江苏省苏州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

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1. 已知一组数据：1，2，2，4，6，则这组数据的中位数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】把一组数据按照从小到大（或从大到小）排序，若数据的个数为奇数个，则排在最中间的数据是这组数据的中位数，若数据的个数为偶数个，则排在最中间的两个数据的平均数是这组数据的中位数，根据定义直接作答即可.
【详解】解：一组数据：1，2，2，4，6，排在最中间的数据是2，
所以其中位数是2，
故选A
【点睛】本题考查的是中位数的含义，掌握“利用中位数的定义求解一组数据的中位数”是解本题的关键.
2. 已知一元二次方程x2－8x＋c＝0有一个根为2，则另一个根为（ ）
A. 10B. 6C. 8D. －2
【答案】B
【解析】
【分析】设方程的另一个根为t，利用两根之和为8得到2+t=8，然后解关于t的方程即可．
【详解】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t=8，
解得t=6，
即方程的另一个根为6．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
3. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（ ）

A. 4B. 8C. 12D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
4. 要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ）
A. 向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B. 向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C. 向右平移2个单位，再向上平移3个单位
D. 向右平移2个单位，再向下平移3个单位
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的平移判断即可．
【详解】解：∵
=(x+2)2-3
∴的顶点为(-2，-3)，
而的顶点为（0，0）
∴抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位可得，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的平移，二次函数在平移时，二次项系数a不变，只改变顶点的位置．
5. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值等于（ ）
A. B. 0C. 1D. 1或者
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的定义以及一元二次方程的定义，将代入方程可得，根据二次项系数不为0，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为0，
∴，，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义以及一元二次方程的定义，解题的关键是注意二次项系数不能等于0．
6. 下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】本题主要应用两三角形相似的判定定理和勾股定理，相似三角形的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形相似，解答此题先根据勾股定理求出三角形的边长，然后看三边是否对应成比例即可．
【解答】解：设单位正方形的边长为，则给出的三角形三边长分别为，，．
A.三角形三边分别是，，，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；
B.三角形三边，，，与给出的三角形的各边不成比例，故B选项错误；
C.三角形三边，，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；
D.三角形三边，，，，与给出的三角形的各边成正比例，故D选项正确．
故选D．
7. 小明在一次训练中，掷出的实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系大致满足二次函数，则小明此次成绩为（ ）
A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知实心球落地时，即求的解即可．
【详解】当时，，即．
解得：（舍），．
则小明此次成绩时10米．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
8. 某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型(如甲图)，图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，两拉索底端距离AD＝20米，则立柱BC的高为（ ）
A. 20米B. 10米C. 10米D. 20米
【答案】C
【解析】
【分析】首先证明BD=AD=20米，解直角三角形求出BC即可．
【详解】解：∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠A=30°，∠BDC=60°，
∴∠ABD=60°30°=30°，
∴∠A=∠ABD，
∴BD=AD=20米，
∴BC=BD•sin60°=10（米），
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（ ）秒时与相似．
A. 2秒B. 4秒C. 或秒D. 2或4秒
【答案】C
【解析】
【分析】设经过秒时, 与相似,则,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当 时, ,即 当 时,,即 然后解方程即可求出答案．
【详解】解：设经过秒时, 与相似,
则
,
当 时, ,
即
解得：
当 时, ,
即
解得：
综上所述：经过或秒时,与相似
故选：C
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．
10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y轴的交点得到a，b，c的取值，于是可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点的个数可对②进行判断；根据对称轴可得，则，根据可得，代入变形可对③进行判断；当时，的值最大，即当时，即>，则可对④进行判断；由于方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．
【详解】解：①∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
∴abc＜0，①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点
∴>0
∴，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴，
∴
由图象得，当时，，
∴
∴，故③正确；
④当时，的值最大，
∴当时，>，
∴（），
∵b＞0，
∴（），故④正确；
⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，
∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴所有根之和2×（-）=2×=4，所以⑤错误．
∴正确的结论是③④，
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题
11. 已知，则的值为 _____．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】根据比例性质和分式的基本性质求解即可．
【详解】解：设，
∴，，
∴=，
故答案为：．
【点睛】本题考查比例性质、分式基本性质，熟练掌握比例性质是解答的关键．
12. 某中学课外阅读小组的5位成员在2022年的课外阅读量如表：
则这5位成员在2020年的平均课外阅读量为______本．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查求一组数据的平均数，根据平均数的计算公式计算即可．
【详解】这5位成员在2020年的平均课外阅读量为：(本)．
故答案为：15．
13. 在一个不透明的袋子中装有n个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有3个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，那么n的值是_________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．根据概率公式列出关于n的方程，解之可得．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
所以口袋中小球共有10个．
故答案为：10．
14. 某商店10月份的利润为600元，12月份的利润达到864元，则平均每月利润增长的百分率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设平均每月增长的百分率是，那么11月份的利润是元，12月份的利润是元，而此时利润是864元，进而可列出方程．
【详解】解：设平均每月增长的百分率是，由题意得：
，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：平均每月增长的百分率应该是．
故答案是：．
15. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为_____m．
【答案】
【解析】
【分析】由于OP和AB与地面垂直，则AB∥OP，根据相似三角形的判定可证△ABC∽△OPC，然后利用相似三角形的性质即可求出OP的长．
【详解】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴，
即，
∴OP＝m．
故答案：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16. 如图，半径为3的经过原点O和点，B是y轴左侧优弧上一点，则为_________．

