余，
∴，
又
∴．
故选：A．
5. 如图，直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P（m，4），则方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将（m，4）代入y=x+2求解．
详解】解：将（m，4）代入y＝x+2得4＝m+2，
解得m＝2，
∴点P坐标为（2，4），
∴方程组的解为：．
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，掌握图象交点与方程组的解的关系．
6 如图，，则（ ）
A. 2B. 2.5C. 2.4D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．证明，推出，再证明，列出比例式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选C．
7. 如图，为的切线，E为切点，CD为的直径，延长与交于点B，连接，，若，，，则的长为（ ）

A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据切线的性质得到，在直角中，利用勾股定理求出，再证明，得到，继而求出．
【详解】解：∵为的切线，
∴，，
设，
在直角中，，
即，
解得：，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，设，
∴，即，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用勾股定理求出，利用相似三角形的性质得到比例式．
8. 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
且当x＝时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：
①abc＜0；②m＝n；③﹣2和3是关于x方程ax2+bx+c＝t的两个根；④．
其中，正确结论的个数是（ ）.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的性质逐一进行分析即可
【详解】解：①函数的对称轴为：x＝（0+1）＝，则ab＜0，c＝﹣2＜0，故abc＞0，故①错误，不符合题意；
②根据表格可得：x＝﹣1和x＝2关于函数对称轴对称，故m＝n正确，符合题意；
③函数的对称轴为：x＝，根据表格可得：x＝﹣2和x＝3关于函数对称轴对称，此时的函数值为t，则﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根，故③正确，符合题意；
④函数的对称轴为：x＝，则b=-a，当x＝﹣时，y＝ab﹣2＞0，所以 3a﹣8＞0，故④错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 数轴上点A表示﹣2，从A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是_____．
【答案】2或-6
【解析】
【分析】点B可以在A的左边或右边，即-2-4=-6或-2+4=2．
【详解】解：当B点在A的左边，则B表示的数为：﹣2﹣4＝﹣6；
若B点在A的右边，则B表示的数为﹣2+4＝2．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，要考虑两种情况，熟练掌握有理数的加减法是解题的关键．
10. 如图，是的直径，是弦，，则劣弧的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，求弧长．根据圆周角定理，得到，进而根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：∵是的直径，，
∴，，
∴劣弧的长为；
故答案：．
11. 对于任意有理数、，现定义一种新运算“*”，规定，如，则计算的结果等于______．
【答案】11
【解析】
【分析】根据有理数的运算法则计算求值即可；
【详解】解：=（-3）2-（-2）=9+2=11，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了乘方的性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，解题的关键掌握运算法则．
12. 如图，矩形的面积为36，对角线与双曲线相交于点，且，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由矩形的性质求出的面积，由平行线分线段成比例可求，可求的面积，由反比例函数的性质可求解．
【详解】如图，连接，过点D作于E，
∵矩形的面积为36，
∴，
∵，
∴，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵双曲线图象过点D，
∴，
又∵双曲线图象在第二象限，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，求出的面积是解题的关键．
13. 如图，是等边三角形．D为外一点，且，则四边形的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，过点作，过点作，利用含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，再用分割法求四边形的面积即可．
【详解】解：过点作，过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
∴四边形的面积为；
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，分别进行乘方运算、特殊角的三角函数值、绝对值的化简等运算，然后合并．
【详解】解：
．
15. 解不等式组．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可．正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键．
【详解】解：，
由①，得：；
由②，得：，
∴不等式组的解集为：．
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算法则，先算括号，再算除法运算即可；
【详解】解：原式
．
17. 如图，在 ，，尺规作图：求作，使得经过三点． （保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题主要考查三角形的外接圆以及尺规作线段的垂直平分线，掌握直角三角形外接圆的圆心就是它的斜边中点是解题的关键．作的垂直平分线，找到的中点，则以为直径作圆就是三角形的外接圆．
【详解】解：如图所示，即为所求．
18. 如图，已知AE∥DF ，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先证明得到 再证明从而可得结论．
【详解】证明：






