新疆喀什地区十四校2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试卷(含答案)

这是一份新疆喀什地区十四校2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若直线经过,两点,则直线AB的倾斜角为( )
A.30°B.45°C.60°D.120°
2．若,,则( )
A.B.C.D.
3．抛物线的准线方程为( )
A.B.C.D.
4．棱长为1的正方体的八个顶点都在球面上,则该球的表面积为( )
A.B.C.D.
5．在空间四边形ABCD中,若,且E,F分别是AB,CD的中点,则异面直线AC与EF所成角为( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
6．据某地区气象局发布的气象数据,未来某十天内该地区每天最高温度（单位：℃）分别为：31,29,24,27,26,25,24,26,26,23,则这组数据的第40百分位数为( )
A.27B.26.5C.25.5D.25
7．在四面体OABC中记,,,若点M、N分别为棱OA、BC的中点,则( )
A.B.
C.D.
8．过双曲线的左焦点作x轴的垂线交双曲线于点P,为右焦点,若,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.2
二、多项选择题
9．有一组样本数据,,···,其中是最小值,是最大值,则( )
A.,,,的平均数等于,,···,的平均数
B. ,,,的中位数不等于,,···,的中位数
C. ,,,的标准差不大于,,···,的标准差
D. ,,,的极差不大于,,···,的极差
10．已知m,n为两条不同直线,,为两个不同的平面,则下列说法中正确的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,,则D.若,,,则
11．已知圆,则下列说法正确的是( )
A.点在圆M内B.圆M关于对称
C.半径为1D.直线与圆M相切
12．已知椭圆,则下列各选项正确的是( )
A.若E的离心率为,则
B.若,E的焦点坐标为
C.若,则E的长轴长为6
D.不论m取何值,直线都与E没有公共点
三、填空题
13．已知,,若A,B相互独立,则_______________.
14．双曲线的一条渐近线方程为,则________________.
15．第19届亚洲运动会于2023年9月23日10月8日在我国杭州成功举办,中国国家队以201金、111银、71铜的优异成绩位列奖牌榜榜首.此次亚运会的颁奖花束——“硕果累累”,由花材和花器两部分组成,如图1.其中花器的造型灵感来自中国南宋时期官窑花解,由国家级非物质文化遗产东阳木雕制作而成,可以近似看作由大、小两个圆台拼接而成的组合体,如图2.已知大圆台的两底面半径和高分别为,,小圆台的两底面半径和高分别为,,,则该几何体的体积为____________.
16．已知圆与圆内切,且圆的半径小于6,点P是圆上的一个动点,则点P到直线距离的最大值为______________.
四、解答题
17．回答下列问题.
（1）求经过点且在x轴上截距等于y轴上截距的直线方程;
（2）求过直线与的交点,且与直线垂直的直线方程.
18．某校学生营养餐由A和B两家配餐公司配送. 学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度,采用问卷的形式,随机抽取了40名学生对两家公司分别评分. 根据收集的80份问卷的评分,得到A公司满意度评分的频率分布直方图和B公司满意度评分的频数分布表：
B公司
(1)如果该学校有4000名学生,估计该学校学生对A公司满意度评分和B公司满意度评分不低于80分的分别有多少人;
(2)从满意度评分不低于90分的问卷中随机抽取两份,求这两份问卷都是给A公司评分的概率.
19．正四棱锥中,,,其中O为底面中心,M为PD上靠近P的三等分点.
(1)求证：平面ACP;
(2)求四面体的体积.
20．已知抛物线,其焦点F到其准线的距离为2,过焦点F且倾斜角为45°的直线l交抛物线C于A,B两点,
(1)求抛物线C的方程及其焦点坐标;
(2)求.
21．如图,长方体中,,M,N分别是AB,的中点.
(1)求证：平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
22．已知椭圆的两焦点分别为和,短轴的一个端点为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)椭圆上是否存在一点P使得？若存在求的面积,若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：因为直线AB的斜率,
设直线AB的倾斜角为,则,
所以.
故选：B.
2．答案：C
解析：由可知,
根据向量减法的坐标运算法则可得,
即.
故选：C.
3．答案：C
解析：抛物线中,,所以,
故抛物线的准线方程为,即,
故选：C.
4．答案：A
解析：由题知该球为正方体的外接球,正方体的体对角线为球的直径,
设球的半径为R,
则,,
所以该球的表面积为.
故选：A.
5．答案：B
解析：因为在空间四边形ABCD中,,
所以空间四边形ABCD是一个正四面体ABCD,
在下图中,连结DE,EC,因为为等腰三角形,设空间四边形ABCD的边长为2,
在中,,,可得,
在下图中,取AD的中点M,连结ME,MF,
因为E,F分别是AB,CD的中点,所以,,
是异面直线AC与EF所成的角,
在中,,故为等腰直角三角形,
所以,
故异面直线AC与EF所成角的大小为.
故选：B.
6．答案：C
解析：先将这些数据按照从小到大进行排序,分别为23,24,24,25,26,26,26,27,29,31,
又,所以该组数据的第40百分位数为排序后的数列的第4个数和第5个数的平均数,即,
故选：C.
7．答案：B
解析：由题意得：.
故选：B.
8．答案：B
解析：依题意可得,是等腰直角三角形
所以
则,.
