2024年中考数学压轴题专项练习—二次函数之面积最值问题

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1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。在函数复习过程中，如果考生未能完全理解简单实例中的数量关系和变化规律，针对此类问题，在专项复习中，可以通过选择题、填空题的专项练习，进行突破，如“读懂图象信息问题”等，将复杂问题由浅入深，层层分解，提高分析和判断能力。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
二次函数之面积最值问题
1．（2023秋•庐阳区校级月考）如图，已知：抛物线经过点A（0，2）点C（4，0），且交x轴于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求△ACM面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）M点坐标为（2）中的坐标，若抛物线的图象上存在点P，使△ACP的面积等于△ACM面积的一半，则P点的坐标为 （2+，）或（2﹣，）或（2+，）或（2﹣，） ．
【解答】解：（1）把A（0，2）、C（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）过M作MK∥y轴交AC于K，如图：
设M（m，﹣m2+m+2），△ACM面积为S，
由A（0，2）、C（4，0）得直线AC解析式为y＝﹣x+2，
∴K（m，﹣m+2），
∴KM＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m，
∴S＝KM•|xC﹣xA|＝×（﹣m2+m）×4＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，
∵﹣＜0，
∴当m＝2时，S取最大值2，
此时M（2，2）；
∴△ACM面积的最大值是2，此时点M的坐标为（2，2）；
（3）过P作PN∥y轴交AC于N，
设P（n，﹣n2+n+2），则N（n，﹣n+2），
∴PN＝|（﹣n2+n+2）﹣（﹣n+2）|＝|﹣n2+n|，
∴S△ACP＝PN•|xC﹣xA|＝×|﹣n2+n|×4＝|﹣n2+2n|＝S△ACM＝1，
解得n＝2+或2﹣或2+或2﹣．
∴P点的坐标为（2+，）或（2﹣，）或（2+，）或（2﹣，）．
故答案为：（2+，）或（2﹣，）或（2+，）或（2﹣，）．
2．（2022秋•营山县校级期末）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；
（2）若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点H（n，t）为抛物线上的一个动点，H关于y轴的对称点为H1，当点H1落在第二象限内，H1A2取得最小值时，求n的值．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（2，3）两点代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）；
（2）设AC的直线解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+1，
过点P作PG∥y轴交AC于点G，
设P（t，﹣t2+2t+3），则G（t，t+1），
∴PG＝﹣t2+t+2，
∴S△PAC＝×3×（﹣t2+t+2）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，△PAC的面积最大值为，
此时P（，）；
（3）点H（n，t）为抛物线上的一个动点，点H1与H点关于y轴对称，
∴H1（﹣n，t），H1在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴t＝﹣n2﹣2n+3，
∴H1A2＝（n+1）2+t2＝t2﹣t+4＝（t﹣）2+，
∴当t＝时，H1A2有最小值，
∴＝﹣n2+2n+3，
解得n＝1+．
3．（2023秋•蕲春县期中）如图，抛物线y＝（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限．
①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；
②过点M作PM⊥x轴交线段AC于点P，求出线段PM长度的最大值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x+1）2+k 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
∴﹣3＝（0+1）2+k，
解得：k＝﹣4，
∴抛物线的解析式为：y＝（x+1）2﹣4，
故对称轴为：直线x＝﹣1；
（2）存在．
如图，连接AC，交对称轴于点P，此时PA+PC的值最小，
当y＝0，则0＝（x+1）2﹣4，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
由题意可得：△ANP∽△AOC，
则＝，
故＝，
解得：PN＝2，
则点P的坐标为：（﹣1，﹣2）；
（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，
故﹣3＜x＜0；
①如图，设点M的坐标为：[x，（x+1）2﹣4]，
∵AB＝4，
∴S△AMB＝×4×|（x+1）2﹣4|＝2|（x+1）2﹣4|，
