安徽省滁州市定远县第一初中教育集团2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份安徽省滁州市定远县第一初中教育集团2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，四象限内D. 随的增大而增大，本题满分12分．，本题满分14分．等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考试范围：沪科版九年级上、下册）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C． 原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
2. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A. 图象必经过点B. 若，则
C. 图象在第二、四象限内D. 随的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．根据反比例函数的图象与性质求解即可．
【详解】解：当，，
∴图象必经过点，A结论正确，故不符合题意；
∵，
∴图象位于第二、四象限，C正确，故不符合题意；您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高若，图象位于第四象限，y随x的增大而增大，故若，则，故B结论正确；故不符合题意；
在第二或第四象限中，y随x的增大而增大，D错误，故符合要求；
故选：D．
3. 如图是由6个相同的小正方体组成的几何体．则这个几何体的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三视图，画出从上面看到的图形，即可．
【详解】解：这个几何体的俯视图是：

故选C．
4. 如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定方法：两角法、两边及其夹角法、三边法、平行线法．先求出，再根据相似三角形的判定方法分析判断即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
A、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得，故此选项不合题意；
B、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得，故此选项不合题意；
C、添加可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等两个三角形相似，故此选项不合题意；
D、添加不能证明，故此选项符合题意；
故选：D．
5. 在中，，都是锐角，且，则的形状是（ ）
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．
由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定．
【详解】解：，
，，
即，，
，
即为直角三角形，
故选：D．
6. 如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长是（ ）
A. 4B. 10C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了位似变换，相似图形的性质．先根据位似的性质得到，四边形与四边形相似，再利用比例的性质得，然后根据相似多边形的性质求解．
【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，
，四边形与四边形相似，
，
，
，
四边形的周长：四边形的周长，
四边形的周长．
故选：B．
7. 如图，是的直径，，是上的两点，若，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直径对的圆周角为直角得到，再根据同圆中同弧对的圆周角相等得到，即可求出．
此题主要考查了圆周角定理．熟练掌握直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，是解决问题的关键．
【详解】∵为⊙O的直径，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
8. 如图，抛物线的对称轴是，且过点，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论为（ ）
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】由图示可知， ，由对称轴是，可知，将点代入抛物线可求出，由此即可求解．
【详解】解：抛物线的对称轴是，且过点，
∴对称轴，则有，
∴，，，
∴，得，
∴，
∵，
∴结论①正确；
∵，
∴结论②错误；
∵，
∴结论③错误；
∵当时，抛物线线有最大值，
∴， 则，即，
∴结论④正确．
故选：．
【点睛】本题主要考查抛物线图像与系数的关系，理解图示，并根据题意确定系数的关系是解题的关键．
9. 如图，六边形是内接正六边形，设正六边形的面积为的面积为，则（ ）
A 2B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正多边形和圆，三角形的面积，全等三角形的判定，关键是由正六边形的性质证明．连接、、、，由正六边形的性质得到、、、、、把圆六等分，推出，得到、是等边三角形，由证明，得到的面积的面积，同理：的面积的面积，的面积的面积，因此的面积的面积的面积的面积，即可得到答案．
【详解】解：连接、、、，
六边形是的内接正六边形，
、、、、、把圆六等分，
，
，
、是等边三角形，
，，
，
的面积的面积，
同理：的面积的面积，的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积，
，
．
故选：A．
10. 如图，菱形中，是边的中点，是边上一点，连接，．若，，则的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D.