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了圆心角，圆周角，弧之间的关系，勾股定理，锐角三角函数．连接，根据圆周角所对的弦是圆的直径，确定，根据勾股定理计算，根据同弧上的圆周角相等，计算即可．
【详解】解：连接，
因为，
所以为直径，即，
因为，
所以，
在中，，
所以，
所以，
因为，
所以，
故答案为：．
17. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2-4ac＜0；③3a+c＜0；④m为任意实数，则m（am-b）+b≤a；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=-2，其中正确的有______（只填序号）．
【答案】③④⑤．
【解析】
【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
由图象可知：c＞0，
∴abc＞0，
故①错误；
②∵抛物线与x轴的交点有两个，
∴b2-4ac＞0，②错误；
③∵，
∴b=2a，
由图象可知：9a-3b+c＜0，
∴9a-6a+c＜0，即3a+c＜0，故③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴当x=-1时，y有最大值，
∴am2-bm+c≤a-b+c（m为任意实数），
∴m（am-b）≤a-b（m为任意实数），
∴m为任意实数，则m（am-b）+b≤a，所以④正确；
⑤∵对称轴x=-1，
∴x1≠x2，x1+x2=-2时，有ax12+bx1+c=ax22+bx2+c，
∴ax12+bx1=ax22+bx2，
∴结论⑤正确．
综合以上可得：③④⑤．
【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
18. 如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD=8，AB=5，则线段PE的长等于____．
【答案】
【解析】
【分析】根据折叠可得四边形ABNM是正方形，CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，可求出三角形FNC的三边为3，4，5，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证，可得三边的比为3：4：5，设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，通过PG=HN，列方程解方程，进而求出PF的长，从而可求PE的长．
【详解】解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，
由折叠得：
四边形ABNM是正方形，AB=BN=NM=MA=5， CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，
∴NC=MD=8-5=3，
在中，
∴MF=5-4=1，
在中，设EF=x，则ME=3-x，
由勾股定理得， ，
解得：，
∵∠CFN+∠PFG=90°，∠PFG+∠FPG=90°，
∴∠CFN=∠FPG，
又∵∠FGP=∠CNF=90°
∴，
∴FG：PG：PF=NC：FN：FC=3：4：5，
设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，
四边形ABNM是正方形，

