专题59 四边形中的辅助线问题-2024年中考数学重难点专项突破（全国通用）

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（1）连接GD，求证DG＝BE；
（2）连接FC，求tan∠FCN的值；
（3）如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝3，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B，C），以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．当点E由B向C运动时，判断tan∠FCN的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
解：（1）如图1，
∵正方形ABCD和正方形AEFG中，
∴∠BAD＝∠EAG＝90°，AB＝AD，AE＝AG，
∴∠BAE＝∠GAD，
∴△BAE≌△GAD（SAS），
∴DG＝BE；
（2）如图2，过点F作FM⊥BN于M，则∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，
即∠BAE＝∠FEM，
又AE＝EF，
∴△BAE≌△MEF（ASA），
∴FM＝BE，EM＝AB，
又BE+EC＝AB，EM＝EC+CM，
∴CM＝FM，
在Rt△FCM中，tan∠FCN＝＝1；
（3）如图2，过点F作FM⊥BN于M，则∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，
即∠BAE＝∠FEM，
同理可证∠GAD＝∠FEM，
又AG＝EF，
∴△DAG≌△MEF，△BAE∽△MEF，
∴EM＝AD＝BC＝8，＝，
设BE＝a，则EM＝EC+CM＝BC＝BE+EC，
∴CM＝BE＝a，
∴＝，
∴FM＝，
∴tan∠FCN＝＝＝，即tan∠FCN的值为定值．
2、已知在▱ABCD中，点E，F分别为边AB，BC上的点，∠ADE＝∠BAF，DE，AF交于点M．
（1）如图1，若∠ABC＝90°，求证：△AEM∽△AFB；
（2）若E为AB中点．
①如图2，若AF⊥BC，＝，求的值；
②如图3，若∠ABC＝60°，＝n，请直接写出的值（用n的式子表示）．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，且∠ADE＝∠BAF，
∴∠BAD﹣∠BAF＝∠ABC﹣∠BAF
∴∠AED＝∠AFB，且∠BAF＝∠BAF，
∴△AEM∽△AFB
（2）如图2，过点E作EN⊥AF于点N，
∵EN⊥AF，BF⊥AF，
∴EN∥BF，
∴
∴AF＝2AN，BF＝2EN，
∵＝，
∴AD＝3BF，
∴AD＝6EN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥EN
∴△MNE∽△MAD
∴，∠ADE＝∠MEN，
∴AM＝6MN，
∴AN＝7MN，
∵∠ADE＝∠MEN，∠BAF＝∠ADE，
∴∠BAF＝∠MEN，且∠ANE＝∠ANE，
∴△ENM∽△ANE，
∴
∴EN2＝MN•AN＝AN2，
∵设AE＝BE＝a，EN＝b，
∴BF＝2b，AD＝6b，
∴b2＝（a2﹣b2）
∴a＝2b
∴AB＝2AE＝2a＝4b，AD＝6b，
∴
②如图3，过点A作AH平分∠BAD，交BC的延长线于H，过点B作BG∥AH交AF的延长线于点G，
∵＝n，E为AB中点．
∴AB＝nAD，AE＝BE＝AD
∵∠ABC＝60°，AD∥BC，
∴∠BAD＝120°，
∵AH平分∠BAD，
∴∠BAH＝60°＝∠ABC
∴△ABH是等边三角形，
∴AB＝AH＝BH＝nAD，
∵BG∥AH
∴∠H＝∠GBF＝60°，
∴∠ABG＝120°＝∠EAD，且∠BAF＝∠ADE，
∴△ABG∽△DAE，
∴
∴BG＝AD
∵BG∥AH
∴△BFG∽△HFA
∴
∴
∴FH＝BF
∵BH＝BF+FH
∴nAD＝（）BF
∴＝
3、【操作发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．
【实践探究】
（1）在图①条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是 ．
（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展】
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的长．
【实践探究】
（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，
由旋转得：△ABE≌△ADM，
∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，
∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，
即∠EAM＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MAN＝∠EAN，
在△AMN和△EAN中，
，
∴△AMN≌△EAN（SAS），
∴MN＝EN．
∵EN＝BE+BN＝DM+BN，
∴MN＝BN+DM．
在Rt△CMN中，MN＝＝＝5，
则BN+DM＝5，
设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣3，DM＝CD﹣CM＝x﹣4，
∴x﹣3+x﹣4＝5，
解得：x＝6，
即正方形ABCD的边长是6；
故答案为：6；
（2）EF2＝BE2+DF2，