【答案】C
【解析】
【分析】延长交的延长线于点，结合菱形的性质，证明出，再根据条件中线段与线段之间的关系求出，，，得到，再证明出即可求解．
【详解】解：延长交的延长线于点，
四边形是菱形，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形相似的判定及性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是添加合适的辅助线，构建相似三角形进行求解．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11. 若正三角形的边长为6，则它的半径为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正三角形的半径即外接圆与外心，熟知等边三角形的性质及正三角形的半径的定义是解答此题的关键．
设正的中心为O，过O点作，垂足为D，连接，把问题转化到中求即可．
【详解】解：如图，连接，作，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
解得：（负值舍去），
，
故答案为：．
12. 在一个不透明的袋子里有1个红球，2个白球和若干个黑球．小宇将袋子中的球摇匀后，从中任意摸出一个，记下颜色后放回袋中，在多次重复以上操作后，小宇统计了摸到红球的频率，并绘制了如图折线图．则从袋子中随机摸出两个球，这两个球一红一白的概率为______．
【答案】##0.2
【解析】
【分析】根据折线图可知摸到红球的概率为0.2，然后可得不透明袋子中球的个数，进而根据列表法可进行求解．
【详解】解：由折线图可知摸到红球的概率为0.2，
∴不透明袋子中球的个数为（个），
∴黑球的个数为5-1-2=2（个），
列表如下：
由表可知随机摸出两个球的可能性有20种，摸出两个球为一红一白的可能性有4种，则摸出两个球为一红一白的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率及用频率估计概率，熟练掌握利用列表法求解概率是解题的关键．
13. 如图，以为直径作半圆O，C为的中点，连接，以为直径作半圆P，交于点D．若，则图中阴影部分的面积为 _____．
【答案】##
【解析】
【分析】如图，连接，先由垂径定理的推理得到，再由圆周角定理得到，则由垂径定理可得，利用勾股定理求出的长，进而求出，再根据进行求解即可．
【详解】解：如图，连接．
∵C为的中点，
∴，
∵是小圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，垂径定理的推理等等，熟知垂径定理和垂径定理的推论是解题的关键．
14. 已知，正方形的边长为4，点E为正方形内一动点，交射线于F，且．
（1）求的最小值为______；
（2）在（1）的情形下，求______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了圆的性质，正方形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，分母在理化．
（1）先证明，判断出点在以为直径的半圆上，再利用勾股定理求解即可；
（2）证明，利用平行线分线段成比例定理结合分母在理化，求解即可．
【详解】解：（1）取的中点，连接，

∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在以为直径的半圆上，且圆心为，当在同一直线上时，取得最小值，
∵正方形的边长为4，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：；
（2）∵四边形是正方形，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
三、本大题共2小题，每小题8分，满分16分．
15. 计算：
【答案】0
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
16. 某校举办篮球比赛，进入决赛的队伍有A、B、C、D四队，要从中选出两队打一场比赛．
（1）若已确定A打第一场，再从其余三队中随机选取一队，求恰好选中D队的概率；
（2）请用画树状图或列表法，求恰好选中B、C两队进行比赛的概率．
【答案】（1）恰好选中D队的概率；
（2）画树状图见解析；P（B、C两队进行比赛）=．
【解析】
【分析】（1）由已确定A打第一场，再从其余三队中随机选取一队，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中B、C两队进行比赛的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）∵已确定A打第一场，再从其余三队中随机选取一队，
∴恰好选中D队的概率；
（2）画树状图得：
∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，
∴P（B、C两队进行比赛）==．
四、本大题共2小题，每小题8分，满分16分．
17. 如图，四边形内接于，，．
（1）求点O到的距离；
（2）求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，作于H，根据勾股定理的逆定理，得到，根据等腰直角三角形的性质解答；
（2）根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【小问1详解】
解：连接，作于H，
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∴，即点O到的距离为；
【小问2详解】
，
，
四边形内接于，
．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理的逆定理，掌握圆内接四边形对角互补是解本题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上．
（1）画出于轴的对称图形；
（2）以原点为位似中心，在轴左边画一个，使它与的相似比为，并写出顶点的坐标．
【答案】（1）作图见解析；
（2）作图见解析，．
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质得到点，顺次连线即可得到；
（2）以为位似中心，在轴左边作的位似图形，使各边为的一半，再写出点的坐标即可．．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
