2024年新高考数学培优专练02 圆锥曲线中的面积问题（原卷版+解析）

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1．直线经过抛物线的焦点F且与抛物线交于A、B两点，过A、B两点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则的面积的最小值是（ ）
A．B．4C．D．6
2．已知，为椭圆的两个焦点 ，是椭圆上任意一点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线上一点P使得，求的面积（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆两焦点，P为椭圆上一点，若，则的的内切圆半径为（ ）
A．B．C．D．
5．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，线段的中点在直线上，为坐标原点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．9
二、多选题
6．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于、两点，若点满足 (为坐标原点)，下列说法正确的有（ ）
A．双曲线的虚轴长为
B．双曲线的离心率为
C．双曲线的一条渐近线方程为
D．三角形的面积为
7．已知曲线C的方程为，，点P是C上的动点，直线与直线交于点M，直线与直线交于点N，则的面积可能为（ ）
A．73B．76C．68D．72
8．双曲线C：的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为；
B．若，则的面积为；
C．的最小值为2；
D．双曲线与C的渐近线相同.
9．已知、是双曲线的上、下焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则下列说法正确的有（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．以为直径的圆方程为
C．点的横坐标为
D．的而积为
三、解答题
10．已知圆，直线是圆与圆的公共弦所在直线方程，且圆的圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）过点分别作直线、，交圆于、、、四点，且，求四边形面积的取值范围.
11．已知椭圆的一个焦点为，左、右顶点分别为，．经过点的直线与椭圆交于，两点．
（1）当直线的倾斜角为时，求线段的长；
（2）记与的面积分别为和，求的最大值．
12．已知直线与抛物线交于A、B两点，P是抛物线C上异于A、B的一点，若重心的纵坐标为，且直线、的倾斜角互补．
（Ⅰ）求k的值．
（Ⅱ）求面积的取值范围．
13．已知椭圆的右焦点为，直线被称作为椭圆的一条准线，点在椭圆上（异于椭圆左、右顶点），过点作直线与椭圆相切，且与直线相交于点.
（1）求证：；
（2）若点在轴的上方，当的面积最小时，求直线的斜率的平方.
14．设F1，F2分别是椭圆(a>b>0)的左、右焦点，且椭圆的离心率为，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，且的周长为，
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F2点且垂直于的直线与椭圆交于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值.
15．已知抛物线的焦点F恰为椭圆的一个顶点，且抛物线的通径（过抛物线的焦点F且与其对称轴垂直的弦）的长等于椭圆的两准线间的距离.
（1）求抛物线及椭圆的标准方程；
（2）过点F作两条直线，，且，的斜率之积为.
①设直线交抛物线于A，B两点，交抛物线于C，D两点，求的值；
②设直线，与椭圆的另一个交点分别为M，N.求面积的最大值.
16．已知椭圆经过点，且短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，且，求面积的取值范围.
17．在平面直角坐标系中，动点到直线的距离与到点的距离之差为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与交于、两点，若的面积为，求直线的方程.
18．如图，为椭圆的下顶点，过点的直线交抛物线于两点，是的中点.
（1） 求证:点的纵坐标是定值；
（2）过点作与直线倾斜角互补的直线交椭圆于两点.问：为何值时，的面积最大？并求面积的最大值.
19．已知椭圆的左、右顶点分别为，.过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率大于的直线经过点，且交椭圆于不同的两点（在点之间）.记与的面积之比为，求实数的取值范围.
20．已知双曲线的标准方程为，分别为双曲线的左、右焦点.
（1）若点在双曲线的右支上，且的面积为，求点的坐标；
（2）若斜率为1且经过右焦点的直线与双曲线交于两点，求线段的长度.
21．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，直线与的两个交点间的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）分别过作满足，设与的上半部分分别交于两点，求四边形面积的最大值.
22．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点都在椭圆上，且的中点在线段（不包括端点）上.
①求直线的斜率；
②求面积的最大值.
23．已知椭圆M：的一个焦点为，左右顶点分别为A，B．经过点的直线l与椭圆M交于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）当直线l的倾斜角为时，求线段CD的长；
（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为和，求的最大值．
24．已知圆：和点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和相交于点，的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）点是曲线与轴正半轴的交点，直线交于､两点，直线，的斜率分别是，，若，求面积的最大值.
25．如图，在平面直标中，椭圆过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点A为椭圆C的左顶点，过点A的直线与椭圆C交于x轴上方一点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中直线CD过原点，求平行四边形ABCD面积S的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在如下的平行四边形ABCD：“原点到直线AB的距离与线段AB的长度相等”，请说明理由.
四、填空题
26．已知椭圆的左、右焦点分别为，过且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则的内切圆半径为________．
27．椭圆的左焦点为F，直线与椭圆相交于A、B两点，当的周长最大时，的面积为________.
28．已知椭圆，过右焦点的直线与椭圆交与两点，为坐标原点，则的面积为__________.
29．直线与抛物线交于，两点，为抛物线上一点，，，三点的横坐标依次成等差数列.若中，边上的中线的长为3，则的面积为____.
30．已知点，抛物线的焦点为，准线为l，线段交抛物线于点．过作的垂线，垂足为，若，则三角形的面积__________．
31．已知经过点（1，0）的直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，点C（-1，-1），且CA⊥CB，则△ABC的面积为________．
32．已知经过点的直线与抛物线相交于，两点，点，且，则的面积为______.
五、双空题
33．设抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，分别过作的垂线，垂足为，若，则_________.的面积为_________.