【讲通练透】专题13 双曲线-2024高考数学题源解密（全国通用）

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高考命题专家命制高考试题时绝非凭空杜撰，必有命题的原始模型（“题根”）和命题着力点（“题眼”），对“题根”与“题眼”进行深入的探求与拓展可构造出高考母题。命题人拿来千变万化为难你们的历年真题，本质上也是从这有限的母题中衍生出来的。母题的重要性不言而喻。
专题13 双曲线
目录一览
2023真题展现
考向一 双曲线的离心率
真题考查解读
近年真题对比
考向一 双曲线的渐近线方程
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 双曲线的离心率
1．（2023•新高考Ⅰ•第16题）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，F1A→⊥F1B→，F2A→=−23F2B→，则C的离心率为 ．
【答案】355
解：（法一）如图，设F1（﹣c，0），F2（c，0），B（0，n），
设A（x，y），则F2A→=(x−c，y)，F2B→=(−c，n)，
又F2A→=−23F2B→，则x−c=23cy=−23n，可得A(53c，−23n)，
又F1A→⊥F1B→，且F1A→=(83c，−23n)，F1B→=(c，n)，
则F1A→⋅F1B→=83c2−23n2=0，化简得n2＝4c2．
又点A在C上，则259c2a2−49n2b2=1，整理可得25c29a2−4n29b2=1，
代n2＝4c2，可得25c2a2−16c2b2=9，即25e2−16e2e2−1=9，
解得e2=95或15（舍去），
故e=355．
（法二）由F2A→=−23F2B→，得|F2A→||F2B→|=23，
设|F2A→|=2t，|F2B→|=3t，由对称性可得|F1B→|=3t，则|AF1→|=2t+2a，|AB→|=5t，
设∠F1AF2＝θ，则sinθ=3t5t=35，所以csθ=45=2t+2a5t，解得t＝a，
所以|AF1→|=2t+2a=4a，|AF2→|=2a，
在△AF1F2 中，由余弦定理可得csθ=16a2+4a2−4c216a2=45，
即5c2＝9a2，则e=355．
【命题意图】
考查双曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与双曲线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．
【考查要点】
双曲线的定义、方程、性质是高考常考内容，以小题出现，常规题，难度中等．
【得分要点】
一、双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
注：1、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.常数要小于两个定点的距离．
2、对双曲线定义中限制条件的理解
(1)当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|时，M的轨迹不存在．
(2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．
(3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于与的大小.
①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
二、双曲线的方程及简单几何性质
三、双曲线的焦点三角形
双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．
以双曲线上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)双曲线的定义：
(2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ.
(3)面积公式：S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ，
重要结论：S△PF1F2=
推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ得
由三角形的面积公式可得
S△PF1F2=
=
四、直线与双曲线的位置关系
1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．
弦长公式
直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则

（为直线斜率）
3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.
考向一 双曲线的渐近线方程
2．（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【解答】解：∵双曲线的方程是，
∴双曲线渐近线为y＝
又∵离心率为e＝＝2，可得c＝2a
∴c2＝4a2，即a2+b2＝4a2，可得b＝a
由此可得双曲线渐近线为y＝
故答案为：y＝
查考近几年真题推测以小题出现，常规题，难度中等．双曲线的定义、方程、性质是高考常考内容，
一．双曲线的标准方程（共5小题）
1．（2023•郑州模拟）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．x±y＝0B．C．D．2x±y＝0
【解答】解：∵双曲线的方程是（a＞0，b＞0），
∴双曲线渐近线为y＝±x．
又∵离心率为e＝＝2，
∴c＝2a，
∴b＝＝a，
由此可得双曲线渐近线为y＝±x＝±x，即：
故答案为：．
故选：C．
2．（2023•宝山区校级模拟）若双曲线经过点，且渐近线方程是，则这条双曲线的方程是 ．
【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线方程是，
则可设双曲线的标准方程为，（λ≠0）；
又因为双曲线经过点，
代入方程可得，λ＝﹣1；
故这条双曲线的方程是；
故答案为：．
3．（2023•通州区模拟）双曲线的焦点坐标为（ ）
A．（±1，0）B．（±，0）C．（±，0）D．（±，0）
【解答】解：双曲线，可知a＝，b＝1，c＝，所以双曲线的焦点坐标为（，0）．
故选：C．
4．（2023•西山区校级模拟）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【解答】解：双曲线的一条渐近线的倾斜角为，
则tan＝，
所以该条渐近线方程为y＝x；
所以＝，
解得a＝；
所以c＝＝＝2，
所以双曲线的离心率为e＝＝＝．
故选：A．
5．（2023•青羊区校级模拟）已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点O及点，则双曲线C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程：y＝x，因为A（，） 在渐近线上，故＝ 所以a＝，
又A在以OF 为直径的圆上，所以OA⊥AF，
所以AF2+OA2＝OF2，即（﹣c）2+（）2+（）2+（）2＝c2 解得：c＝2，a＝，b＝1，
所以双曲线的方程为：﹣y2＝1，
故选：C．
二．双曲线的性质（共33小题）
6．（2023•天山区校级模拟）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△F1AB为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【解答】解：已知双曲线 的左右焦点分别为F1、F2，