【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，证明是关键的桥梁．
19. 在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀．
（1）若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？
（2）若设计一种游戏方案：若从中任取一球（不放回），再从中任取一球．两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗？请用画树状图或列表格的方法说明理由．
【答案】（1）；（2）这种游戏方案设计对甲、乙双方公平．
【解析】
【分析】（1）由不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，利用概率公式即可求得答案；
（2）首先画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个球上的数字之和为偶数的情况，利用概率公式说明游戏是否公平；
【详解】解：（1）∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，
∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为：；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有（1，3），（2，4），（3，1），（4，2）共4种情况，
∴两个球上的数字之和为偶数的概率为：，
∴p(甲胜)=，p(乙胜)=，
，
∴不公平.
【点睛】考点：1、概率公式；2、游戏公平性的判断.
20. 乐乐超市为了元旦促销，印制一批宣传册．该宣传册每本共10页，由A，B两种彩页构成．已知A种彩页制版费为3元/张，B种彩页制版费为2元/张，共计24元（注：彩页制版费与印数无关）．
（1）每本宣传册A，B两种彩页各有多少张？
（2）据了解，A种彩页印刷费为元/张，B种彩页印刷费为元/张，这批宣传册的制版费与印刷费的和不超过594元．如果按到超市的顾客人手一册发放宣传册，那么最多能发多少位顾客？
【答案】20. 每本宣传册中种彩页有张，种彩页有张
21 最多可以发位顾客
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程组，不等式的综合运用，理解题目中的数量关系，掌握解二元一次方程组的方法，解不等式的方法是解题的关键．
（1）根据题意设每本宣传册中种彩页有页，种彩页有页，列方程组求解即可；
（2）设可以发位顾客，根据题目数量关系列不等式求解即可
【小问1详解】
解：设每本宣传册中种彩页有页，种彩页有页，
∴，
解得，，
∴每本宣传册中种彩页有张，种彩页有张；
【小问2详解】
解：设可以发位顾客，
∴，
解得，，
∴最多可以发位顾客．
21. 如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡的坡度，在坡面D处有一棵树（假设树垂直水平线），在坡底B处测得树梢A的仰角为，沿坡面方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角为．（点B、C、D在一直线上）

