河北省唐山市路南区2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题

这是一份河北省唐山市路南区2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题，共19页。
本试卷共6页，25道题，满分为100分，考试时间为90分钟．
卷Ⅰ（选择题，共28分）
注意事项：
1．答卷Ⅰ前，考生务必将密封线左侧的项目填写清楚并将自己的姓名，准考证号，科目填涂在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，答在试卷上无效．
一．选择题（本大题共14个小题，每小题2分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在中，，则此三角形是( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据比例设分别为然后根据三角形内角和定理列式进行计算求出k值，再求出最大的角即可得解．
【详解】解：设分别为
∵，
∴，
∴，
∴，
∴该三角形的形状是直角三角形，
故选：B．
【点睛】该题主要考查了角形的内角和定理及其应用问题；灵活运用三角形的内角和定理来解题是关键．
2. 若是分式，则□可能是（ ）
A. 3B. yC. D. 0.125
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【分析】利用分式定义进行解答即可．
【详解】解：根据分式定义得□可能y．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式，解题的关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．
3. 如果分式有意义，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件即可得出答案．
【详解】∵分式有意义


故选：A．
【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
4. 如图，张老师用长方形木板遮住了△ABC的一部分，其中AB=8，则另两边的长不可能的是（ ）
A. 4，5B. 3，6C. 3，5D. 2，8
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形三边关系可进行求解．
【详解】解：由AB=8，则有：
A、，符合三角形三边关系，能构成三角形，故不符合题意；
B、，符合三角形三边关系，能构成三角形，故不符合题意；
C、，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，故符合题意；
D、，符合三角形三边关系，能构成三角形，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
5. 下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查识别轴对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B．是轴对称图形，故该选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故该选项符合题意；
D．是轴对称图形，故该选项不符合题意．
故选C．
6. 下列各恒等变形属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解．根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断即可．
【详解】解：A、 从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、 从左边到右边的变形是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
7. 如果点和点关于轴对称，则的值是（ ）
A. 1B. C. 5D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a，b的值，进而得出答案．
【详解】解：∵和点关于x轴对称，
∴，，
则．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
8. 如图，已知线段AB，以点A，B为圆心，5为半径作弧相交于点C，D．连结CD，点E在CD上，连结CA，CB，EA，EB．若与的周长之差为4，则AE的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线，与的周长之差为4，就是2AC-2AE=4，AC=5，代入计算即可．
【详解】根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线，
∴与的周长之差为4，就是2AC-2AE=4，
∴AC=5，
∴10-2AE=4，
解得AE=3，
故选C．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，正确理解作图的意义，并灵活计算是解题的关键．
9. 若代数式是完全平方式，那么的值为（ ）
A. B. 1C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【详解】解：代数式是一个完全平方式，
则
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．
10. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据积的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式逐项分析判断即可．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了积的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．
11. 如图，在中，，平分，且，，点E是上一动点，则D、E之间的最短距离为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质．由直角三角形的性质求出，过点D作于E，则为D，E之间的最小距离，由角平分线的性质得出答案．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
过点D作于E，则为D，E之间的最小距离，
∵平分，，
∴，
故选：C．
12. 八年级学生去距学校10千米的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据“时间等于路程除以速度”结合题意，即可列出方程．
【详解】解：设骑车学生的速度为，则汽车的速度为，