；
【小问2详解】
解：如图，即为所求，顶点的坐标为顶点．
．
【点睛】此题考查了作图：轴对称作图及位似作图，以及点的坐标，正确掌握轴对称的性质及位似的性质是解题的关键．
五、本大题共2小题，每小题10分，满分20分．
19. 如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角是，沿斜坡走米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡比为（参考数据：，，）
（1）求小明从点A走到点D的过程中，他上升的高度；
（2）大树的高度约为多少米？（精确到0.1米）
【答案】（1）他上升的高度为米；
（2）大树的高度约为8米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
（1）作于H，解，即可求出；
（2）延长交于点G，求出，得到；设米，根据正切的概念用x表示出，根据列出方程，解方程得到答案．
【小问1详解】
解：作于H，如图，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故他上升高度为米；
【小问2详解】
解：如图，延长交于点G，设米，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得．
答：大树的高度约为8米．
20. 如图，已知和为等腰三角形，其中，，，点B、C、D在同一直线上，连接，过点D作交延长线于点F，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质：
（1）根据等边对等角得到，由根据平行线的性质得到，易证四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质可证；
（2）由（1）可知，四边形是平行四边形求得结合已知证得，利用相似三角形的性质可得，即，结合可得结果；
【小问1详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
由（1）可知，，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴；
六、本题满分12分．
21. 如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点．
（1）证明：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，证明，得到，即可得证．
（2）连接，，证明，求得、的长，半径即可得解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
平分，
；
，
；
，
∴，
，
，
是的切线．
【小问2详解】
解：如图，连接，，
是直径，是圆的切线，
，
；
，
；
，
，
，
，
，，
，
解得，
，
圆的半径为．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键．
七、本题满分12分．
22. 已知二次函数y=ax+ax+c（a≠0）．
（1）若它的图象经过点（-1，0）、（1，2），求函数的表达式；
（2）若a＜0，当-1≤x<4时，求函数值y随x的增大而增大时x的取值范围；
（3）若a=1、c=-2，点（m，n）在直线y=x-2上，求当x=m，n时的二次函数的函数值和的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把两个点的坐标代入解析式得到二元一次方程组并求解即可．
（2）根据a的正负确定二次函数图象开口方向，根据解析式求出二次函数的对称轴，再结合x的范围求解即可．
（3）根据点（m，n）及其所在直线用m来表示n，再用m表示出当x=m，n时的二次函数的函数值和，最后根据二次函数的最值求解即可．
【小问1详解】
解：把（-1，0）、（1，2）代入二次函数解析式得
解得
所以二次函数的表达式为．
【小问2详解】
解：∵a<0，
∴二次函数图象开口方向向下．
∵二次函数解析式为y=ax+ax+c（a≠0），
∴二次函数的对称轴为直线．
∵-1≤x<4，
∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
∴函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．
【小问3详解】
解：∵二次函数的解析式为y=ax+ax+c（a≠0），a=1，c=-2，
∴二次函数的解析式为．
∵点（m，n）在直线y=x-2上，
∴．
∴当x=m时，；当x=n时，．
设x=m，n时的二次函数的函数值和是S．
∴．
∴当时，S取得最小值是．
∴当x=m，n时的二次函数的函数值和的最小值是．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数的最值，熟练掌握这些知识点是解题关键．
八、本题满分14分．
23. 如图1，已知四边形是矩形，点E在的延长线上，．与相交于点G，与相交于点F，．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）如图2，连接，求证：．
【答案】（1）证明过程见详解；
（2）；
（3）证明过程见详解．
【解析】
【分析】（1）证明，得出，证得，则结论得出；
（2）证明，得出，即，设，则有，化简得，解方程即可得出答案；
（3）在线段上取点P，使得，证明，得出，，证得为等腰直角三角形，可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，点E在的延长线上，
，
又，，
，
，
，
即，
故；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
，
，，
，
，
即，
设，，，则有，
化简得，
解得或（舍去），
，
，
；
【小问3详解】
证明：如图，在线段上取点P，使得，
在与中，
，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，证明出以及截去证明出是解题的关键．红
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红
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