∵点M在第三象限，
∴S△AMB＝8﹣2（x+1）2，
∴当x＝﹣1时，即点M的坐标为（﹣1，﹣4）时，△AMB的面积最大，最大值为8；
②设点M的坐标为：[x，（x+1）2﹣4]，
设直线AC的解析式为：y＝ax+d，
将（﹣3，0），（0，﹣3）代入得：
，
解得：．
故直线AC：y＝﹣x﹣3，
设点P的坐标为：（x，﹣x﹣3），
故PM＝﹣x﹣3﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣3x＝﹣（ x+）2+，
当x＝﹣时，PM最大，最大值为．
4．（2023秋•江南区校级期中）如图，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣12a与x轴交于A、B两点（点A点B点的左边），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵D（4，3）在抛物线y＝ax2﹣4ax﹣12a上，
∴3＝16a﹣16a﹣12a，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；
（2）当y＝0时，0＝﹣x2+x+3，
解得x1＝﹣2，x2＝6，
∴A（﹣2，0）、B（6，0）；
如图1中，过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P（m，﹣m2+m+3），则K（m，m+1）．
∵S△PAD＝•（xD﹣xA）•PK＝3PK，
∴PK的值最大值时，△PAD的面积最大，
∵PK＝﹣m2+m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣1）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝1时，PK的值最大，最大值为，此时△PAD的面积的最大值为，P（1，）．
（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（﹣5，6），
设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，
∵D（4，3），
∴直线DT的解析式为y＝﹣x+，
∴Q（0，），
作点T关于AD的对称点T′（1，﹣6），
则直线DT′的解析式为y＝3x﹣9，
设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，
∴Q′（0，﹣9），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，）或（0，﹣9）．
5．（2023秋•滨城区期中）如图，已知抛物线的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与y轴交于C点．
（1）求A点、B点坐标；
（2）求直线BC的解析式；
（3）点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大？若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，
∴﹣＝3，解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．
当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝8，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）；
（2）当x＝0时，y＝4，
∴点C的坐标为（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）．
将B（8，0）、C（0，4）代入y＝kx+b，得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4；
（3）存在点P，使△PBC的面积最大，理由如下：
设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示．
∴PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，
∴S△PBC＝PD•OB＝×8•（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16．
∵﹣1＜0，
∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．
∵0＜x＜8，
∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．
6．（2023秋•福清市期中）如图，抛物线y＝﹣x2﹣bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣4），作直线AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接OD，当四边形ADBP的面积最大时．
①求证：四边形OCPD是平行四边形；
②连接AD，在抛物线上是否存在Q，使∠ADP＝∠DPQ，若存在求点Q的坐标；若不存在说明理由．
【解答】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣5x﹣4①；
（2）①证明：由抛物线的表达式知，点B（﹣1，0），则AB＝3，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣4，