理由如下：如图②，将△AFD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABH，连结EH，
∴∠ADF＝∠ABH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，AH＝AF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°＝∠BAH+∠BAE，
∴∠HAE＝45°＝∠EAF，
又∵AH＝AF，AE＝AE，
∴△EAH≌△EAF（SAS），
∴HE＝EF，
∵BN＝DM，BN∥DM，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∴DN∥BM，
∴∠AND＝∠ABM，
∵∠ADN+∠AND＝90°，
∴∠ABH+∠ABM＝90°＝∠HBM，
∴BE2+BH2＝HE2，
∴EF2＝BE2+DF2；
（3）如图③，延长AB至P，使BP＝BN＝1，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，
则四边形APQD是正方形，
∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝4，
设DM＝x，则MQ＝4﹣x，
∵PQ∥BC，
∴△ABN∽△APE，
∴，
∴PE＝BN＝，
∴EQ＝PQ﹣PE＝4﹣＝，
由（1）得：EM＝PE+DM＝+x，
在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（4﹣x）2＝（+x）2，
解得：x＝2，
即DM的长是2．
4、如图，在矩形ABCD中，点P为BC边上一点（BP＞CP），∠APD＝90⁰，将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，PC′的延长线交AD于点M，过点A作AN∥PM交BC于点N．
（1）试判断四边形AMPN的形状并说明理由；
（2）如图2，连接BD，分别交MP，AP于点E，F，若tan∠PDC＝，求的值．
解：（1）四边形AMPN是菱形；
理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴AM∥PN，
∵AN∥PM，
∴四边形ANPM是平行四边形，
∵将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，
∴∠DPC＝∠DPC′，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠DPC，
∴∠ADP＝∠DPM，∴DM＝PM，
∵∠APD＝90°，
∴AM＝DM＝PM，
∴四边形AMPN是菱形；
（2）∵tan∠PDC＝＝，
可设PC＝1，CD＝2，
过P作PG⊥AD于G，
则四边形PCDG与四边形ABPG是矩形，
∴CP＝DG＝1，PG＝CD＝2，
∵PG⊥AD，∠APD＝90°，
∴PG2＝AG•GD，
∴4＝1•GD，
∴AG＝PB＝4，
AD＝AG+GD＝5，
∵BP∥AD，
∴△PBF∽△ADF，
∴＝＝，
∴＝，
∵DM∥PB，
∴△PBE∽△MDE，DM＝AD＝，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣BD＝BD，
∴＝＝
5、已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE（1）如图1，过点E作EN⊥AE交CD于点N
①若BE＝1，求CN的长；
②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，求BE的长；
（2）如图2，连接BD，设BE＝m，试用含m的代数式表示S四边形CDFE：S△ADF值．
解：（1）①∵BE＝1，
∴CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BEA+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴△ABE∽△ECF，
∴＝，
即：＝，
解得：CN＝；
②过点E作EF⊥AD于F，如图1所示：
则四边形ABEF是矩形，
∴AB＝EF＝2，AF＝BE，
由折叠的性质得：CE＝C′E，CN＝C′N，∠EC′N＝∠C＝90°，
∴∠NC′D+∠EC′F＝90°，
∵∠C′ND+∠NC′D＝90°，
∴∠EC′F＝∠C′ND，
∵∠D＝∠EFC′，
∴△EC′F∽△NC′D，
∴＝＝，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴C′D＝BE，
设BE＝x，则C′D＝AF＝x，C′F＝4﹣2x，CE＝4﹣x，
∴＝，＝，
∴DN＝x（2﹣x），CN＝，
∴CN+DN＝x（2﹣x）+＝CD＝2，
解得：x＝2或x＝，
∴BE＝2或BE＝；
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD，AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
∴S△ADF＝s△BEF，
S△ABF＝＝＝S△BEF，
S四边形CDFE＝S△ADF+S△ABF﹣S△BEF＝S△BEF+S△BEF﹣S△BEF＝（+﹣1）S△BEF，
∴S四边形CDFE：S△ADF＝（+﹣1）S△BEF：s△BEF＝1+﹣．