过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，
若△F1AB为等腰直角三角形，
此时|AF1|＝|BF1|，且∠AF1B＝90°，
因为∠AF1F2＝∠BF1F2＝45°，
而|AF2|＝|F1F2|，
则，
即b2＝2ac，①
又b2＝c2﹣a2，②
联立①②，解得，
因为e＞1，
所以．
故选：C．
7．（2023•朝阳区一模）过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若∠AFO＝2∠AOF（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．或2
【解答】解：在Rt△AFO中，因为∠AFO＝2∠AOF，
所以∠AOF＝30°，则，
所以，
故选：B．
8．（2023•博白县模拟）已知F1，F2分别是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若∠F1PF2＝60°，＝ac，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【解答】解：设PF1＝m，PF2＝n，则＝＝ac，
∴mn＝4ac，
由余弦定理可得：|F1F2|2＝4c2＝m2+n2﹣mn＝（m﹣n）2+mn，
由双曲线的定义可知m﹣n＝2a，
∴4c2＝4a2+4ac，即c2﹣a2＝ac，
∴e2﹣e﹣1＝0，解得e＝或e＝（舍）．
故选：A．
9．（2023•郑州模拟）点（4，0）到双曲线Γ：的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．5
【解答】解：由题意可得双曲线的一条渐近线为：ay﹣bx＝0，
所以（4，0）到ay﹣bx＝0的距离为，
不妨设b＝4m（m＞0），
则．
故选：C．
10．（2023•武鸣区校级二模）双曲线x2﹣＝1的焦点坐标为（ ）
A．（±1，0）B．（0，±）C．（±，0）D．（0，±1）
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣＝1，
其中a＝1，b＝，其焦点在x轴上，
则c＝＝，
所以双曲线的焦点坐标为（±，0）；
故选：C．
11．（2023•河南模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C的一条渐近线上的点，且线段PF1的中点M在另一条渐近线上．若∠PF2F1＝45°，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【解答】解：因为M，O分别是PF1，F1F2的中点，
所以MO∥PF2，又∠PF2F1＝45°，
所以∠MOF1＝45°，即，
所以a＝b，故．
故选：A．
12．（2023•源汇区校级模拟）已知F1、F2分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为2c，c＝，则该双曲线的离心率是（ ）
A．3B．4C．D．
【解答】解：由双曲线的性质可得|PF1|＝2a+|PF2|，
所以|PF1|2＝4a2+4a|PF2|+|PF2|2，
所以＝|PF2|++4a≥2+4a＝8a，
由题意可2c＝8a，即c＝4a，
所以双曲线的离心率为e＝＝4．
故选：B．
13．（2023•四川模拟）已知双曲线C：x2﹣＝1（a＞b＞0）的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线C上，过点B作x轴的垂线BM，交PA于点M．若∠PAB＝∠PBM，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【解答】解：设P（m，n），可得m2﹣＝1，
双曲线C：x2﹣＝1（a＞b＞0）的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线C上，
过点B作x轴的垂线BM，交PA于点M．∠PAB＝∠PBM，
过P作x轴的垂线，垂足为N，所以△PAN∽△BPN，
可得，结合m2﹣＝1，
可得b＝1，又a＝1，所以双曲线的离心率为：e＝＝．
故选：A．
14．（2023•贺兰县校级模拟）人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的方程为x2﹣y2＝1，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），∠F1F2P的余弦值大小为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m﹣n＝2，m2+n2＝，
解得m＝+1，n＝﹣1，
∴cs∠F1F2P＝＝，
故选：D．
15．（2023•海淀区校级模拟）若双曲线的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y＝±x，
即ax±2y＝0，
由圆（x﹣2）2+y2＝4的方程可得圆心C（2，0），半径r＝2，
可得d＝，
所以可得弦长2＝2＝，解得a2＝，
可得离心率e＝＝＝＝，
故选：B．
16．（2023•广西模拟）双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【解答】解：由题意知双曲线左顶点为A（﹣a，0），设P（x0，y0），则Q（﹣x0，y0），
则有，
又，将代入中，得，
即a2＝4b2，所以，故，
故选：A．
17．（2023•未央区模拟）设O为坐标原点，F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，已知双曲线C的离心率为，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则＝（ ）
A．B．2C．D．
【解答】解：设双曲线的一条渐近线为y＝，
过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则|PF2|＝b，
则|OP|＝a，cs∠PF2O＝，
在△PF1F2中，cs∠PF2O＝＝，
得|PF1|2＝4c2﹣3b2＝4（a2+b）2﹣3b2＝4a2+b2，
∵e＝，得＝1+＝3，
得＝2，
则＝＝＝＝＝，
故选：A．
18．（2023•贵阳模拟）已知双曲线C：mx2﹣ny2＝1（m＞0，n＞0）的离心率为，虚轴长为4，则C的方程为（ ）
A．3x2﹣4y2＝1B．
C．D．
【解答】解：由双曲线C：mx2﹣ny2＝1（m＞0，n＞0），
得，可得a＝，b＝，c＝，
∵双曲线的离心率为，虚轴长为4，
∴，解得．
∴C的方程为．
故选：D．
19．（2023•郑州模拟）已知双曲线的左焦点为F，过原点O的直线与C交于点A，B，若|OF|＝|OA|，则|AF||BF|＝（ ）
A．2B．4C．8D．16
【解答】解：双曲线，则a＝2，b＝1，，
由|OF|＝|OA|可得AF⊥BF，设A为右支上一点，F2为右焦点，连接AF2、BF2，
则四边形AFBF2为矩形，所以|AF2|＝|BF|，
设|AF|＝m，|BF|＝n，则m﹣n＝4，m2+n2＝20，
所以．
故选：A．
20．（2023•蕉城区校级二模）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l交双曲线的右支于A、B两点．点M满足，且，者，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如下图所示，取线段BF1的中点E，连接AE，
因为，则，
因为E为BF1的中点，则AE⊥BF1，且∠ABF1＝∠AF1B，
由双曲线的定义可得2a＝|AF1|﹣|AF2|＝|AB|﹣|AF2|＝|BF2|，
所以|BF1|＝|BF2|+2a＝4a，则|BE|＝|EF1|＝2a，