设点D（x，﹣x2﹣5x﹣4），则点P（x，﹣x﹣4），
则PD＝﹣x2﹣4x，
四边形ADBP的面积＝AB×PD＝3×（﹣x2﹣4x），
∵﹣＜0，故四边形ADBP的面积有最大值，
此时x＝﹣2，
则点D、P的坐标分别为：（﹣2，2）、（﹣2，﹣2）；
由点P、D的坐标得：PD＝4＝CO，
则OC∥PD，
则四边形OCPD是平行四边形；
②解：由点A、P、D的坐标知，△APD为等腰直角三角形，
则∠ADP＝45°，则直线AD的表达式为：y＝x+4，
∵∠ADP＝∠DPQ，
则PQ∥AD，
则直线PQ的表达式为：y＝（x+2）﹣2＝x②，
联立①②得：﹣x2﹣5x﹣4＝x，
解得：x＝﹣3+（不合题意的值已舍去），
则点Q的坐标为：（﹣3+，﹣3+），
当点Q和点A重合时，也符合题意，
则点Q（﹣4，0），
综上，点Q的坐标为：（﹣3+，﹣3+）或（﹣4，0）．
7．（2023•临淄区一模）如图，抛物线与x轴交于点A和B，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）如图1，动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动，同时，动点Q从点B出发，在线段BC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒，问P、Q两点运动多久后△PBQ的面积S最大，最大面积是多少？
（3）如图2，点D为抛物线上一动点，直线AD交y轴于点E，直线BD交y轴于点F，求的值．
【解答】解：（1）令y＝0，即有：，
利用因式分解法，求得：x1＝﹣2，x2＝4，
结合图形，可知A（﹣2，0）、B（4，0），
令x＝0，，
则有C点坐标为：C（0，﹣4），
即结果为：A（﹣2，0）、B（4，0），C（0，﹣4）；
（2）∵A（﹣2，0）、B（4，0），C（0，﹣4），
∴AO＝2、BO＝4＝CO，
∴△BOC是等腰直角三角形，AB＝AO+BO＝2+4＝6，
∴，
过Q点作QN⊥AB于N点，如图，
根据运动的特点，可得：AP＝t，，
∴BP＝6﹣t，
∵AB＝6，，
∴t的取值范围为：，
∵△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
∵QN⊥AB，
∴∠QNB＝90°，
∴∠NQB＝∠OBC＝45°，
∴△QNB是等腰直角三角形，QN＝BN，
∵，，QN＝BN，
∴QN＝BN＝t，
∴，
∵0＜t≤4，
∴当t＝3时，S△PBQ有最大值，最大值为，
运动t＝3秒时，S△PBQ有最大值，最大值为；
（3）根据题意，设点D的坐标为：，
设直线AD的解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣2，0），
∴，
解得，
即直线AD的解析式为：，
∴令x＝0，，
∴E点坐标为：（0，m﹣4），
∵C（0，﹣4），
∴CE＝|m﹣4+4|＝|m|，
同理可求出直线BD的解析式为：，
∴令x＝0，，
∴F点坐标为：（0，﹣2m﹣4），
∵C（0，﹣4），
∴CF＝|﹣2m﹣4+4|＝|2m|，
根据题意可知：若m＝0，则可知E、F、D、C四点重合，
此时不符合题意，故m≠0，
∴，
即值为．
8．（2023秋•包河区期中）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，点P是BC上方抛物线上的一动点，作PM⊥x轴于点M，点M的横坐标为t（0＜t＜3），交BC于点D．
（1）求A，B的坐标和直线BC的解析式；
（2）连接BP，求△CPB面积的最大值；
（3）已知点Q也在抛物线上，点Q的横坐标为t+2，作QE⊥x轴于点F，交BC于点E，若P，D，Q，E为顶点的四边形为平行四边形，求t的值．
【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入解析式得：，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）∵点M的横坐标为t，点P在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，D在直线y＝﹣x+3，
∴P（t，﹣t2+2t+3），D（t，﹣t+3），
∴PD＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，
∴S△CPB＝PD•OB＝（﹣t2+3t）×3＝﹣（t2﹣3t）＝﹣（t﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝时，S△CPB有最大值，最大值为，
∴△CPB面积的最大值为；
（3）①如图所示，当四边形PDEQ为平行四边形时，
∵PM⊥x轴，QF⊥x轴，
∴PD∥EQ，
∵四边形PDEQ为平行四边形，
∴PD＝QE，
∵点Q的横坐标为t+2，点Q在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，E在直线y＝﹣x+3，
∴Q（t+2，﹣t2﹣2t+3），E（t+2，﹣t+1），
∴QE＝﹣t2﹣2t+3﹣（﹣t+1）＝﹣t2﹣2t+3+t﹣1＝﹣t2﹣t+2，
∴﹣t2+3t＝﹣t2﹣t+2，
解得t＝；
②如图所示，当四边形PDQE为平行四边形时，
同①得出QE＝﹣t+1﹣（﹣t2﹣2t+3）＝t2+t﹣2，
∴﹣t2+3t＝t2+t﹣2，
解得t1＝，t2＝，
∵0＜t＜3，
∴t＝．
综上所述，t＝或．