6、如图①，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝3，点E是边AD靠近A的三等分点，点P是BC延长线上一点，且EP⊥EB，点G是BE上任意一点，过G作GH∥BP，交EP于点H．将△EGH绕点E逆时针旋转α（0＜α＜90°），得到△EMN（M、N分别是G、H的对应点）
（1）求BP的长；
（2）求的值；
（3）如图②当α＝60°时，点M恰好落在GH上，延长BM交NP于点Q，取EP的中点K，连接QK．若点G在线段EB上运动，问QK是否有最小值？若有最小值，请求出点G运动到EB的什么位置时，QK有最小值及最小值是多少，若没有最小值，请说明理由．
解：（1）如图①中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∵AE＝AD＝1，AB＝，
∴BE＝＝2，
∵BE⊥PE，
∴∠PEB＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，∠CBE+∠EPB＝90°，
∴∠ABE＝∠EPB，
∵∠A＝∠BEP＝90°，
∴△BAE∽△PEB，
∴＝，
∴PB＝＝4．
（2）在Rt△ABE中，∵tan∠ABE＝＝，
∴∠ABE＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠EBC＝60°，
∵GH∥BC，
∴∠EGH＝∠EBC＝∠EMN＝60°，
∴PE＝EB，EN＝EM，
∴＝＝，
∵∠PEB＝∠MEN＝90°，
∴∠EM＝∠PEN，
∴△BEM∽△PEN，
∴＝＝．
（3）如图2中，取PB的中点O，连接OQ，OK．设BQ交PE于J．
∵△BEM∽△PEN，
∴∠EBM＝∠EPN，
∵∠BJE＝∠PJO，
∴BEJ＝∠PQJ＝90°，
∵BO＝OP，
∴OQ＝PB＝2，
∵PO＝OB，PK＝KE，
∴OK＝BE＝1，
∴QK≥OQ﹣OK＝1，
∴QK的最小值为1，
此时O，K，Q共线，PK⊥OQ，OK＝QK，
∴PO＝PQ，
∴∠OPK＝∠QPK＝30°，
∴∠EBQ＝∠QPK＝30°，
∵EG＝EM，∠GEM＝60°，
∴△EGM是等边三角形，
∴EG＝GM，∠EGM＝60°，
∵∠EGM＝∠GBM+∠GMB＝60°，
∴∠GBM＝∠GMB＝30°，
∴GB＝GM，
∴EG＝GB，
∴点G运动到EB的中点位置时，QK有最小值及最小值是1．
7、已知：矩形ABCD中，点E、F为对角线AC上两点，AF＝CE．
（1）如图1，求证：BE∥DF；
（2）如图2，当AB＝BE＝AD时，连接DE、BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△AFD和△CEB中，，
∴△AFD≌△CEB（SAS），
∴∠AFD＝∠CEB，
∴BE∥DF；
（2）解：△ABF，△CDE，△ADF，△BCE；理由如下：
由（1）得：△AFD≌△CEB，
同理：△ABF≌△CDE（SAS），
∴△AFD的面积＝△CEB的面积，△ABF的面积＝△CDE的面积，
作BG⊥AC于G，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BC＝AD，
∵AB＝BE＝AD，
∴AB＝BE＝BC，
∴BC＝2AB，AC＝＝AB，AG＝EG，
∵△ABC的面积＝AC×BG＝AB×BC，
∴BG＝＝＝AB，
∴AG＝＝＝AB，
∴AE＝2AG＝AB，
∵AF＝CE，
∴△ABF的面积＝△BCE的面积，CF＝AE＝AB，
∴AF＝AC﹣CF＝AB﹣AB＝AB，
∴△ABF的面积＝AF×BG＝×AB×AB＝AB2，
∵矩形ABCD的面积＝AB×BC＝AB×2AB＝2AB2，
∴△ABF的面积＝矩形ABCD面积的，
∴△ABF的面积＝△CDE的面积＝△ADF的面积＝△BCE的面积＝矩形ABCD面积的．
8、如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．
（1）求证：BP＝CQ；
（2）若BP＝PC，求AN的长；
（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．
解：（1）证明：∵∠ABC＝90°
∴∠BAP+∠APB＝90°
∵BQ⊥AP
∴∠APB+∠QBC＝90°，
∴∠QBC＝∠BAP，
在△ABP于△BCQ中，
，
∴△ABP≌△BCQ（ASA），
∴BP＝CQ，
（2）由翻折可知，AB＝BC'，
连接BN，在Rt△ABN和Rt△C'BN中，AB＝BC'，BN＝BN，
∴Rt△ABN≌△Rt△C'BN（HL），
∴AN＝NC'，
∵BP＝PC，AB＝8，
∴BP＝2＝CQ，CP＝DQ＝6，
设AN＝NC'＝a，则DN＝8﹣a，
∴在Rt△NDQ中，（8﹣a）2+62＝（a+2）2
解得：a＝4.8，
即AN＝4.8．
（3）解：过Q点作QG⊥BM于G，由（1）知BP＝CQ＝BG＝x，BM＝MQ．
设MQ＝BM＝y，则MG＝y﹣x，
∴在Rt△MQG中，y2＝82+（y﹣x）2，
∴．
∴S△BMC′＝S△BMQ﹣S△BC'Q＝
＝，
＝．
9、已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．
（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE；
（2）如图2，如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好使得CG∥BD，BG＝BD．
①求∠BDE的度数；
②若正方形ABCD的边长是，请求出△BCG的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°．
∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，