由余弦定理可得
＝＝，
所以，因此该双曲线的离心率为．
故选：C．
21．（2023•凉山州模拟）已知以直线y＝±2x为渐近线的双曲线，经过直线x+y﹣3＝0与直线2x﹣y+6＝0的交点，则双曲线的实轴长为（ ）
A．6B．C．D．8
【解答】解：由，解得，则双曲线过点（﹣1，4）．
若双曲线的焦点在x轴，设为，
由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，得，即b＝2a，
将（﹣1，4）代入方程，得，
有，无解，不符合题意；
若双曲线的焦点在y轴，设为，
由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，得，即a＝2b，
将（﹣1，4）代入方程，得，
有，解得，
所以双曲线的实轴长为．
故选：C．
22．（2023•滨海新区校级三模）点F是抛物线x2＝8y的焦点，A为双曲线C：的左顶点，直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，则实数b的值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【解答】解：抛物线x2＝8y的焦点为（0，2）．
设A为双曲线C：的左顶点（﹣2，0），渐近线方程为y＝±x，
因为直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，
所以＝，解得b＝4，
故选：B．
23．（2023•恩施市校级模拟）已知F1，F2分别为双曲线C：的左右焦点，且F1到渐近线的距离为1，过F2的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，且l⊥AF1，则下列说法正确的为（ ）
A．△AF1F2的面积为2B．双曲线C的离心率为
C．D．
【解答】解：设双曲线C的半焦距为c＞0，因为双曲线C的焦点在x轴上，且a＝2，
则其中一条渐近线方程为，即bx﹣2y＝0，且F1（﹣c，0），
则F1到渐近线的距离为，可得，
对于A：因为|AF2|﹣|AF1|＝4且，
可得，解得|AF1|⋅|AF2|＝2，
所以△AF1F2的面积为，故A错误；
对于B：双曲线C的离心率为，故B错误；
对于C：因为，可得，
所以•＝•＝•（•+）＝2+•＝2＝10﹣4，故C错误；
对于D：设|BF2|＝m，则，
因为，即 ，解得，
所以＝+＝，故D正确．
故选：D．
24．（2023•郑州模拟）已知F1，F2分别是双曲线Γ：的左、右焦点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，BF2平分∠F1BC，则双曲线Γ的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为，则CB∥F2A，
所以△F1AF2∽△F1BC，
设|F1F2|＝2c，则|F2C|＝8c，
设|AF1|＝t，则|BF1|＝5t，|AB|＝4t．
因为BF2平分∠F1BC，由角平分线定理可知，，
所以|BC|＝4|BF1|＝20t，
所以，
由双曲线定义知|AF2|﹣|AF1|＝2a，即4t﹣t＝2a，，①
又由|BF1|﹣|BF2|＝2a得|BF2|＝5t﹣2a＝2t，
在△ABF2中，由余弦定理知，
在△F1BF2中，由余弦定理知，
即，
化简得c2＝6t2，
把①代入上式得，
解得．
故选：A．
25．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过双曲线C上一点P向y轴作垂线，垂足为Q，若|PQ|＝|F1F2|且PF1与QF2垂直，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设双曲线焦距为2c，不妨设点P在第一象限，
由题意知PQ∥F1F2，由|PQ|＝|F1F2|且PF1与QF2垂直可知，四边形PQF1F2为菱形，
且边长为2c，而△QF1O为直角三角形，|QF1|＝2c，|F1O|＝c，
故∠F1QO＝30°，∴∠QF1O＝60°，则∠F1QP＝120°
则 ，|PF2|＝2c，
故，
即离心率．
故选：B．
26．（2023•林芝市二模）已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，双曲线C上有两点A，B满足，且，若四边形F1AF2B的周长l与面积S满足，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：不妨设|AF1|＝m，|AF2|＝n（m＞n），由双曲线的定义可知，m﹣n＝2a，则m2+n2﹣2mn＝4a2①，又，
所以由余弦定理可得m2+n2+mn＝4c2②，由①②可得，
所以．又四边形F1AF2B为平行四边形，故四边形F1AF2B的周长l＝2（m+n），
则，面积，因为，所以，整理得2c2＝3a2，
故双曲线C的离心率为，
故选：A．
27．（2023•安徽模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的右支相交于点P，过点O，F2作ON⊥PF1，F2M⊥PF1，垂足分别为N，M，且M为线段PN的中点，|ON|＝a，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【解答】解：因为F1，F2为双曲线C的左、右焦点，
所以|F1F2|＝2c，
因为ON⊥PF1，F2M⊥PF1
所以ON∥F2M，又O为线段F1F2的中点，
所以N为线段F1M的中点，且，
又M为线段PN的中点，
所以，
在Rt△OF1N中，|ON|＝a，|OF1|＝b，
所以，
所以|PF1|＝3b，|MP|＝b，
因为点P在双曲线的右支上，
所以|PF1|﹣|PF2|＝2a，
故|PF2|＝3b﹣2a，
在Rt△MF2P中，|MF2|＝2a，|MP|＝b，|PF2|＝3b﹣2a，
由勾股定理可得：（2a）2+b2＝（3b﹣2a）2，
所以8b2＝12ab，即2b＝3a，
所以4b2＝9a2，又b2＝c2﹣a2，
故4c2＝13a2，
所以，
故选：D．
28．（2023•长沙模拟）已知双曲线4x2﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，满足•＝0，点N是线段F1F2上一点，满足＝λ．现将△MF1F2沿MN折成直二面角F1﹣MN﹣F2，若使折叠后点F1，F2距离最小，则λ＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：易知双曲线中，，
则，
又，即，
又，
∴，
如图，设∠NMF2＝θ，F2G⊥MN，F1H⊥MN，
则，
∴＝4sin2θ+（2csθ﹣3sinθ）2+9cs2θ＝13（sin2θ+cs2θ）﹣12sinθcsθ＝13﹣6sin2θ，
由三角函数知识可知，当时，F1F2取得最小值，此时MN为△MF1F2的角平分线，
由角平分线性质可知，此时，则，
∴．
故选：C．
29．（2023•濠江区校级模拟）已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D．若，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设双曲线的右焦点为F（c，0），A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l：y＝k（x﹣c），
联立方程，消去y得：（b2﹣a2k2）x2+2a2k2cx﹣a2（k2c2+b2）＝0，
则可得，
则，
设线段AB的中点M（x0，y0），则，
即，
且k≠0，线段AB的中垂线的斜率为，
则线段AB的中垂线所在直线方程为，
令y＝0，则，解得，
即，则，
由题意可得：，即，
