2024年新高考数学培优专练28 体积法求点面距离（原卷版+解析）

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1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（ ）
A．D1D⊥AF
B．A1G∥平面AEF
C．异面直线A1G与EF所成角的余弦值为
D．点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍
2．在正方体中，，、分别为、中点，是上的动点，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．三棱锥的体积与点位置有关系
C．平面截正方体的截面面积为
D．点到平面的距离为
3．已知三棱锥中，为中点，平面，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若为的外心，则
B．若为等边三角形，则
C．当时，与平面所成角的范围为
D．当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为
二、单选题
4．如图，在正方体中，棱长为1，分别为与的中点，到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，给出下列四个结论错误的选项是（ ）
A．
B．点到平面的距离为
C．在底面内的正投影是面积不是定值的三角形
D．在平面内存在无数条与平面平行的直线
6．正三棱柱的所有定点均在表面积为的球的球面上，，则到平面的距离为（ ）
A．1B．C．D．
7．如图，正四棱锥的高为，且底面边长也为，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．已知在正四棱柱中，，，为的中点，则点与平面的距离为（ ）
A．2B．C．D．1
9．直三棱柱的侧棱，底面中，，，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
10．已知正方体的棱长为1，给出下列四个命题：①对角线被平面和平面、三等分；②正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的表面积之比为；③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是；④正方体与以为球心，1为半径的球的公共部分的体积是．其中正确的序号是（ ）
A．①②B．②④C．①②③D．①②④
11．如图，在正四棱柱中，，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
三、解答题
12．已知四棱锥中，底面为矩形，平面平面，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）若，求点到平面的距离.
13．在多面体中，，，，，，平面平面．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
14．如图，直二面角中，四边形是边长为的正方形，，为上的点，且平面.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）求点到平面的距离.
15．如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面，且，.

（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离．
16．如图，圆柱的轴截面是正方形，点是底面圆周上异于的一点，，是垂足.
（1）证明：；
（2）若，当三棱锥体积最大时，求点到平面的距离.
17．如图，在四棱锥中，，，，平面，为的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，求点以平面的距离．
18．如图，多面体中，四边形是菱形，，平面，
（1）求二面角的大小的正切值；
（2）求点到平面的距离；
（3）求直线与平面所成的角的正弦值.
19．如图，在四棱锥中，平面，，，，，求点到平面的距离.
20．棱长为的正方体中，、分别是棱、中点，求点到平面的距离.
21．在棱长为的正方体中求出下列距离：
（1）点到面的距离；
（2）线段到面的距离；
（3）点到面的距离；
（4）到平面的距离.
22．如图，四边形是正方形，平面，，且
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
23．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，设平面的法向量
（1）用表示；
（2）求及的长度；
（3）求点到平面的距离
24．如图，在四棱柱中，平面，底面满足且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离.
25．如图，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，M、N分别为AB、PC的中点，.
（1）求证：平面MPC⊥平面PCD；
（2）求三棱锥的高.
26．如图所示，在三棱锥中，，，O为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若点M为棱的中点，求点C到平面的距离.
27．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，E为上的动点.
（1）确定E的位置，使平面；
（2）设，，根据（1）的结论，求点E到平面的距离.
28．如图，在五面体ABCDEF中，面是正方形，，，，且．
（1）求证：平面；
（2）求直线BD与平面ADE所成角的正弦值；
（3）设M是CF的中点，棱上是否存在点G，使得平面ADE？若存在，求线段AG的长；若不存在，说明理由．
29．如图：在多面体中，平面，平面，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
30．如图，是正方形，点在以为直径的半圆弧上（不与，重合），为线段的中点，现将正方形沿折起，使得平面平面.
（1）证明：平面.
（2）若，当三棱锥的体积最大时，求到平面的距离.