9．（2023秋•鲤城区校级期中）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C（0，3），且BO＝CO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在线段OB上，过点E作x轴的垂线交抛物线于点P，连接PA，若PA⊥CE，垂足为点F，求OE的长；
（3）在（2）的条件下，直线AP上方的抛物线上是否存在一点Q，使四边形AQPB面积最大，若存在，求出点Q坐标，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
即x＝0时，y＝3，
∴c＝3，
∴OB＝OC＝3，
∴点B的坐标为（3，0），
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+3的图象过点B（3，0），
∴0＝9a﹣6a+3，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设PA交y轴于点D，如图1所示：
∵PA⊥CE，
∴∠EFA＝∠EOC＝90°．
∵∠ADO＝∠CDF，
∴∠PAB＝∠OCE，
∵PE⊥x轴，
∴∠PEA＝∠EOC＝90°，
∴△PEA∽△EOC，
∴＝，
设点E的坐标为（x，0），
则点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3），
∴＝，
解得：x1＝，x2＝﹣1（不合题意舍去），即OE的长为；
（3）设点Q（x，﹣x2+2x+3），过点Q作QF⊥x轴，交AP于点F，如图2，
由（2）可得：点，
∴，
抛物线y＝﹣x2+2x+3当y＝0时，
∴﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，
设直线AP解析式为：y＝kx+b，
把A（﹣1，0），代入：
，
解得：，
∴直线AP解析式为：，
∴，
∴，
∵，
∴当时，QF取最大值，四边形AQPB面积最大，此时．
10．（2023秋•鹤山市期中）如图1在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，点A在原点的左侧，点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4），点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式？
（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？并求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．
【解答】解：（1）将B、C两点的坐标代入得，
，
解得：，
所以二次函数的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，
P（x，x2﹣3x﹣4），设直线BC的解析式为：y＝kx+d，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣4，
则Q点的坐标为（x，x﹣4）；
当0＝x2﹣3x﹣4，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴AO＝1，AB＝5，
S四边形ABPC＝S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
＝AB•OC+QP•BF+QP•OF
＝×5×4+（4﹣x）[x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）]+x[x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）]
＝﹣2x2+8x+10
＝﹣2（x﹣2）2+18，
当x＝2时，四边形ABPC的面积最大，
此时P点的坐标为：（2，﹣6），四边形ABPC的面积的最大值为18．
11．（2023秋•东丽区期中）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，直接写出D点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线顶点坐标为C（3，6），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+6，
将B（0，3）代入可得a＝﹣，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）连接PO，
由题意，BO＝3，AO＝3，
设P（n，﹣n2+2n+3），
∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO，
S△BPO＝n，
S△APO＝﹣n2+3n+，
S△ABO＝，
∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+，
∴当n＝时，S△ABP的最大值为；
（3）存在，设D点的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
过D作对称轴的垂线，垂足为G，
则DG＝t﹣3，CG＝6﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t+3，
∵∠ACD＝30°，
∴2DG＝DC，
在Rt△CGD中，
CG＝DG，
∴（t﹣3）＝t2﹣2t+3，
∴t＝3+3或t＝3（舍）
∴D（3+3，﹣3）．