∴∠BCG＝∠DCE．
在△BCG和△DCE中，，
∴△BCG≌△DCE（SAS）．
∴BG＝DE；
（2）解：①连接BE，如图2所示：
由（1）可知：BG＝DE，
∵CG∥BD，
∴∠DCG＝∠BDC＝45°，
∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°，
∵∠GCE＝90°，
∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠BCG＝∠BCE，
在△BCG和△BCE中，，
∴△BCG≌△BCE（SAS），
∴BG＝BE，
∵BG＝BD＝DE，
∴BD＝BE＝DE，
∴△BDE为等边三角形，
∴∠BDE＝60°；
②延长EC交BD于点H，过点G作GN⊥BC于N，如图3所示：
在△BCE和△DCE中，，
∴△BCE≌△BCG（SSS），
∴∠BEC＝∠DEC，
∴EH⊥BD，BH＝BD，
∵BC＝CD＝，
∴BD＝BC＝2，
∴BE＝2，BH＝1，
∴CH＝1，
在Rt△BHE中，由勾股定理得：EH＝＝＝，
∴CE＝﹣1，
∵∠BCG＝135°，
∴∠GCN＝45°，
∴△GCN是等腰直角三角形，
∴GN＝CG＝（﹣1），
∴S△BCG＝BC•GN＝××（﹣1）＝．
10、利用“同角的余角相等”可以帮助我们得到相等的角，这个规律在全等三角形的判定中有着广泛的运用．
（1）如图①，B，C，D三点共线，AB⊥BD于点B，DE⊥BD于点D，AC⊥CE，且AC＝CE．
若AB+DE＝6，求BD的长．
（2）如图②，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，直角顶点C的坐标为（1，0），点A的坐标为（﹣2，1）．求直线AB与y轴的交点坐标．
（3）如图③，∠ACB＝90°，OC平分∠AOB，若点B坐标为（b，0），点A坐标为（0，a）．则S四边形AOBC＝ ．（只需写出结果，用含a，b的式子表示）
解：（1）∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，
∴∠ABC＝∠CDE＝∠ACE＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，∠ECD+∠ACB＝180°﹣∠ACE＝90°，
∴∠A＝∠ECD，
在△ABC和△CDE中，，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴AB＝CD，BC＝DE，
∴BD＝CD+BC＝AB+DE＝6；
（2）过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，如图②所示：
∵△ABC为等腰直角三角形
∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ECB+∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ADC和△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵点C的坐标为（1，0），点A的坐标为（﹣2，1），
∴CO＝1，AD＝1，DO＝2，
∴OE＝OC+CE＝OC+AD＝2，BE＝CD＝CO+DO＝3，
∴点B的坐标为（2，3），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将A、B两点的坐标代入，得，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝x+2，
当x＝0时，解得y＝2，
∴直线AB与y轴的交点坐标为（0，2）；
（3）过点C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E，如图③所示：
∵OC平分∠AOB，
∴CD＝CE
∴四边形OECD是正方形
∴∠DCE＝90°，OD＝OE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCA+∠ACE＝∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠DCA＝∠ECB，
在△DCA和△ECB中，，
∴△DCA≌△ECB（ASA），
∴DA＝EB，S△DCA＝S△ECB，
∵点B坐标为（b，0），点A坐标为（0，a），
∴OB＝b，OA＝a，
∵OD＝OE，
∴OA+DA＝OB﹣BE，
即a+DA＝b﹣DA，
∴DA＝，
∴OD＝OA+DA＝a+＝，
∴S四边形AOBC＝S四边形AOEC+S△ECB＝S四边形AOEC+S△DCA＝S正方形DOEC＝OD2＝（）2＝，
故答案为：．
11、如图1，将边长为2的正方形OABC如图放置在直角坐标系中．
（1）如图2，若将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°时，求点A的坐标；
（2）如图3，若将正方形OABC绕点O顺时针旋转75°时，求点B的坐标．
解：（1）过点A作AD⊥x轴于点D，如图2所示：
则∠AOD＝30°，
∵正方形OABC的边长为2，
∴AO＝2，
∴AD＝AO＝1，
∴OD＝＝＝，
∴点A的坐标为：（，﹣1）；
（2）连接OB，过点B作BE⊥x轴于点E，如图3所示：
则∠AOE＝75°，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠AOB＝45°，OB＝AO＝2，
在Rt△BOE中，∠BOE＝∠AOE﹣∠AOB＝30°，
∴BE＝OB＝，OE＝BE＝，
∴点B的坐标为（，﹣）．