（备战24高考数学）14.（回归教材）新教材上的仿射变换背景及应用

14.新教材上的仿射变换背景及应用一．引例．（《人教A版选择性必修第一册》第115页“综合应用”第9题）如图，轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．解析：设点的坐标为，点，由题意可知，则由题可得，即，点P在圆上运动，，即点的轨迹方程为，点的轨迹为椭圆，除去与轴的交点．这个问题就是用仿射变换把圆变换为椭圆．二．更多案例例1．（23届合肥一模）已知曲线C：，从曲线C上的任意点作压缩变换得到点．（1）求点所在的曲线E的方程；（2）设过点的直线交曲线E于A，B两点，试判断以AB为直径的圆与直线的位置关系，并写出分析过程．解析：（1）由得，代入得，曲线E的方程为．（2）由题知，当直线l的斜率存在时，设l：，由消去y整理得，．设，，则，以AB为直径的圆的圆心横坐标为．又，以AB为直径的圆的半径为，圆心到直线的距离为，，即，以AB为直径的圆与直线相离．当直线l的斜率不存在时，易知以AB为直径的圆的半径为，圆的方程是，该圆与直线相离．综上可知，以AB为直径的圆与直线相离．例2．在同一平面直角坐标系中，圆经过伸缩变换后，得到曲线.（1）求曲线的方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，连接并延长与曲线相交于点，且.求面积的最大值.解析：（1）设圆上任意一点经过伸缩变换得到对应点.将，代入，得，化简得.∴曲线的方程为；（2）面积得最大值为2.三．压缩变换的更多应用压缩变换：平面上的所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的，即，平面上的椭圆在压缩变换下变为平面上的圆．1、研究横坐标（或纵坐标）之间的关系平面上对应与原来平面上点的横坐标相同，即．纵坐标变为原来的，即．2、研究直线的斜率在压缩变换下，平面上直线的斜率变为原来平面上对应直线斜率的倍，即．3、研究封闭图形的面积在压缩变换下，平面对应封闭图形面积是原来平面上封闭图形面积的倍，即．例4．（2023届广东省一模）已知点，点和点为椭圆上不同的三个点.当点，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形.（1）求椭圆标准方程；（2）若为原点，且满足，求的面积.解析1：（仿射变换）考虑变换，则在的作用下椭圆对应圆，则在压缩变换下，平面对应封闭图形面积是原来平面上封闭图形面积的倍，即．设点分别对应点, 由为的重心，又为的外心，从而为正三角形．易得圆的内接正三角形的面积为定值从而为定值．一般地，已知是椭圆的内接三角形，若其重心恰为椭圆的中心，那么的面积为定值，即例5.双曲线的旋转和压缩首先，我们来说明就是我们熟悉的二次曲线等轴双曲线.如图1，设，，那么从逆时针旋转后到，两者坐标间的关系为：.将上述结论应用到圆锥曲线，我们先把等轴双曲线逆时针旋转，看看会得到什么有趣的结果：设是上任意一点，是逆时针旋转后的对应点，则有，整理可得，代入的方程整理可得：，即我们在初中就已经学过的反比例函数图象.下来就重点讨论反比例函数的一些重要性质.（1）长轴所在直线为，离心率；（2）顶点是和；（3）实半轴长和虚半轴长是，半焦距是；（4）焦点是和； 图1 图2例6（23届南京盐城一模）已知双曲线的离心率，直线与双曲线仅有一个公共点.（1）求双曲线的方程；（2）设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线于两点，求证：的垂心在双曲线上.下证：若的顶点在反比例函数的图像上，则的垂心也在反比例函数的图像上.证明：由于点在反比例函数的图像上，所以.故，则.由于，则过点与直线垂直的直线的斜率为，所以为.同理，过点且与直线垂直的直线为.联立的方程解得，.故，即垂心也在反比例函数图象上.变换前变换后方 程横坐标纵坐标斜 率面 积弦 长