根据双曲线的几何定义可得,,所以,则,
故选：B.
9．答案：CD
解析：对于A,不妨取,,···,为1,1,1,1,1,7,其平均数为,
而,,,为1,1,1,1,1,平均数为1,
即,,,的平均数不能确定等于的平均数,A错误;
对于B,不妨设,则中位数为,
则,,,中位数也为,B错误;
对于C,由于是最小值,是最大值,
故,,,的波动性不大于,,···,的波动性,
即,,,的标准差不大于,,···,的标准差;
比如取,,···,为2,4,6,8,10,12,平均数为,
则标准差为,
,,,即为4,6,8,10,平均数为,
则其标准差为,
显然,即;
当时,即有,
即,,,的标准差不大于,,···,的标准差,C正确;
对于D,不妨设,则,
当且仅当,时等号成立,即,,,的极差不大于,,···,的极差,D正确,
故选：CD.
10．答案：CD
解析：对于A,若,,则或,故A错误;
对于B,若,,则或、相交,故B错误;
对于C,若,,则,又,所以,故C正确;
对于D,若,,则或,又,所以,故D正确.
故选：CD.
11．答案：CD
解析：圆的标准方程为：,
圆心为,半径为1,
A.因为,所以点在圆M外,故错误;
B.因为,即圆心不在直线上,故错误;
C.由圆的标准方程知,半径为1,故正确;
D.因为圆心为到直线的距离为,与圆M的半径相等,故直线与圆M相切,故正确;
故选：CD.
12．答案：BCD
解析：对于A,当椭圆的焦点在轴上时,此时,,;
但当椭圆的焦点在y轴上时,此时,,,,解得,
综上,若E的离心率为,则或,故A错误;
对于B,若,则E的焦点在y轴上,,,
即E的焦点坐标为,故B正确;
对于C,若,则E的焦点在x轴上,,所以E的长轴长为,故C正确;
对于D,由题意方程表示椭圆E,所以,
在中令,得,即,
结合可知,,这与矛盾,
这表明了不论m取何值,直线都与E没有公共点,故D正确.
故选：BCD.
13．答案：0.35
解析：因为,,且A,B相互独立,
所以.
故答案为：0.35.
14．答案：5
解析：双曲线的一条渐近线方程为,
又双曲线的渐近线为,可得,解得.
故答案为：5.
15．答案：
解析：根据圆台的体积公式,
可得（）,
故答案为：.
16．答案：2
解析：根据题意,圆
化为标准方程为,
其圆心为,半径,,
又由圆与圆内切,且圆的半径小于6,则有,解得,
圆心到的距离,
点P是圆上一个动点,则点P到直线距离的最大值为.
故答案为：2.
17．答案：(1)或
(2)
解析：（1）当直线过原点时,直线方程为;
当直线不过原点时,由横纵截距相等可设横纵截距a,直线方程为,
直线经过,即,
直线方程为
综上所述：直线方程为或.
（2）由得,交点为,
又因为所求直线与垂直,所以所求直线斜率,
故所求直线方程为,即.
18．答案：(1)对A公司满意度评分不低于80分的有1200人,对B公司满意度评分不低于80分的有1600人;
(2).
解析：（1）由A公司满意度评分的频率分布直方图可知不低于80分的频率为,
所以估计该校学生对A公司满意度评分不低于分的有人;
由B公司满意度评分的频数分布表可知40人中不低于80分的频数为,
频率为,
所以估计该校学生对B公司满意度评分不低于分的有人.
（2）满意度不低于90分的问卷共有6份,其中4份评价A公司,
设为,,,2份评价B公司,设为,
从这6份问卷中随机取2份,样本空间,,,,,,,,,,,,,,}共有15种,
设两份问卷均是评价A公司为事件C,则,,,,,共有6种,
则有,
所以这两份问卷都是给A公司评分的概率为.
19．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）在正四棱锥中O为底面中心,连接AC,BD,
则AC与BD交于点O,且,平面ABCD,平面ABCD,
所以,又,AC,平面ACP,所以平面ACP.
（2）因为,,所以,
又M为PD上靠近P的三等分点,所以,
则.
20．答案：(1)抛物线C的方程为.焦点坐标为.
(2)8
解析：（1）由题意在抛物线中,焦点F到其准线的距离为2,
,
抛物线C的方程为,焦点坐标为.
（2）由题意及（1）得
在抛物线中,过焦点F且倾斜角为45°的直线l的方程为,
联立方程组消去y可得,
设,,则,
根据抛物线的定义,.
21．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）连接MN,如图所示,
正方形中,M,N分别是AB,的中点,
有且,所以四边形为平行四边形,则有且,
又长方体中且,则且,
所以四边形为平行四边形,得,
平面,平面,所以平面
（2）以D点为原点,,,的方向为x轴,y轴,轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
不妨设,则,,
,,
设平面的一个法向量为,则有,
令,则,,即,
是平面的一个法向量,,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
22．答案：(1)
(2)椭圆上不存在点P,使得,理由见解析
解析：（1）椭圆的两焦点分别为和,短轴的一个端点为,
,,
,
椭圆的标准方程为：;
（2）假设椭圆上存在点,使得,
则,
即,
联立,得：,此方程无解.
椭圆上不存在点P,使得.
满意度评分分组
频数
2
8
14
14
2