2024年中考数学压轴题专项练习—婆罗摩笈多模型

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（2）；
（3）．
【解答】（1）证明：延长到点，使，连接，
是中边上的中线，
，
在和中
，
，，
，，
，
，
，
在和中
，
，
；
（2）证明：由（1）得，
，
，
，
即；
（3）证明：连接、，
易证
，
，
．
2．（2021•开江县校级模拟）我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接，当时，我们称△是的“旋补三角形”，△ 边上的中线叫做的“旋补中线”．
特例感知
（1）在图2，图3中，△是的“旋补三角形”， 是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形，且时，则长为 3 ．
②如图3，当，且时，则长为 ．
猜想论证
（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长或延长，
拓展应用
（3）如图4，在四边形中，，，，以为边在四边形内部作等边，连接，．若是的“旋补三角形”，请直接写出的“旋补中线”长及四边形的边长．
【解答】解：（1）①如图2中，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为3．
②如图3中，
，，
，
，，
△，
，
，
，
故答案为3.5．
（2）结论：．
理由：如图1中，延长到，使得，连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
△，
，
．
（3）如图4中，过点作于，取的中点，连接．
是等边三角形，
，，
，
，
是的“旋补三角形”，
，，
，
，，
，
，
，
，
的“旋补中线”长，
，
，
也是的“旋补三角形”，
．
3．（2020•汇川区模拟）我们定义：如图1、图2、图3，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接，当时，我们称△是的“旋补三角形”，△ 边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．图1、图2、图3中的△均是的“旋补三角形”．
（1）①如图2，当为等边三角形时，“旋补中线” 与的数量关系为： ；
②如图3，当，时，则“旋补中线” 长为 ．
（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想“旋补中线” 与的数量关系，并给予证明．
【解答】解：（1）①如图2中，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为．
②如图3中，
，，
，
，，
△，
，
，
，
故答案为4．
（2）结论：．
理由：如图1中，延长到，使得，连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，，
△，
，
．
4．（2020•海淀区校级模拟）小明研究了这样一道几何题：如图1，在中，把点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，请问△边上的中线与的数量关系是什么？以下是他的研究过程：
特例验证：
（1）①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为 ；
②如图3，当，时，则长为 ．
猜想论证：
（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
拓展应用
（3）如图4，在四边形，，，，，，在四边形内部是否存在点，使与之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出的边上的中线的长度；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）①是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
②，
，
，
，
在和△中，，
△，
，
，
，
故答案为：4；
（2）与的数量关系：；理由如下：
延长到，使得，连接、，如图1所示：
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在和△中，，
△，
，
；
（3）存在；作于，作线段的垂直平分线交于，即为点的位置；理由如下：
延长交的延长线于，线段的垂直平分线交于，连接、、，作的中线，连接交于，如图4所示：
，
，
，
在中，，，，
，，，
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
是线段的垂直平分线，
，，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
与之间满足小明探究的问题中的边角关系；
在中，，，，
．
5．（2018秋•丹江口市期末）已知，中，，，是的中点，分别以，为边向外作正方形，正方形，连接，的延长线交于点，
（1）如图1，若，求证：，；
（2）将正方形绕点顺时针旋转至如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）将正方形绕点顺时针旋转至，，三点在一条直线上，请画出图形，并直接写出的长．
【解答】（1）证明：方法一：如图1中，
四边形，四边形均为正方形，
，
且，，
在和中，
，
，
，，
又是的中点，
，
，
，
，
．
方法二：如图，延长至点，使，连接．
在和中，
，
，
，，
，
四边形，四边形均为正方形，
，
且，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，为中点，
，
．
（2）如图3中，结论不变．
理由：在和中，
，
，
，，
，
，
四边形，四边形均为正方形，
，
，
，
且，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
为中点，
，
．
（3）①如图中，当点在的延长线上时，作于．
易证：，可得，
在中，，，
，
，
，
．
②如图中，当点在线段上时，同法可得
综上所述，的值为．
6．（2018春•成华区期末）我们定义：在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称△叫的“旋补三角形”，△ 的边上的中线叫做的“旋补中线”．下面各图中，△均是的“旋补三角形”， 均是的“旋补中线”．