整理得，则，
注意到双曲线的离心率e＞1，
∴双曲线的离心率取值范围是．
故选：A．
30．（2023•洛阳模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过点F1的直线l与双曲线C的左支交于点A，与双曲线C的一条渐近线在第一象限交于点B，且|F1F2|＝2|OB|（O为坐标原点）．下列四个结论正确的是（ ）
①；
②若，则双曲线C的离心率；
③|BF1|﹣|BF2|＞2a；
④．
A．①②B．①③C．①②④D．①③④
【解答】解：如图，∵|F1F2|＝2|OB|，O为F1F2的中点，∴|OF1|＝|OF2|＝|OB|，得BF1⊥BF2，
则，即|BF1|＝，故①正确；
设∠BOF2＝θ，则tanθ＝，csθ＝，sinθ＝，
作AA1⊥x轴，垂足为A1，BB1⊥x轴，垂足为B1，
则|OB1|＝|OB|csθ＝c•＝a，|BB1|＝|OB|sinθ＝c•＝b，
∵，∴＝，得|AA1|＝b，|A1F1|＝（a+c），
则A（（a﹣2c），b），
∴，得（2c﹣a）＝a，则e＝，故②正确；
设直线l与C右支的交点为M，则|MF1|﹣|MF2|＝2a，
∵||MB|﹣|MF2||＜|BF2|，∴|MB|﹣|MF2|＞﹣|BF2|，
则|MF1|﹣|MF2|＝|BF1|+|MB|﹣|MF2|＞|BF1|﹣|BF2|，则|BF1|﹣|BF2|＜2a，故③错误；
设A（x0，y0），则|AF1|＝＝
＝＝||，得|AF1|＝﹣（+a），由题意可知，0＜y0＜|BB1|＝b，
则a2＜＝a2（1+）＜2a2，则﹣a＜x0＜﹣a，
故c﹣a＜|AF1|＝﹣﹣a＜c﹣a，故④正确．
故选：C．
31．（2023•江西二模）已知双曲线E：，其左右顶点分别为A1，A2，P在双曲线右支上运动，若∠A1PA2的角平分线交x轴于D点，A2关于PD的对称点为A3，若仅存在2个P使直线A3D与E仅有一个交点，则E离心率的范围为（ ）
A．B．C．D．（2，+∞）
【解答】解：设直线PA1的倾斜角为α，直线PA2的倾斜角为β，由题设可得P不为右顶点．
设P（x0，y0），则．
双曲线在P（x0，y0）处的切线斜率必存在，设切线方程为y＝k（x﹣x0）+y0，
由可得，
整理得到：，
故，
整理得：即，
故，故切线方程为：即．
因为存在2个P使直线A3D与E仅有一个交点，
故由双曲线的对称性不妨设P在第一象限，
此时α，β均为锐角且存在唯一的P满足题设条件．
故直线PD与渐近线平行或与双曲线相切或．
若直线PD与渐近线平行，则，
而PD为∠A1PA2的平分线，故其倾斜角γ满足γ﹣α＝β﹣γ，故，
故，
故，但，
故，
而，由基本不等式可得，
当且仅当tanα＝tanβ即α＝β时等号成立，此时PA1∥PA2，这不可能，
故直线PD与渐近线不平行．
若直线PD与双曲线相切，且切点为P（x0，y0），
双曲线在P的切线方程为：，
故且该切线的斜率为，所以直线A3D的斜率为．
此时，
而，
即
，故a2＝a2+b2，矛盾．
故直线，所以，
而直线A3D的倾斜角为α+β，
因为直线A3D与双曲线有且只有一个交点，且D在OA2之间，故，
由P在第一象限内的唯一性可得存在唯一的α，β，使得，
而，故，
所以即b2＞3a2，
所以，
故选：D．
32．（2023•江西模拟）双曲线的左焦点为F，过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若过A，B和点的圆的圆心在y轴上，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．±1D．
【解答】解：由题意可知：F（﹣2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为P，
过点A，B，M的圆的圆心坐标为G（0，t），则，
由题意知：直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为：x＝my﹣2，
联立方程组化简整理可得，（m2﹣3）y2﹣4my+1＝0，
则m2﹣3≠0，Δ＝16m2﹣4（m2﹣3）＝12m2+12＞0，，
故AB的中点P的纵坐标，横坐标，
则，
由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，
所以，化简整理可得：①，
则圆心G（0，t）到直线AB的距离，
，
，即，
将①代入可得：，
即，
整理可得：m4﹣5m2+6＝0，则（m2﹣2）（m2﹣3）＝0，
因为m2﹣3≠0，所以m2﹣2＝0，解得，
所以．
故选：A．
33．（多选）（2023•宜章县模拟）已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线C的渐近线在第一象限部分上的一点，线段PF2与双曲线交点为Q，且|F1P|＝|F1F2|＝2|PF2|，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．|OP|＝2a
B．双曲线C的离心率e＝
C．|QF1|＝a
D．若△QF1F2的内心的横坐标为3，则双曲线C的方程为＝1
【解答】解：对于A，如图，过F2作F2H⊥PO，垂足点为H，
∵F2（c，0）到直线y＝x的距离d＝＝b，
∴|F2H|＝b，又|OF2|＝c，tan∠POF2＝，
∴易得|OH|＝a，又|F1F2|＝2|PF2|＝2|OF2|，
∴|PF2|＝|OF2|，∴H为PO的中点，
∴|OP|＝2|OH|＝2a，故A正确；
对于B，设∠POF2＝θ，则tanθ＝，∴csθ＝，sinθ＝，
又由A知|OP|＝2a，∴P（2acsθ，2asinθ），即P（，），
又F1（﹣c，0），|F1P|＝|F1F2|＝2c，∴＝2c，
两边平方化简，可得4a4+c4+4a2c2+4a2b2＝4c4，
∴4a4+c4+4a2c2+4a2（c2﹣a2）＝4c4，∴8a2＝3c2，
∴e2＝＝，∴e＝，故B错误；
对于C，设|QF1|＝t，则QF2|＝t﹣2a，
又|F1P|＝|F1F2|＝2|PF2|＝2c，∴cs∠QF2F1＝＝，
∴在△QF2F1中，由余弦定理，可得＝，
∴t＝，又由B知c＝a，
∴t＝＝，故C正确；
对于D，设△QF1F2的内心为I，且内切圆I与F1F2切于点E，
则根据双曲线的定义及内切圆的几何性质，
可得|QF1|﹣|QF2|＝|F1E|﹣|F2E|＝2a，又|F1E|+|F2E|＝2c，
∴|F1E|＝c+a，|F2E|＝c﹣a，
∴切点E为右顶点，又△QF1F2的内心的横坐标为3，
∴a＝3，又由B知e＝，
∴c＝2，∴b2＝c2﹣a2＝24﹣9＝15，
∴双曲线C的方程为＝1，故D正确，
故选：ACD．
34．（2023•万州区校级模拟）已知F1，F2为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过点F1作一条渐近线的垂线交双曲线右支于点P，直线PF2与y轴交于点Q（P，Q在x轴同侧），连接QF1，如图，若△PQF1内切圆圆心恰好落在以F1F2为直径的圆上，则∠F1PF2＝ ；双曲线的离心率e＝ ．
【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），
如图可得△QF1F2为等腰三角形，则△PQF1的内切圆圆心I在y轴上，又I恰好落在以F1F2为直径的圆上，
可设I（0，c），双曲线的一条渐近线方程设为bx+ay＝0，
则直线PF1的方程设为ax﹣by+ac＝0，
则I到直线PF1的距离为＝|a﹣b|，
由图象可得a＜b，则|a﹣b|＝b﹣a，
设Q（0，t），且t＞c，则直线QF2的方程为tx﹣cy+tc＝0，
由内心的性质可得I到直线QF2的距离为b﹣a，
即有＝b﹣a，化简可得abt2﹣tc3+abc2＝0，由Δ＝c6﹣4a2b2c2＝c2（a2﹣b2）2，
解得t＝或＜c（舍去），