12．（2023•平远县一模）如图1，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线在第一象限上一动点，连接PB、PC，当△PBC的面积最大时，求出点P的坐标；
（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，且满足∠QBC＝45°﹣∠ACO，请直接写出点Q坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4；
（2）如图，过点P作x轴的垂线，交BC于点N，
在y＝﹣x2+3x+4中，当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
设直线BC的解析式为y＝kx+4，
将点B（4，0）代入y＝kx+4，
得4k+4＝0，
∴k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（x，﹣x2+3x+4），则N（x，﹣x+4），
∴PN＝﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+4x，
∴S△PBC＝PN•OB＝（﹣x2+4x）×4＝﹣2（x﹣2）2+8，
∴当x＝2时，△PBC的面积最大，
∴P（2，6）；
（3）设Q（m，﹣m2+3m+4），
①当点Q在直线BC上方时，如图2，过点B作BM⊥x轴，过点Q作QM⊥BM交于M，
∵BO＝OC＝4，
∴∠OBC＝45°，
∴∠CBM＝45°，
∴∠CBQ＝45°﹣∠QBM，
∵∠QBC＝45°﹣∠ACO，
∴∠QBM＝∠ACO，
∵∠AOC＝∠QMB＝90°，
∴△AOC∽△QMB，
∴，
∴，
解得：m＝3或m＝4（舍），
经检验，m＝3是原方程的解，
∴Q（3，4）；
②当点Q在直线BC上下方时，如图3，过点Q作QN⊥x轴交于N，
∵∠OBC＝45°，∠QBC＝45°﹣∠ACO，
∴∠QBN＝∠ACO，
∵∠AOC＝∠QNB＝90°，
∴△AOC∽△QNB，
∴，
∴＝，
解得m＝4（舍）或m＝﹣，
经检验，m＝﹣是原方程的解，
∴Q（﹣，）；
综上所述：Q点坐标为（3，4）或（﹣，）．
3．（2023秋•天山区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+mx+n经过点A（3，0），B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式；
（2）若点P在第四象限，求线段PM最长时点P的坐标．
（3）连接AM、BM，求△ABM面积最大值是多少？
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（3，0），B（0，﹣3）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；
把A（3，0），B（0，﹣3）代入y＝x2+mx+n得：
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设P（t，t﹣3）（0＜t＜3），则M（t，t2﹣2t﹣3），
∴PM＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，线段PM最长，最长为，
此时点P的坐标为（，）；
（3）S△ABM＝S△PMB+S△PMA
＝PM•xP+PM（xA﹣xP）
＝PM•OA，
∴线段PM最长时，△ABM的面积最大，
S△ABM＝×3×＝．
∴△ABM面积最大值是．
14．（2023•白塔区一模）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C，且OA＝2OC，点F是直线AB下方抛物线上的动点，连接FA，FB．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点F与抛物线的顶点重合时，△ABF的面积为 3 ；
（3）求四边形FAOB面积的最大值及此时点F的坐标．
（4）在（3）的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内另一点M，使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）把（4，0）代入y＝x+b，得，
4+b＝0，解得：b＝4，
∴y＝x﹣4，
当x＝0时，y＝0﹣4＝﹣4，
∴B（0，﹣4），
∴A（4，0），
∴OA＝4，
∵OA＝2OC，
∴OC＝2，
∴C（﹣2，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
把B（0，﹣4）代入得：﹣4＝a（0+2）（0﹣4），
解得：a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x+2）（x﹣4）＝﹣x﹣4；
（2）y＝﹣x﹣4＝，
∵点F与抛物线的顶点重合，
∴F（1，），
设抛物线对称轴与直线AB相交于E，如图，
∵A （4，0），B（0，﹣4），
∴直线AB解析式为：y＝x﹣4，
则当x＝1时，y＝1﹣4＝﹣3，
∴E（1，﹣3），
∴，
故答案为：3；
（3）如图，过点F作FE∥y轴，交AB于点E，
设点F的横坐标为t，则F（t，），
∵直线AB的解析式为y＝x﹣4，
∴E（t，t﹣4），
∴S△BFA＝OA•EF＝×（4﹣0）×（t﹣4﹣t2+t+4）＝﹣t2+4t，
∵，
∴S四边形FAOB＝S△BFA+S△BOA＝﹣t2+4t+8＝﹣（t﹣2）2+12（0＜t＜4），
∴当t＝2时，S四边形FAOB有最大值12，，