（1）如图1，若为等边三角形，，则的长等于；
（2）如图2，若，求证：；
（3）如图3，若为任意三角形，（2）中结论还成立吗？如果成立，给予证明；如果不成立，说明理由．
【解答】解：（1）如图1中，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
（2）证明：如图2中，
绕点旋转得到，绕点旋转得到，
，，
，，，
，
，
△
，
是△边上的中线，．
．
．
（3）结论成立．
理由：如图3中，延长到，使得，连接，．
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，，
△
，
．
7．（2018春•南京期末）将的边绕点顺时针旋转得到，边绕点逆时针旋转得到，，连接，作△的中线．
【初步感知】
（1）如图①，当，时，的长为 2 ；
【探究运用】
（2）如图②，为任意三角形时，猜想与的数量关系，并证明．
【应用延伸】
（3）如图③，已知等腰，，延长到，延长到，使，将绕点顺时针旋转一周得到△，连接、，若，求的长度（用含、的代数式表示）．
【解答】（1）解：，
，
，
，
，，
△，
，
是直角三角形△斜边的中线，
．
故答案为2．
（2）证明：如图①中，延长到，使得．连接，．
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
△，
，
．
（3）①如图②中，作的中线．
在中，，
，
在中，，
由（2）可知：．
②如图③中，作的中线，延长到，使得，则四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
△，
，
由①可知，，
．
8．（2022秋•白云区校级期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点．
【解答】解：（1）如图1，
直线，直线，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（2）．
如图2，
证明如下：
，
，
，
在和中．
．
，
，，
（3）如图3，
过作于，的延长线于．
由（1）和（2）的结论可知
在和中，
，
，
，
是的中点．
9．（2020秋•南川区校级期中）已知：和均为等腰直角三角形，．连接，，点为中点，连接．
（1）如图1所示，若，，求的长．
（2）将绕点旋转一定的角度到图2，
求证：且．
【解答】（1）解：如图1中，
与为等腰直角三角形，，
，，
，，
由勾股定理可得：，，
在中．
在中，是的中点，则，
（2）证明：如图2中，延长到，使得，连接，
，，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
．
由，知
，
．
10．（2020秋•鼓楼区校级期中）【感知】如图①，在四边形中，，点在边上，，且，求证：．
【探究】如图②，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，，且，，连接交于点．求证：．
【拓展】如图③，点在四边形内，十，且，，过作交于点，若，延长交于点．求证：．
【解答】证明：（1），
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（2）如图②，过点作于，
由（1）可知，
，
同（1）可得，，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）如图③，在的延长线上取点，使，在上取点，使，连接、，
十，十，，
，
在和中，
，
，
，，
同理可得，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
11．（2020•黑龙江）以的两边、为边，向外作正方形和正方形，连接，过点作于，延长交于点．
（1）如图①，若，，易证：；
（2）如图②，；如图③，，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．
【解答】解：（1）证明：，，
，
，
，
，
同理，
，
四边形和四边形为正方形，
，
．
（2）如图1，时，（1）中结论成立．
理由：过点作交的延长线于，过点作于，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得：，
，
在和中，
，
，
．
如图2，时，（1）中结论成立．
理由：过点作交的延长线于，过点作于，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得：，
，
在和中，
，
，
．
12．（2020秋•亭湖区期中）【感知】
如图1，在四边形中，，点在边上，且满足是等腰直角三角形，．求证：．
【探究】
如图2，在四边形中，，点在边上，且满足是等腰直角三角形，，点在边的延长线上，连接，以为直角边作等腰，过点作，垂足为，连接交于点．求证：．
【拓展】
如图3，点在四边形内，，且，，过点作交于点，使，延长交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由．
【解答】【感知】证明：是等腰直角三角形，，
，，
，
，
在和中，
，
；
【探究】证明：由感知可知，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
【拓展】解：，
理由如下：在的延长线上取点，使，在上取点，使，连接、，
，，，
，
在和中，
，
，
，，
同理可得，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
13．如图：分别以的边、为边，向三角形的外侧作正方形和正方形，为上的高，延长交于点，求证：为的中点．
【解答】解：过点作的延长线于，过点作于，如图所示：
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
同理可得：，
，
在和中，，
，
，
为的中点．
14．（2020•桥西区模拟）如图①，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接，当时，我们称△是的旋补三角形，△边上的中线叫做的旋补中线．
如图②，当为等边三角形时，△是的旋补三角形，是旋补中线，与的数量关系为： ；当时，则长为 ．
【解答】解：如图②中，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
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