则Q（0，），直线QF2的斜率为＝﹣，
可得直线QF2与渐近线OM：bx+ay＝0平行，可得∠F1PF2＝，
由F1到渐近线OM的距离为＝b，|OM|＝＝a，
由OM为△PF1F2的中位线，可得|PF2|＝2|OM|＝2a，|PF1|＝2|MF1|＝2b，
又|PF1|﹣|PF2|＝2a，则b＝2a，e＝＝＝．
故答案为：，．
另解：设由F1向渐近线y＝﹣x所作垂线的垂足为M，△PQF1的内心为I，
由于|QF1|＝|QF2|，所以内心I在y轴上．
又内心I在以线段F1，F2为直径的圆上，
所以|OF1|＝|OF2|＝c，连接IF1．IF2，
则∠IF1O＝∠IF2O＝45°，设∠QF1I＝∠QF2I＝α，
则∠IF1P＝∠QF1I＝α，因此∠PF1F2＝45°﹣α，
而∠PF2F1＝∠QF2I+∠IF2O＝45°+α，
因此∠PF1F2+∠PF2F1＝45°﹣α+45°+α＝90°，故∠F1PF2＝90°．
又F1M⊥OM，所以OM∥PF2，所以M为PF的中点，易求得|OM|＝a，
于是|PF2|＝2a．由双曲线定义可得|PF1|＝2a+2a＝4a，
在Rt△PF1F2中，由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，
于是c2＝5a2，故得双曲线的离心率e＝．
故答案为：，．
35．（2023•淮北一模）已知双曲线C：过点，则其方程为 ，设F1，F2分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则|ME|﹣|NE|的取值范围是 ．
【解答】解：①因为双曲线C：过点，所以，
所以双曲线C的方程为．
②如图：
设△AF1F2的内切圆与AF1，AF2，F1F2分别切于H，D，G，
所以|AH|＝|AD|，|HF1|＝|GF1|，|DF2|＝|GF2|，
所以|AF1|﹣|AF2|＝|AH|+|HF1|﹣|AD|﹣|DF2|＝|HF1|﹣|DF2|＝|GF1|﹣|GF2|＝2a，
又|GF1|+|GF2|＝2c，所以|GF1|＝a+c，|GF2|＝c﹣a，
又|EF1|＝a+c，|EF2|＝c﹣a，所以G与E（a，0）重合，所以M的横坐标为a，同理可得N的横坐标也为a，
设直线AB的倾斜角为θ．则，，
＝＝＝＝，
当时，|ME|﹣|NE|＝0，
当时，由题知，a＝2．c＝4，．
因为A，B两点在双曲线的右支上，∴，且，所以或，
∴．且，，
综上所述，．
故答案为：；．
36．（多选）（2023•芜湖模拟）双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知O为坐标原点，F1，F2分别是双曲线C：的左右焦点，过F2的直线交双曲线C的右支于M，N两点，且M（x1，y1）在第一象限，△MF1F2，△NF1F2的内心分别为I1，I2，其内切圆半径分别为r1，r2，△MF1N的内心为I．双曲线C在M处的切线方程为，则下列说法正确的有（ ）
A．点I1、I2均在直线x＝3上
B．直线MI的方程为
C．
D．
【解答】解：由双曲线得a＝3，b＝4，c＝5，
设△MF1F2的内切圆I1与MF1，MF2，F1F2分别切于点A，B，H，
则|MA|＝|MB|，|F1A|＝|F1H|，|F2B|＝|F2H|，
所以|MF1|﹣|MF2|+|F1F2|＝|F1A|+|MA|﹣|F2B|﹣|MB|﹣|F1H+F2H|＝2a+2c＝16，
又|OF1|＝5，所以|OH|＝3，即圆I1与x轴的切点是双曲线的右顶点，即I1在直线x＝3上，
同理可得圆I2与x轴的切点也是双曲线的右顶点，即I2也在直线x＝3上，故选项A正确；
因为△MF1N的内心为I，所以MI平分∠F1MF2，根据双曲线的光学性质，双曲线C在M处的切线就平分∠F1MF2，故直线MI的方程为，故B正确；
设△NF1F2的内切圆I2与MN切于点D，连接I1B，I2D，I1F2，I2F2，
设∠I2I1F2＝θ，∠I1I2F1＝α，
因为IB⊥MN，I2D⊥MN，所以I1B∥I2D，所以2θ+2α＝π，即，所以tanθ•tanα＝1，
又|F2H|＝2，所以tan，tan，即tan＝1，所以r1r2＝4，故C不正确；
由B可得MI的方程为，①
设N（x2，y2），同理可得NI的方程为，②
联立①②可得x＝，
可设MN的方程为x＝my+5，可得x1＝my1+5，x2＝my2+5，
则x＝＝，所以I在直线x＝上，
所以I到I1I2的距离为d3＝3﹣＝，
F2到I1I2的距离为d4＝5﹣3＝2，
所以＝＝．故D正确．
故选：ABD．
37．（多选）（2023•广东模拟）双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上异于顶点的一点，△PF1F2的内切圆记为圆I，圆I的半径为r，过F1作PI的垂线，交PI的延长线于Q，则（ ）
A．动点I的轨迹方程为x＝4（y≠0）
B．r的取值范围为（0，3）
C．若r＝1，则tan∠F1PF2＝
D．动点Q的轨迹方程为x2+y2＝16（x≠4且x＞﹣）
【解答】解：设Ⅰ（x，y），设△PF1F2 的内切圆分别与边PF1，PF2，F1F2 切于A，B，C三点，如图所示，
对于A：由题知，a＝4，b＝3，c＝5，F1（﹣5，0），F2（5，0），
8＝|PF1|﹣|PF2|＝（|PA|+|F1A|）﹣（PB|+|F2B|）＝|F1A|﹣|F2B|＝|F1C|﹣|F2C|，
所以（x+5）﹣（5﹣x）＝8，x＝4，显然y≠0，故A正确；
对于B：根据对称性，不妨假设P点在x轴上方，根据A选项可设Ⅰ（4，r），双曲线的一条渐近线为，
考虑P点在无穷远时，直线PF1的斜率趋近于，此时PF1的方程为，
圆心到直线的距离为＝3，
所以r的取值范围为（0，3），故B正确；
对于C：r＝1时，|IB|＝|IC|＝1，|F2C|＝1，此时PF2⊥F1F2，
所以，，
因为|F1F2|＝10，PF2⊥F1F2，
所以，故C错误；
对于D：分别延长 F1Q，PF2 交于点M，因为PQ过内切圆圆心I，
所以PQ为角平分线，且PQ⊥F1M，
所以|PF1|＝|PM|，且Q为F1M的中点，
所以|PF1|﹣|PF2|＝|PM|﹣|PF2|＝|MF2|＝8，
又因为点O为F1F2 的中点，Q为F1M 的中点，
所以，
所以动点Q的轨迹方程为 x2+y2＝16，显然x≠4，
又考虑P点在无穷远时，此时直线OP趋近于渐近线，直线F1Q为 ，
联立方程组 ，解得，则，
所以点Q的横坐标 ，动点Q的轨迹方程为，故D正确；
故选：ABD．
38．（2023•赤峰模拟）初中时代我们就说反比例函数的图像是双曲线，建立适当的平面直角坐标系可以求得这个双曲线的标准方程，比如，把的图象顺时针旋转可以得到双曲线．已知函数，在适当的平面直角坐标系中，其标准方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：对函数，其定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称，
用﹣x，﹣y替换x，y，方程不变，故其图象关于原点对称．
又当x＞0，且x趋近于0时，y趋近于正无穷，
当x趋近于正无穷时，趋近于0，
此时的图象与y＝无限靠近，
故的两条渐近线为y轴与y＝，
为使其双曲线的方程为标准方程，故应建立的坐标轴x′，y′必须平分两条渐近线的夹角，
又y＝，其斜率为k＝，
此时其在原坐标系中其倾斜角为30°，与y轴夹角为60°，
故新坐标系中，x′轴与x轴的夹角应为60°，
故x′轴所在直线在原坐标系中的方程为y＝x，y′轴与其垂直，
在如图所示的新坐标系中，设双曲线的方程为，
联立，可得x2＝3，y2＝9，
则a2＝x2+y2＝12，
又在新坐标系下，双曲线的渐近线x＝0与x轴的夹角为30°，
故＝，即，
故在新坐标系下双曲线方程为．
故选：A．
三．直线与双曲线的综合（共22小题）