∴此时点F的坐标为（2，﹣4）．
（4）过作FE⊥x轴于E，
∵A（4，0），F（2，﹣4），
∴AE＝2，EF＝4，AF＝2，
如图，①当AF为正方形AFMQ的边时，
1）有正方形 AFM1Q1，
过Q1作Q1N1⊥x轴于N1，
∵∠AEF＝∠AN1Q1＝90°，∠FAQ1＝90°，
∴∠EAF＝∠AQ1N1，
∵AF＝AQ1，
∴△AEF≌△Q1N1A（AAS），
∴AN1＝EF＝4，Q1N1＝AE＝2，
∴Q（8，﹣2）；
2）有正方形AFQ2M2时，
过Q2作Q2N2⊥EF于N2，
同理可得△AEF≌△FN2Q2（AAS），
∴FN2＝AE＝2，Q2N2＝EF＝4，
∴Q2（6，﹣6）；
②当AF为正方形AFMQ的对角线时，设AF与QM相交于P，
∵A（4，0），F（2，﹣4），
∴P（3，﹣2），
1）有正方形AQ3FM3时，过Q3作Q3G⊥x轴于G，过M3作M3H⊥x轴于H，
易证△AHM3≌△Q3GA，
∴AH＝Q3G，M3H＝AG，
设Q3（4+a，b），则M3（4+b，﹣a），
∴，
解得：，
Q3（5，﹣3），M3（1，﹣1），
2）有正方形AQ4FM4时，过Q4作Q4H⊥x轴于H，
则Q3与M3重合，
∴Q4 （1，﹣1），
综上，存在，当以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形时，点Q的坐标Q1（8，﹣2），Q2（6，﹣6），Q3（5，﹣3），Q4（1，﹣1）．
15．（2023秋•和平区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值及点P的坐标；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A（﹣5，0）、B（﹣4，﹣3）代入抛物线y＝ax2+bx+5，
得：，
解得：，
∴该抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①；
（2）①令y＝0，得x2+6x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣5，
∴点C（﹣1，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+d，将点B、C的坐标代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x+1…②，
如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），
∴PG＝t+1﹣（t2+6t+5）＝﹣t2﹣5t﹣4，
∴S△PBC＝PG•（xC﹣xB）＝×（﹣t2﹣5t﹣4）×3＝﹣t2﹣t﹣6＝﹣（t+）2+，
∵﹣＜0，
∴S△PBC有最大值，当t＝﹣时，其最大值为，此时P（﹣，﹣）；
②∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，
∴顶点D（﹣3，﹣4），
设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC＝∠BCD，
∴点H在BC的中垂线上，
∵线段BC的中点坐标为（﹣，﹣），过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点（﹣，﹣）代入上式得﹣＝﹣（﹣）+m，
解得：m＝﹣4，
∴直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，
设直线CD的解析式为y＝k′x+b′，把C（﹣1，0），D（﹣3，﹣4）代入得：，
解得：，
∴直线CD的解析式为：y＝2x+2…④，
联立③④得：，
解得：，
∴点H（﹣2，﹣2），
设直线BH的解析式为y＝k″x+b″，则，
解得：，
∴直线BH的解析式为：y＝x﹣1…⑤，
联立①⑤得，
解得：，（舍去），
故点P（﹣，﹣）；
当点P（P′）在直线BC上方时，
∵∠PBC＝∠BCD，
∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，
即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，
联立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍去﹣4），
故点P（0，5）；
综上所述，点P的坐标为P（﹣，﹣）或（0，5）．
16．（2023秋•越秀区校级月考）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2经过B、C两点，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当抛物线上的点P的在BC下方运动时，求△BCP面积的最大值；
（3）连接OP，把△OCP沿着y轴翻折，使点P落在P′的位置，四边形CPOP′能否构成菱形，若能，求出点P的坐标，如不能，请说明理由．
【解答】解：（1）对于直线y＝x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
令y＝0，则0＝x﹣2，
∴x＝4，
∴B（4，0），
将点B，C坐标代入抛物线y＝x2+bx+c中，得，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）过点P作PG∥y轴交BC于点G，
设P（t，t2﹣t﹣2，则G（t，t﹣2），
∴PG＝t﹣2﹣t2+t+2＝﹣t2+2t，