（1）求A、C两点的距离；
（2）求树的高度（结果精确到米）．（参考数据：）
【答案】（1）
（2）树的高度约为
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形外角的性质，等角对等边等等：
（1）如图所示，延长交于G，过点C作于H，先得到，进而推出，再求出，则可推出，得到；
（2）先解得到，再解得到，则．
【小问1详解】
解：如图所示，延长交于G，过点C作于H，
∵，
∴，
∵小山的斜坡的坡度，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：中，，
在中，，
∴，
∴树的高度约为．
22. 杆秤是我国传统的计重工具，如图，秤钩上所挂的不同重量的物体使得秤砣到秤纽的水平距离不同．称重时，秤钩所挂物重为x（斤）时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为y（厘米）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据，且y是x的一次函数．
注：秤杆上秤砣在秤纽左侧时，水平距离y（厘米）为正，在右侧时为负．
（1）根据题意，完成表格；
（2）请求出y与x的关系式；
（3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？
【答案】（1）1.50，11；（2）y＝4x-2；（3）4.25斤
【解析】
【分析】（1）分析表格中数据填表即可．
（2）设函数关系式为y＝kx+b，利用待定系数法解决问题即可；
（3）将y＝15代入函数关系式中求x的值即可．
【详解】解：（1）由表格中数据可知，重量每增加0.25斤，秤砣到秤纽的水平距离会增加1厘米，
由此可得第一行数字应填[4-（-2）]×0.25=1.50，
第二行数字应填（3.25÷0.25）-2=11；
故答案为：1.50，11
（2）设y＝kx+b，
将（0，－2）和（1，2）分别代入表达式中，
得
解得：k＝4，b＝－2，
∴y与x的关系式为：y＝4x－2；
（3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15厘米时，即y＝15
将y＝15代入得，15＝4x－2中
解得：x＝4.25（斤）
∴当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15厘米时，秤钩所挂物重是4.25斤．
【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法等知识，解题关键是熟练运用待定系数法求出一次函数解析式．
23. 老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2），其中条形图被墨迹遮盖了一部分．
（1）求条形图中被遮盖的数，并写出册数的平均数、中位数、众数；
（2）全校共有名学生，求读书超过册的学生的人数；
（3）随后又补查了另外几人，得知最少的读了册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了______人．
【答案】（1）被遮住的数是，平均数5.375册，中位数5册，众数5册；（2）名；（3）．
【解析】
【分析】（1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数分别减去读书为4册、6册和7册的人数得到读书5册的人数，然后根据平均数、中位数、众数求解即可；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出选中读书超过5册的学生的人数约为多少人；
（3）根据中位数的定义可判断总人数不能超过27，从而得到最多补查的人数．
【详解】解：（1）抽查的学生总数为6÷25%=24（人），
读书为5册的学生数为24-5-6-4=9（人），
所以条形图中被遮盖的数为9，
被抽查的学生读书册数的平均数为(册)，
∴被抽查的学生读书册数的平均数为5.375册；
被抽查的学生读书册数的中位数是第12、13个数据的平均数，而第12、13个数据均为5册，
∴被抽查的学生读书册数的中位数为5册；
根据条形统计图，读5册的人数最多，
∴被抽查的学生读书册数的众数为5册；
（2）1200×=500（人），
∴读书超过册的学生的人数为500人；
（3）因为4册和5册的人数和为14，中位数没改变，所以总人数不能超过27，即最多补查了3人．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24. 如图，在中，，点D是上一点，点O在上，以点O为圆心的圆经过C，D两点，连接，．
（1）求证：直线为的切线；
（2）若，的半径为2，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题主要考查了切线的判定，锐角三角形函数，勾股定理等；
（1）连接，先证，再由得，进而得，然后根据切线的判定可得出结论；
（2）由（1）得，，在中，，由此可求出，再由勾股定理求出，则，在中，由得，进而再由勾股定理可求出的长．
【小问1详解】
连接OD，
∵，
∴．
设，
∴．
∵，
∴．
在中，．
∴．
∴．
∴．
在中，∵OD是半径，
∴AB为的切线．
【小问2详解】
由（1）可知：，，
，
，
在中，，
又的半径为2，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
在中，由，
，
在中，，，
由勾股定理得：．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标；
（3）点P是抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是上的点．要使得以P、D、E为顶点的三角形与全等，请求出点P、点E的坐标；
【答案】（1）
（2）
（3）点坐标为或或或，或或或
【解析】
【分析】（1）先求出的坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）过点作垂直于轴交于点，设，，则，由即可求解；
（3）抛物线对称轴为直线．，，．设，则，分两种情况当，时，，此时，当，时，，此时，求解即可．
【小问1详解】
解：把代入得；
把代入得．
，．
抛物线经过三点，
，
解得．
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
过点作垂直于轴交于点，设，则，
则，
，
当时，最大，此时．
当坐标为时，取得最大值．
【小问3详解】
∵，
∴抛物线对称轴为直线．
∵过点P作l的垂线，垂足为D，
∴，
∵，
∴，
∴，．
设，则
当，时，，
此时，
解得或．
∴点坐标为或，
，
或．
当，时，，
此时，
解得或．
∴点坐标为或，
，
或．
综上：点坐标为或或或，或或或．
【点睛】本题考查了二次函数求解析式，二次函数的性质，三角形全等的性质，最值问题等，熟练掌握各知识点，能准确作出辅助线，并结合图形列出相应关系式是解题的关键．
26. 问题提出
（1）如图①，在中，，E、H分别是、的中点，点F在上，且，点G在上，且，求四边形的面积．（结果保留根号）
问题解决
（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境，如图②所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个矩形河畔公园，按设计要求，要在矩形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点O、P、M、N分别在边、、、上，且满足．已知矩形中，为对角线，，为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖的边，且面积尽可能大．请问，是否存在符合设计要求的面积最大的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最大值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在符合设计要求的面积最大的四边形人工湖OPMN，最大面积为，此时点N到A的距离为400m
【解析】
【分析】（1）如图所示，过点D作DK⊥AB于K，过点G作GP⊥AB交AB延长线于P，延长PG交CD于Q，过点E作EN⊥AB于M，延长ME交CD延长线于N，先求出，然后求出，再由BG=4，DF=10，得到CF=CD-DF=6，CG=BC-BG=8，然后同理求出，，根据H是AB的中点，得到，
再由进行求解即可；
（2）设，，则，，由，得到，即，求出，再由得到，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，过点D作DK⊥AB于K，过点G作GP⊥AB交AB延长线于P，延长PG交CD于Q，过点E作EN⊥AB于M，延长ME交CD延长线于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，CD=AB=16，BC=AD=12，DK=QP=MN，
∵∠A=60°，DK⊥AB，
∴∠ADK=30°，
∴，
∴，
∵E是AD的中点，
∴，
∴
∵BG=4，DF=10，
∴CF=CD-DF=6，CG=BC-BG=8，
∴同理可以求出，，
∵H是AB的中点，
∴，
∴


；
【小问2详解】
解：设，，则，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴
，
∴当时，的面积最大为，
∴点N到A的距离为400m，
∴存在符合设计要求的面积最大的四边形人工湖OPMN，最大面积为，此时点N到A的距离为400m．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，二次函数的应用，平行线分线段成比例定理，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键．x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
x（斤）
0
0.75
1.00

2.25
3.25
y（厘米）
－2
1
2
4
7