20分钟，
由题意得：，
故选：C．
13. 如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB＝50°，P是边AB上的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的度数可能是（ ）
A. 50°B. 80°C. 100°D. 130°
【答案】C
【解析】
【分析】只要证明80°＜∠BPC＜130°即可解决问题．
【详解】解：∵∠B＝∠ACB＝50°，
∴∠A＝180°﹣100°＝80°，
∵∠BPC＝∠A+∠ACP，
∴∠BPC＞80°，
∵∠B+∠BPC+∠PCB＝180°，
∴∠BPC＜130°，
∴80°＜∠BPC＜130°，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14. 如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长不可能是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】在AC上取AE＝AB＝5，然后证明△AEP≌△ABP，根据全等三角形对应边相等得到PE＝PB＝3，再根据三角形的任意两边之差小于第三边和任意两边之和大于第三边即可求解．
【详解】解：AC上截取AE＝AB＝5，连接PE，
∵AC＝9，
∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4，
∵点P是∠BAC平分线AD上一点，
∴∠CAD＝∠BAD，
在△APE和△APB中，
，
∴△APE≌△APB（SAS），
∴PE＝PB＝3，
∵4﹣3＜PC＜4+3，
解得1＜PC＜7，
∴PC不可能为7，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键﹒
卷Ⅱ（非选择题，共72分）
注意事项：答卷Ⅱ时，将答案用黑色钢笔或圆珠笔直接写在答题纸上．
二．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
15. _____．
【答案】
【解析】
【详解】利用幂的乘方的法则进行求解即可．
【分析】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算，解题关键是熟练掌握幂的乘方运算法则．
16. 将一副直角三角尺如图放置，则的大小为______度．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质和互补解答即可．
【详解】解：如图所示，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形外角的性质．关键是根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．
17. 将0.0012用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，前面的部分，原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数为3个，故负指数幂为，即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
18. 如图，已知在四边形内，，，，，则_____．
【答案】##18度
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，延长到，使得，连接，证明，即可得到，可得为等边三角形，再得到的角度，利用等腰三角形的性质得到，即可得到，作出正确的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，延长到，使得，连接，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
，
，
，
故答案为：．
三．解答题（本大题共7个小题：共60分）
19. （1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题考查了乘法公式、单项式乘多项式、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先用整式乘法的法则去括号，再合并同类项即可；
（2）先对括号内分式进行加减运算，再计算分式除法即可．
【详解】解：（1）
；
（2）原式
．
20. ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴分式方程的解为．
21. 如图，正方形ABCD和正方形ECGF的边长分别为a、b．
（1）请用含有a、b的代数式表示阴影部分的面积．
（2）如果a＋b＝16，ab＝32，求阴影部分的面积．
【答案】（1）a2＋ab＋b2
（2）112
【解析】
【分析】（1）阴影部分由一个梯形和一个三角形组成，用含有a、b的代数式表示出梯形和三角形的面积，相加即可；
（2）利用完全平方公式将（1）中结论变形，再将a＋b＝16，ab＝32整体代入即可求解．
【小问1详解】
解：S阴＝a(a＋b)＋b2＝a2＋ab＋b2．
【小问2详解】
解：当a＋b＝16，ab＝32时，
S阴＝a2＋ab＋b2
＝(a2＋ab＋b2)
＝[(a＋b)2－ab]
＝(162－32)
＝112．
【点睛】本题考查列代数式，以及利用完全平方公式求代数式的值，能够熟练运用完全平方公式是解题的关键．
22. 如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如下图所示就是一组正多边形．
（1）观察上面每个正多边形中的∠a，填写下表：
（2）是否存在正n边形使得∠a＝12°？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，15
【解析】
【分析】（1）根据正多边形的外角和，求得内角的度数，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理即可求得的度数；
（2）根据（1）的结论，将代入求得的值即可
【详解】解：（1）正多边形的每一个外角都相等，且等于
则正多边形的每个内角为，
根据题意，正多边形的每一条边都相等，则所在的等腰三角形的顶角为：，另一个底角为，
当时，
当时，
当时，
故答案为：
（2）存在．设存在正n边形使得，
∴，解得．
【点睛】本题考查了正多边形的外角和与内角的关系，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据正多边形的外角与内角互补求得内角是解题的关键．
23. 如图，点为的外角平分线上的一点，.
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若点在线段上，满足，连接，，补全图形，求证：.