∴S△BCP＝×4（﹣t2+2t）＝﹣（t﹣2）2+4，
∴当t＝2时，S△BCP的值最大，最大值为4；
（3）如图，
由翻折得，点P、P'关于y轴对称，
∴OC垂直平分PP′，
当PP′垂直平分OC时，四边形CPOP'能构成菱形，
∴点P的纵坐标为﹣1，
当y＝﹣1时，﹣1＝x2﹣x﹣2，
∴x＝，
∴四边形CPOP'能构成菱形，点P的坐标为（，﹣1）或（，﹣1）．
17．（2023秋•江汉区月考）如图1，已知二次函数的图象与y轴交于点A．与x轴交于点B，C，连接AB、AC．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，过点B作BN∥AC交抛物线于点N，点M为抛物线上位于AC上方一点，求四边形AMCN面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）如图3，将抛物线沿着射线AB平移个单位，若点P为新抛物线对称轴上一点，当以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点P的坐标．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴点A的坐标为（0，4），
令y＝0，则，
解得x1＝﹣2，x2＝8，
∴点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（8，0）．
∵A（0，4），B（﹣2，0），C（8，0）
∴AO＝4，BO＝2，CO＝8，
在Rt△AOB中，，
在Rt△AOC中，，
∴BC＝BO+CO＝2+8＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
（2）设直线AC的函数解析式为y＝kx+b，
∵A（0，4），C（8，0），代入解析式得：
，
解得，
∴直线AC的函数解析式为．
设点M的坐标为，
如图，过点M作ME⊥x轴于点E，交AC于点F，则点F的坐标为，
∴，
∴S△ACM＝S△AFM+S△CFM
＝
＝
＝
＝﹣m2+8m，
∵BN∥AC，BA⊥AC，
∴，
∴，
∴当m＝4时，S四边形AMCN有最大值，为S四边形AMCN＝36，
此时，
即点M的坐标为（4，6）；
（3）原抛物线的对称轴为，
∵在Rt△AOB中，AO＝4，BO＝2，，
∴将抛物线沿着射线AB平移个单位，即相当于将抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，原抛物线的对称轴也作同样的平移，
∴新抛物线的对称轴为x＝3﹣2＝1，
∵点P是新抛物线对称轴x＝1上的一点，
∴设点P的坐标为（1，n），
∵A（0，4），C（8，0），
∴，
，
．
若以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形，则有以下三种情况：
①AP＝CP，则，
解得n＝﹣4，
此时点P的坐标为（1，﹣4）；
②AP＝AC，则，
解得，
此时点P的坐标为或；
③CP＝AC，则，
解得，
此时点P的坐标为或．
综上所述，若以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，﹣4）或，，，．
18．（2023秋•南岗区校级月考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣3x﹣3交x轴于A，交y轴于C，经过A、C两点的抛物线y＝x2+bx+c 交x轴于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上第四象限上一点，连接PC、PB、BC，设点P的横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，点Q为抛物线上一点，当△PBC的面积S最大时，∠ACP+∠PBQ＝180°，求点Q的坐标．
【解答】解：（1）直线y＝﹣3x﹣3交x轴于A，交y轴于C，则点A、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，﹣3），
则抛物线的表达式为：y＝x2+bx﹣3，
将点A的坐标代入上式得：0＝1﹣b﹣3，则b＝﹣2，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3①；
（2）由抛物线的表达式知，点B（3，0），
由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，
过点P作y轴的平行线交BC于点H，
则点H（t，t﹣3），则点P（t，t2﹣2t﹣3），
则PH＝﹣t2+3t，
则S＝S△PHB+S△PHC＝PH×OB＝×（﹣t2+3t）＝﹣t2+t（0＜t＜3）；
（3）由S＝﹣t2+t知，当t＝时，S最大，此时点P（，﹣），
设点L在y上且在点C的下方，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣3x﹣3，
由点B、P的坐标知，直线PB的表达式为：y＝（x﹣3），PB＝，
同理可得，直线CP的表达式为：y＝﹣x﹣3，
过点P作PM⊥AC交AC的延长线于点M，
设PM的表达式为：y＝x+b1，
将点P的坐标代入上式得：﹣＝+b1，
解得：b1＝﹣，
则PM的表达式为：y＝x﹣，
联立y＝﹣3x﹣3和y＝x﹣得：﹣3x﹣3＝x﹣，
解得：x＝，
即点M（，﹣）；
由点P、C、M的坐标得，PM＝，PC＝，
则sin∠PCM＝，则∠PCM＝45°，
∵∠ACP+∠PBQ＝180°，∠ACP+∠PCM＝180°，
∴∠PBQ＝∠PCM＝45°，