39．（2023•射洪市校级模拟）已知双曲线的右焦点为F，点A（0，m），若直线AF与C只有一个交点，则m＝（ ）
A．±2B．C．D．±4
【解答】解：双曲线的右焦点为F（4，0），点A（0，m），
双曲线的渐近线方程：y＝x，
直线AF与C只有一个交点，
可得，解得m＝．
故选：B．
40．（2023•赤峰三模）2022年卡塔尔世界杯中的数字元素——会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线．定义：在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0）F2（a，0）的距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽线C．已知P（x0，y0）是双纽线C上的一点，下列说法错误的是（ ）
A．双纽线C关于原点O成中心对称
B．
C．双曲线C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个
D．|OP|的最大值为
【解答】解：对于A，因为定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0），F2（a，0），距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽线C，
所以，
用（﹣x，﹣y）替换方程中的（x，y），原方程不变，所以双纽线C关于原点O中心对称，所以A正确；
对于B，根据三角形的等面积法可知＝，
即|y0|＝sin∠F1PF2，所以，所以B正确；
对于C，若双纽线C上的点P满足|PF1|＝|PF2|，则点P在y轴上，即x＝0，
所以，得y＝0，所以这样的点P只有一个，所以C错误；
对于D，因为，
所以||2＝（﹣cs∠F1PF2+），
由余弦定理得4a2＝﹣cs∠F1PF2+，
所以||2＝a2+cs∠F1PF2＝a2+a2cs∠F1PF2≤2a2，
所以|PO|的最大值为，所以D正确．
故选：C．
41．（2023•淮北二模）已知A（﹣2，0），B（2，0），过P（0，﹣1）斜率为k的直线上存在不同的两个点M，N满足：．则k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为，
所以M，N是以A（﹣2，0）、B（2，0）为焦点的双曲线的右支上的两点，且c＝2，，
所以，
∴双曲线方程为，
则过P（0，﹣1）斜率为k的直线方程为y＝kx﹣1，
由，消去y整理得（1﹣3k2）x2+6kx﹣6＝0，
所以，解得，即k的取值范围为．
故选：C．
42．（2023•河南模拟）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，B为双曲线E上在第一象限内的点，线段F1B与双曲线E相交于另一点A，AB的中点为M，且F2M⊥AB，若∠AF1F2＝30°，则双曲线E的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
∠AF1F2＝30°，可得AB的方程为：y＝（x+c），
代入双曲线方程化简可得：（3b2﹣a2）x2﹣2a2cx﹣a2c2﹣3a2b2＝0，
所以xM＝，yM＝（+c），＝，
解得a2＝b2，
所以双曲线的离心率为：e＝＝＝．
故选：D．
43．（2023•天津模拟）双曲线的左右焦点分别是F1，F2，离心率为e，过点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点．若△MF2N是以M为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设|MF2|＝m，
因为△MNF2是以M为直角顶点的等腰直角三角形，
所以|MN|＝m，|NF2|＝m，|MF1|＝，|NF1|＝m﹣，
由双曲线的定义知，|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF2|﹣|NF1|＝2a，
又|MF1|＝m﹣2a，|NF1|＝m﹣2a，
，
解得m＝2a，
则，
解得，
双曲线的离心率为e，可得e2＝5﹣2．
故选：A．
44．（2023•让胡路区校级模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段BF1的中点，且BF1⊥BF2，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【解答】解：由题意可知，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当两个交点分别在第二和第三象限时不符合，
A为线段BF1的中点，当交点在x轴上方或x轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可，如图．
根据双曲线可得，F1（﹣c，0），F2（c，0），两条渐近线方程，
∵BF1⊥BF2，O为F1F2的中点，
∴BO＝OF1＝OF2＝c，
又∵A为线段BF1的中点，
∴OA垂直平分BF1，
可设直线BF1为①，直线BF2为②，直线BO为③，
由②③得，交点坐标，点B还在直线BF1上，
∴，可得b2＝3a2，c2＝a2+b2＝4a2，
所以双曲线C的离心率，
故选：B．
45．（2023•江西模拟）已知双曲线C：＝1，若直线l：y＝kx+t（kt≠0）与双曲线C交于不同的两点P，Q，且P，Q与M（0，1）构成的三角形中有∠MPQ＝∠MQP，则t的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）B．
C．D．
【解答】解：联立直线y＝kx+t（kt≠0）与双曲线C：＝1，可得（1﹣2k2）x2﹣4ktx﹣2t2﹣2＝0，
则Δ＝16k2t2﹣4（1﹣2k2）（﹣2t2﹣2）＝8t2+8﹣16k2＞0，即1+t2＞2k2，且1﹣2k2≠0，①
设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2＝，
由P，Q与M（0，1）构成的三角形中有∠MPQ＝∠MQP，可得△MPQ为等腰三角形，且MP＝MQ，
设PQ的中点为N，则MN⊥PQ，
又PQ的中点N的坐标为（，），
直线MN的斜率为，
所以＝﹣，
化为3t﹣1+2k2＝0，②
1﹣3t＞0，③
由①②③解得＞t＞0或t＜﹣3，
故选：B．
46．（2023•咸阳一模）直线l过双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F，与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，O为原点，且•＝0，3＝，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示，设渐近线l1：y＝x，即bx﹣ay＝0，
设渐近线线l1的倾斜角为θ，则tanθ＝，∠AOF＝∠BOF＝θ，
∴双曲线的焦点F（c，0）到渐近线l1：bx﹣ay＝0的距离为＝b，
∵•＝0，∴OA⊥AF，
∴|AF|＝b，又|OF|＝c，∴|OA|＝a，
又3＝，∴|FB|＝3|AF|＝3b，
∴tan∠AOB＝＝＝tan2θ＝，又tanθ＝，
∴，
化简可得a2＝2b2，∴，
∴双曲线C的离心率为＝＝＝，
故选：D．
47．（2023•包河区校级模拟）设点F为双曲线的左焦点，经过原点O且斜率的直线与双曲线C交于A、B两点，AF的中点为P，BF的中点为Q．若OP⊥OQ，则双曲线C的离心率e的取值范围是 ．
【解答】解：点F为双曲线的左焦点，
设双曲线的右焦点为F2，根据双曲线方程知，c＝2．
原点O平分线段FF2，
又∵经过原点O且斜率的直线与双曲线C交于A、B两点，
由对称性，原点O平分线段AB，