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，由外角的性质得，通过等量代换可得，进而可得，即可证明是等腰三角形；
（2）先证，再利用证明，即可推出．
【小问1详解】
证明：由题意知平分，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
【小问2详解】
证明：补全后的图形如下所示：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质等知识点，难度不大，能够综合应用上述知识是解题的关键．
24. 某班生活委员班级购买奖品后与学习委员对话如下所示．
生活委员说：我买相同数量的软面笔记本和硬面笔记本分别花去了12元和元，而每本硬面笔记本比软面笔记本的价格多3元．
学习委员说：你肯定搞错了．
试用所学的知识帮助生活委员计算一下，为什么说生活委员搞错了？
【答案】详见解析．
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的应用．设软面笔记本的单价为x元，则硬面笔记本的单价为元，根据“相同数量”，列出分式方程，可得，但是为小数，可知生活委员是错的．
【详解】解：设软面笔记本的单价为x元，则硬面笔记本的单价为元，由题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则，
∵笔记本的数量为整数，
∴不合题意，
∴说生活委员搞错了．
25. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A(0,3)与点B关于x轴对称，点C(n,0)为x轴的正半轴上一动点．以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠ACD=90°，点D在第一象限内．连接BD，交x轴于点F．
(1)如果∠OAC=38°,求∠DCF的度数；
(2)用含n的式子表示点D的坐标；
(3)在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．
【答案】（1）38°；（2）点D的坐标（n+3，n）；（3）OF的长不会变化，值为3．
【解析】
【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠DCF =∠OAC，进而可得结果；
（2）作DH⊥x轴于点H，如图1，则可根据AAS证明△AOC≌△CHD，于是可得OC=DH，AO=CH，进而可得结果；
（3）方法一：由轴对称的性质可得AC=BC，于是可得AC=BC=DC，进一步即得∠BAC =∠ABC，∠CBD =∠CDB，而∠ACB+∠DCB =270°，则可根据三角形的内角和定理推出∠ABC+∠CBD =45°，进一步即得△OBF是等腰直角三角形，于是可得OB=OF，进而可得结论；
方法2：如图2，连接AF交CD于点M，由轴对称的性质可得AC=BC，AF=BF，进一步即可根据等腰三角形的性质以及角的和差得出∠CAF=∠CBF，易得BC=DC，则有∠CBF=∠CDF，可得∠CAF=∠CDF，然后根据三角形的内角和定理可得∠AFD=∠ACD=90°，即得△AFB是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可推出OF=OA，问题即得解决．
【详解】解：(1)∵∠AOC=90°，∴∠OAC+∠ACO =90°．
∵∠ACD=90°，∴∠DCF+∠ACO =90°，
∴∠DCF =∠OAC，
∵∠OAC=38°，∴∠DCF=38°；
(2)过点D作DH⊥x轴于点H，如图1，则∠AOC =∠CHD=90°，
∵△ACD是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴AC=CD，
又∵∠OAC=∠DCF ，
∴△AOC≌△CHD(AAS)，
∴OC=DH=n，AO=CH=3，
∴点D的坐标为（n+3，n）；
(3)不会变化．
方法一：∵点A(0，3)与点B关于x轴对称，∴AO=BO=3，AC=BC，∴∠BAC =∠ABC，
又∵AC=CD，∴BC=CD，∴∠CBD =∠CDB，
∵∠ACD=90°，∴∠ACB+∠DCB =270°，
∴∠BAC +∠ABC+∠CBD +∠CDB=90°，
∴∠ABC+∠CBD =45°，
∵∠BOF=90°，∴∠OFB=45°，
∴∠OBF =∠OFB=45°，
∴OB=OF=3，即OF的长不会变化；
方法2：如图2，连接AF交CD于点M，
∵点A与点B关于x轴对称，∴AC=BC，AF=BF，
∴∠OAC=∠OBC，∠OAF=∠OBF，∴∠OAF−∠OAC=∠OBF−∠OBC，即∠CAF=∠CBF，
∵AC=CD，AC=BC，∴BC=CD，
∴∠CBF=∠CDF，∴∠CAF=∠CDF，
又∵∠AMC=∠DMF，∴∠AFD=∠ACD=90°，
∴∠AFB=90°，
∴∠AFO=∠OFB=45°，∴∠AFO=∠OAF=45°，
∴OF=OA=3，即OF的长不会变化．
【点睛】本题以直角坐标系为载体，主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、轴对称的性质和等腰三角形的性质等知识，涉及的知识点多，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．正多边形边数
4
5
6
...
n
∠a的度数



...