设BQ于OC交于点N，设ON＝b，
过点N作BP的垂线交BP于点E，PB交y轴于点F，
∵直线BPy＝（x﹣3），则点F（0，﹣），
则BN＝，BF＝2PB＝，EN＝BE＝BN＝，FN＝﹣b，
则S△BNF＝BF•EN＝FNO•B，
即××＝（﹣b）×3，
解得：b＝﹣7（舍去）或，
则点N（0，﹣），
则直线BN的表达式为：y＝x﹣，
联立y＝x﹣和y＝x2﹣2x﹣3得：x﹣＝x2﹣2x﹣3，
解得：x＝3（舍去）或﹣，
则点Q（﹣，﹣）．
19．（2023•铜梁区校级一模）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧）交y1轴于点C．
（1）求△ABC的面积；
（2）如图1，若BD＝2OD，过点D作DE∥BC交y轴于点E，点P是抛物线上BC下方的一动点，连接PD，PE，求△PDE面积的最大值以及取最大值时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度，得到新的抛物线y＝ax2+bx+c，平移后的抛物线与原抛物线的交点为F．在（2）的条件下，在直线BC上存在一点M，平面直角坐标系中存在一点N，使得以P，F，M，N为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．
【解答】解：（1）对于y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，
令y＝x2﹣2x﹣3＝0，则x＝﹣1或3，
则点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3），
则△ABC的面积＝AB×OC＝（3+1）×3＝6；
（2）过点D作DH∥y轴交PE于点H，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，
若BD＝2OD，则OD＝1，即点D（1，0），
由DE∥BC知，△ODE为等腰直角三角形，则点E（0，﹣1），
设点P的坐标为：（m，m2+2m﹣3），
由点P、E的坐标得，直线PE的表达式为：y＝x﹣1，
则点H（1，﹣1），
则△PDE面积＝S△DHE+S△DHP＝DH•（xP﹣xE）＝（﹣+1）•m＝（﹣m2+3m+2）＝﹣（m﹣）2+≤，
即△PDE面积的最大值为：，此时，点P的坐标为：（，﹣）；
（3）平移后的抛物线表达式为：y＝（x+2）2﹣2（x+2）﹣3＝x2+2x﹣3，
则点F和点C重合，即点F的坐标为：（0，﹣3），
设点M（m，m﹣3），点N（s，t），
由（2）知，点P的坐标为：（，﹣）；
当PF为菱形的对角线时，
由中点坐标公式和FM＝FN得：
，解得：，
即点N的坐标为：（﹣，﹣）；
当FM为对角线时，
由中点坐标公式和FP＝NF得：
，解得：，
即点N的坐标为：（﹣，﹣）；
当FN为对角线时，由中点坐标公式和FP＝NF得：
，解得：，
即点N的坐标为：（，﹣）．
综上，点N的坐标为：（﹣，﹣）或（﹣，﹣）或（，﹣）．
20．（2023春•海阳市期中）若直线y＝﹣2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象经过点A，交x轴于C，D两点，且抛物线的对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）过点C作直线CE∥AB交y轴于点E，点P是直线CE上一动点，点Q是第一象限抛物线上一动点，求四边形APBQ面积的最大值与此时点Q的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得∠MAD+∠OAB＝45°？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由直线y＝﹣2x+4与y轴交于点A，得A（0，4），
又抛物线经过点A且对称轴为直线x＝，
则c＝4，由﹣＝，得a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4．
（2）如图1，作QH⊥AB于点H，QN∥y轴交直线AB于点N．
设点Q（x，﹣x2+3x+4），则F（x，﹣2x+4）；
当y＝0时，由﹣x2+3x+4＝0得，x1＝﹣1，x2＝4，
∴C（﹣1，0），D（4，0）；
由﹣2x+4＝0，得x＝2，
∴B（2，0），
∴AB＝．
∵∠HNQ＝∠OAB，
∴，
∴HQ＝QN＝（﹣x2+3x+4+2x﹣4）＝（﹣x2+5x），
由CE∥AB，可得，
∴S四边形APBQ＝S△ABQ+S△ABP
＝（﹣x2+5x）+6
＝﹣x2+5x+6
＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，四边形APBQ的面积最大，四边形APBQ的最大面积为，此时Q（，）．
（3）存在．
如图2，由y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，得E（，），又Q（，），
设直线EF的解析式为y＝kx+b，则，解得，
∴F（，0），GF＝＝＝GE，
∴△EGF是等腰直角三角形．
若点M在直线EF下方，当时，则∠GFM＝∠CAO，
∴∠MFQ+∠CAO＝45°，此时MG＝×＝，
∴M（，）．
若点M在直线EF上方，作点M关于直线EF的对称点J，连接EJ，则△MEJ是等腰直角三角形，
∴EJ∥x轴．
∵EJ＝EM＝，
∴J（，）．
设直线FJ的解析式为y＝mx+n，则，
解得，
∴y＝﹣4x+31，当x＝时，y＝﹣4×+31＝25，
此时，M（，25）．
综上所述，点M的坐标为（，）或（，25）．