∴四边形AFBF2为平行四边形．
△ABF和△ABF2中，分别有中位线，OQ∥AF，OP∥BF，
∵OP⊥OQ，∴AF⊥BF，∴四边形AFBF2为矩形，∴△BFF2为直角三角形．
不妨设B在第一象限，设直线AB倾斜角为2θ，则，且∠OFB＝∠OBF＝θ，
在Rt△BFF2中可得：2a＝|BF|﹣|BF2|＝4csθ﹣4sinθ，
∴，
∵，∴，
易知在上为增函数，
∴．
故答案为：[，+∞）．
48．（2023•宜宾模拟）已知双曲线C：的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2作渐近线的垂线交C于A，B两点，点A在第一象限，若，则△ABF1的周长为 ．
【解答】解：∵e＝＝，则＝1+＝，得＝﹣1＝，得＝，即渐近线为y＝x，
不妨设a＝m，b＝m，c＝2m，
则双曲线方程为，
A（x1，y1），B（x2，y2），
则AB：x＝2m﹣，即y＝﹣（x﹣2m），代入整理得8y2+4my﹣3m2＝0，
解得y1＝，y2＝，
则＝＝，BF2＝，AB＝AF2+BF2＝3＝|y1﹣y2|＝＝m，
得m＝，则a＝3，
则周长为AF1+BF1+AB＝2（AF2+BF2）+4a＝6+12＝18．
故答案为：18．
49．（2023•山东模拟）过双曲线x2﹣y2＝1的左、右焦点作两条相互平行的弦AB，CD，其中A，B在双曲线的左支上，A，C在x轴上方，则|AF1|⋅|CF2|的最小值为 1 ，当AB的倾斜角为时，四边形AF1F2C的面积为 ．
【解答】解：x2﹣y2＝1的a＝b＝1，c＝，
设|AF1|＝m，|CF2|＝n，由对称性可得|BF1|＝|CF2|＝n，
由双曲线的定义可得|AF2|＝|AF1|+2a＝m+2a，
|BF2|＝|BF1|+2a＝n+2a，
在△AF1F2中，cs∠AF1F2＝＝，
在△BF1F2中，cs∠BF1F2＝＝，
又∠AF1F2+∠BF1F2＝π，
所以cs∠AF1F2+cs∠BF1F2＝+＝0，
化为+＝2，
由+≥2，可得mn≥1，当且仅当m＝n＝1，
可得|AF1|⋅|CF2|的最小值为1；
当AB的倾斜角为时，设直线AB的方程为y＝（x+），
联立双曲线的方程x2﹣y2＝1，可得2x2+6x+7＝0，
解得A（1﹣，﹣），
由直线CD的方程y＝（x﹣），与双曲线的方程联立，可得2x2﹣6x+7＝0，
解得A（1+，+），
所以四边形AF1F2C的面积为+S△AHC＝2×（﹣）+2×＝2．
故答案为：1；2．
50．（2023•黄石模拟）三等分角是古希腊三大几何难题之一．公元3世纪末，古希腊数学家帕普斯利用双曲线解决了三等分角问题如图，已知圆心角ACB是待三等分的角（0＜∠ACB＜π）具体操作方法如下：在弦AB上取一点D，满足AD＝2DB，以AD为实轴，为虚轴作双曲线，交圆弧AB于点M，则∠ACM＝2∠MCB，即CM为∠ACB的三等分线已知双曲线E的方程为，点A，D分别为双曲线E的左，右顶点，点B为其右焦点，点C为双曲线E的右准线上一点，且不在x轴上，线段CB交双曲线E于点P若扇形CMB的面积为，则的值为 ．
【解答】解：设C（1，yc），∠ACB＝2a，则圆C：，
易知，又有，即，
可得yc＝﹣3，则BC：y＝x﹣4，联立，可得
所以＝．
故答案为：．
51．（2023•九江模拟）过点A（0，1）作斜率为k的直线l交双曲线于P1，P2两点，线段P1P2的中点在直线上，则实数k的值为 ．
【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2），线段P1P2的中点坐标为（，y0），则x1+x2＝2×＝1，
因为P1，P2两点在双曲线上，
所以，两式相减得，k＝＝＝，
又直线l过点A（0，1），所以k＝＝2（y0﹣1），
所以＝2（y0﹣1），解得y0＝，
所以k＝2（y0﹣1）＝±﹣1，
联立，得（2﹣k2）x2﹣2kx﹣3＝0，
因为直线l与双曲线有两个交点，所以Δ＝4k2+12（2﹣k2）＞0，即﹣＜k＜，
所以k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
52．（2023•嘉定区模拟）定义两个点集S、T之间的距离集为d（S，T）＝{|PQ||P∈S，Q∈T}，其中|PQ|表示两点P、Q之间的距离，已知k、t∈R，S＝{（x，y）|y＝kx+t，x∈R}，，若d（S，T）＝（1，+∞），则t的值为 ．
【解答】解：∵，可化为：y2﹣4x2＝1，y≥0，
∴集合T表示双曲线y2﹣4x2＝1上支的点，
集合S表示直线y＝kx+t上的点，d（S，T）＝（1，+∞），
∴直线与渐近线平行，在渐近线下方，即t＜0，且与渐近线的距离为1．
又双曲线的渐近线为y＝±2x，取2x+y＝0，
则y＝﹣2x+t，即2x+y﹣t＝0，
∴平行线的距离，
∴或（舍去），
故答案为：．
53．（2023•思明区校级模拟）设F为双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A，B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有B，P，Q三点共线，则的最大值为 ．
【解答】解：由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），设直线AP的斜率为k，直线AP的方程为y＝k（x+a），
与双曲线方程b2x2﹣a2y2＝a2b，联立，可得（b2﹣a2k2）x2﹣2k2a3x﹣a4k2﹣a2b2＝0，
则﹣a•xP＝，解得xP＝，yP＝k（xP+a）＝，
设过F（，0）与直线AP垂直的直线为l1，方程为y＝﹣（x﹣），
由题意可得Q为直线l1与直线BP的交点，
直线BP的方程为y＝（x﹣a）＝（x﹣a），与直线l1联立，可得t＝，
＝＝，
令q＝（q＞1），则＝＝﹣++1＝﹣（﹣）2+，
当q＝2，即＝时，取得最大值．
故答案为：．
54．（多选）（2023•广州二模）已知双曲线Γ：x2﹣y2＝a2（a＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与双曲线Γ的右支交于点B，C，与双曲线Γ的渐近线交于点A，D（A，B在第一象限，C，D在第四象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若BC⊥x轴，则△BCF1的周长为6a
B．若直线OB交双曲线Γ的左支于点E，则BC∥EF1
C．△AOD面积的最小值为4a2
D．|AB|+|BF1|的取值范围为（3a，+∞）
【解答】解：因为双曲线Γ的标准方程为x2﹣y2＝a2（a＞0），则c＝a，
易知点F1（﹣a，0）、F2（a，0），双曲线Γ的渐近线方程为y＝±x，
对于A选项，当BC⊥x轴，直线BC的方程为x＝a，
联立，可得，此时，|BC|＝2a，
则|BF1|+|CF1|＝（|BF2|+2a）+（|CF2|+2a）＝|BC|+4a＝6a，
此时，△BCF1的周长为|BC|+|BF1|+|CF1|＝8a，故A错误；
对于B选项，因为双曲线Γ关于原点对称，则点B关于原点O的对称点也在双曲线Γ上，
因为若直线OB交双曲线Γ的左支于点E，则点B、E关于原点对称，
即BE、F1F2的中点均为原点，故四边形BF1EF2为平行四边形，
所以BF2∥EF1，即BC∥EF1，故B对；
对于C选项，易知OA的方程为y＝x，OD的方程为y＝﹣x，所以OA⊥OD，
因为直线l与双曲线Γ的右支交于点B、C，则直线l不与x轴重合，
设直线l的方程为x＝my+a，设点B（x1，y1）、C（x2，y2），
联立，可得（m2﹣1）y2+2may+a2＝0，
则，解得m≠±1，
由韦达定理可得y1+y2＝﹣，y1y2＝＜0，可得﹣1＜m＜1，
联立，可得x＝y＝，即点A（，），
联立，可得x＝，y＝﹣，即点D（，﹣），
所以|OA|＝•|xA|＝，|OD|＝•|xD|＝，