∴GN=PH=BH=4-3m，HN=5-（4-3m）=1+3m=PG=4m，
解得：m=1，
∴PF=5m=5，
∴PE=PF+FE=，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形，正方形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题
19. 计算：sin60°﹣tan30°＋cs45°．
【答案】
【解析】
【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【详解】解： .
．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
20. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程即可求解；
（2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【小问1详解】
解：
∴
小问2详解】
．
解：，
，
∴或，
∴．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
21. 国家实施“双减”政策后，为了解学生学业负担的减轻情况，学校随机抽取部分学生进行问卷调查，调查设置“显著”，“一般”，“略有”，“未有”四个减轻程度的等级．根据收集到的数据绘制如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）本次共调查了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有1800名学生，请根据抽样调查结果，估算该校学生学业负担“显著”和“一般”减轻的总人数．
【答案】（1）150；
（2）补全条形统计图见解析；
（3）该校学生学业负担“显著”和“一般”减轻的总人数为1260名．
【解析】
【分析】（1）利用等级为“未有”程度的学生人数除以其所占百分比即可得出所调查的总人数；
（2）根据总人数减去其它等级的人数，求出等级为“一般”程度的学生人数，即可补全条形统计图；
（3）求出该校学生学业负担“显著”和“一般”减轻的人数所占的百分比，再乘以总人数1800即得出答案．
【小问1详解】
根据题意可知：等级为“未有”程度的学生有30名，其占比为20%，
所以总人数为：．
故答案为：150．
【小问2详解】
等级为“一般”程度的学生为：名，
故补全条形统计图如下：
．
【小问3详解】
该校学生学业负担“显著”和“一般”减轻的人数所占百分比为 ，
故该校学生学业负担“显著”和“一般”减轻的总人数为名
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图相关联，用样本估计总体．根据分析条形统计图和扇形统计图得到必要的信息和数据是解答本题的关键．
22. 居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小王想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行一次分四个层次的抽样调查（四个层次为：A，非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同），并把调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的倍息解答下列问题：
（1）本次被抽查的居民人数是 人，将条形统计图补充完整．
（2）图中∠α的度数是 度；该小区有3000名居民，请估计对“广场舞”表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有人
（3）据了解，甲、乙、丙、丁四位居民投不赞同票，小王想从这四位居民中随机选择两位了解具体情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙的概率．
【答案】（1）40，见解析；（2）54，对“广场舞”表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有1350人；（3）见解析，．
【解析】
【分析】（1）用A层次的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出C层次的人数，然后补全条形统计图；
（2）用A层次的人数所占的百分比乘以360°得到∠α的度数；用3000分别乘以样本中A、B层次的人数所占的百分比，用它们的和可估计出小区对“广场舞”表示赞同（包括A层次和B层次）的人数；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好选中甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）12÷30%＝40，
所以本次被抽查的居民人数是40人，
C层次的人数为40﹣6﹣12﹣8＝14（人），
条形统计图补充为：
（2）∠α＝360°×＝54°，
3000×＝1350，
所以估计对“广场舞”表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有1350人；
故答案为40；54；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中甲和乙的结果数为2，
所以恰好选中甲和乙的概率＝＝．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23. 如图，二次函数y＝a（x﹣1）2﹣4a（a≠0）的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接AC，BC，判定△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）直角三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）将点C的坐标代入函数解析式，即可求出a的值，即得出二次函数表达式；
（2）令，求出x的值，即得出A、B两点的坐标．再根据勾股定理，求出三边长．最后根据勾股定理逆定理即可判断的形状．
【小问1详解】
解：将点C代入函数解析式得：，
解得：，
故该二次函数表达式为：．
【小问2详解】
解：令，得：，
解得：，．
∴A点坐标为(-1，0)，B点坐标为(3，0)．
∴OA=1，OC=，，
∴，
．
∵，即，
∴的形状为直角三角形．
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数图象与坐标轴的交点坐标，勾股定理逆定理．根据点C的坐标求出函数解析式是解答本题的关键．
24. 某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．
（1）求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设每月获得的利润为W（元）．这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y＝﹣10x+1000
（2）销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元
【解析】
【分析】（1）根据题意用待定系数法求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润＝单件利润×销量列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
【小问1详解】
设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
将（40，600），（80，200）代入得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+1000；
【小问2详解】
由题意得：W＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000，
配方得：W＝﹣10（x﹣70）2+9000，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝70时，W有最大值为9000，
答：这种文化衫销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元．
【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是列出函数关系式．
25. 某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且；支架BC与水平线AD垂直．，，，另一支架AB与水平线夹角，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：，，）
【答案】.
【解析】
【分析】设，根据含30度角的直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】设，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∵ ，
∴ ，
解得：，
∴.8≈19 cm
【点睛】本题考查解直角三角形，熟练运用锐角三角函数的定义是解题关键.
26. 如图，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，AC交⊙O于点E，过点E作EG⊥AB于点F，交CB的延长线于点G．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若GF＝2，GB＝4，求⊙O的半径．

【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为4
【解析】
【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：（1）连接OE．
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C；
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C，
∴∠A＝∠OEC，
∴OE∥AB，
∵BA⊥GE，
∴OE⊥EG，且OE为半径；
∴EG是⊙O的切线；
（2）∵BF⊥GE，
∴∠BFG＝90°，
∵，GB＝4，
∴，
∵BF∥OE，
∴△BGF∽△OGE，
∴，
∴，
∴OE＝4，
即⊙O的半径为4．

【点睛】
本题考查了圆和三角形的综合问题，掌握等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
27. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．

（1）求抛物线的表达式；
（2）是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）若点在抛物线对称轴上，点为任意一点，是否存在点、，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请直接写出，两点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）的最大值为，
（3）存在；，
【解析】
【分析】（1）先求得A，B，三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
（2）作于F，交于E，根据点和点E坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；
（3）根据菱形性质可得，进而求得点P坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标．
【小问1详解】
解：当时，，
，
当时，，
∴，
，
∵对称轴为直线，
，
∴设抛物线的表达式：，
，
，
抛物线的表达式为：；
【小问2详解】
解：如图1，作于F，交于E，
，，
，
，
，
，
当时，，
当时，，
；
【小问3详解】
解：设，
∵以A，，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，
，
即：，
，
，
，
∵，，
，，
．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、两点之间线段最短、勾股定理、菱形的性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
28. 【问题呈现】
和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．
（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．
【答案】（1）
（2）成立；理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论；
（2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论；
（3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
故答案为：．
小问2详解】
解：成立；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：当点E在线段上时，连接，如图所示：

设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
当点D在线段上时，连接，如图所示：

设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
综上分析可知，或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．成员
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