所以S△AOD＝•|OA|•|OD|＝＝≥2a2，当且仅当m＝0时，等号成立，故C错；
对于D选项，|AB|+|BF1|＝|AB|+|BF2|+2a＝|AF2|+2a＝•+2a＝a•+2a＝•+2a＝a•+2a，
当m＝0时，|AB|+|BF1|＝2a+a，
当0＜m＜1时，|AB|+|BF1|＝a•+2a＝a•+2a，
因为函数y＝m+﹣2在（0，1）上单调递减，
此时|AB|+|BF1|＝a•+2a∈（2a+a，+∞），
当﹣1＜m＜0时，因为函数y＝m+﹣2在（﹣1，0）上单调递减，
此时|AB|+|BF1|＝a•+2a∈（3a，2a+a），
综上所述，|AB|+|BF1|的取值范围是（3a，+∞），故D对．
故选：BD．
55．（2023•海珠区校级三模）在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足＝λ，当λ＞0且λ≠1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线＝1（a＞0，b＞0），F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，A，B为双曲线虚轴的上、下端点，动点P满足＝2，△PAB面积的最大值为4．点S，T在双曲线上，且关于原点O对称，Q是双曲线上一点，直线QS和QT的斜率满足kQS•kQT＝3，则双曲线方程是 ；过F2的直线与双曲线右支交于C，D两点（其中C点在第一象限），设点M、N分别为△CF1F2、△DF1F2的内心，则|MN|的范围是 ．
【解答】解：设A（0，b），B（0，﹣b），P（x，y），
由题意知＝2，即|PB|＝2|PA|，即＝2，
整理得x2+（y﹣）2＝（）2，则圆心为（0，），半径为r＝，
∴△PAB的最大面积为×2b×＝4，解得b2＝3，即+＝1，
设Q（x，y），S（x1，y1），则T（﹣x1，﹣y1），
则﹣＝1，可得＝，同理y2＝，
则kQS＝，kQT＝，
则kQS•kQT＝＝＝，∴a2＝1，
∴双曲线方程为x2﹣＝1，
设边CF1，CF2，F1F2上的切点分别为R，S，T，
则M，T横坐标相等，则|CR|＝|CS|，|F1M|＝|F1T|，|F2S|＝|F2T|，
由|CF1|﹣|AF2|＝2，即|CR|+|RF1|﹣（|CS|+|SF2|）＝2，即|RF1|﹣|SF2|＝2，
即|F1T|﹣|F2T|＝2，即点M的横坐标为x0，则T（x0，0），
于是x0+c﹣（c﹣x0）＝2，可得x0＝1，
同样内心N的横坐标也为1，则MN⊥x轴，
设直线CD的倾斜角为θ，则∠OF2N＝，∠MF2O＝90°﹣，
在△MF2N中，|MN|＝（c﹣a）[tan+tan（90°﹣）]
＝（c﹣a）（+）＝（c﹣a）•＝（c﹣a）•，
由双曲线的方程可得a＝1，b＝，则c＝＝2，
可得|MN|＝，
又由直线CD为双曲线右支上的点，且渐近线的斜率为＝，倾斜角为60°，
可得60°＜θ≤90°，即＜sinθ≤1，
可得|MN|的取值范围为[2，）．
故答案为：x2﹣＝1；[2，）．
56．（2023•贵州模拟）已知双曲线E的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F1的直线l1与E的左支相交于A，B两点，过F2的直线l2与E的右支相交于C，D两点，若四边形ABCD为平行四边形，以AD为直径的圆过F1，|DF1|＝|AF1|，则E的方程为（ ）
A．2x2﹣2y2＝1B．
C．D．
【解答】解：设|DF1|＝|AF1|＝x，则|DF2|＝x﹣2a，
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：|CF2|＝|AF1|＝x，
连接CF1，则有|CF1|＝x+2a，|DC|＝|DF2|+|CF2|＝2x﹣2a，
∵F1在以AD为直径的圆周上，
∴DF1⊥AF1，
∵ABCD为平行四边形，AB∥CD，
∴DF1⊥DC，
在直角三角形CDF1中，，
即（x+2a）2＝x2+（2x﹣2a）2，解得x＝3a，
∴|DF1|＝3a，|DF2|＝a，
在直角三角形F1F2D中，，
即（3a）2+a2＝（2c）2，得5a2＝2c2，
又∵c＝1，
∴，，
故双曲线的方程为．
故选：D．
57．（2023•江西模拟）已知F双曲线的右焦点，A1，A2分别是双曲线C的左右顶点，过F作双曲线渐近线的垂线与该渐近线在第一象限的交点为M，直线A1M交C的右支于点P，若|MP|＝|MA2|，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【解答】解：双曲线C： 的右焦点F（c，0），渐近线，即bx﹣ay＝0，
显然A1（﹣a，0），A2（a，0），由FM⊥OM，得，，
则点，直线A1M 的方程为 ，即，
直线A2M 的斜率k＝＝，
因此直线 A2P 的斜率＝，于是直线A2P 的方程为 ，
设点P（x0，y0），则，由，得，从而 ，解得，
即有，则，
此时M（，a），，
由解得：，y0＝a，
即，＝，满足|MP|＝|MA2|，
所以C的离心率为．
故选：A．
58．（2023•福建模拟）双曲线的下焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，若过A，B和点的圆的圆心在x轴上，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．±1D．
【解答】解：由题意可知：F（0，﹣2），设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为P，
过点A，B，M的圆的圆心坐标为G（t，0），
则，
由题意知：直线AB的斜率存在且不为0，
设直线AB的方程为：y＝kx﹣2，
联立方程组，化简整理可得，（k2﹣3）x2﹣4kx+1＝0，
则k2﹣3≠0，Δ＝16k2﹣4（k2﹣3）＝12k2+12＞0，
，，
故AB的中点P的坐标，则，
由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，
所以，化简整理可得：①，
则圆心G（t，0）到直线AB的距离，
，，即
，
将①代入可得：，即
，
整理可得：k4﹣5k2+6＝0，则（k2﹣2）（k2﹣3）＝0，
因为k2﹣3≠0，
所以k2﹣2＝0，解得．
故选：B．
59．（多选）（2023•合肥模拟）如图，O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过双曲线C右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点D，则下列结论正确的是（ ）
A．|AB|min＝2b
B．S△AOB＝2S△AOP
C．S△AOB＝2b
D．若存在点P，使得，且，则双曲线C的离心率为2或
【解答】解：对于选项A，先求双曲线上一点P（x0，y0）的切线方程，
不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）．
由得：，所以，
则在点P（x0，y0）的切线斜率为，
所以在点P（x0，y0）的切线方程为：，
又因为，所以在点P（x0，y0）的切线方程为：，
当P为右顶点（1，0）时，切线方程为x＝1，易得也满足，
不失一般性，设点P（x0，y0）是双曲线在第一象限的一点或双曲线的右顶点，A（x1，y1）是切线与渐近线在第一象限的交点，B（x2，y2）是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程为y＝±bx，
联立，
所以点，同理可得：，
则，
又因为x0≥1，所以，即：|AB|min＝2b，故A项正确；
对于选项B，由A项知，，
所以点P（x0，y0）是线段AB的中点，所以S△AOP＝S△BOP，S△AOB＝2S△AOP，故B项正确；
对于选项C，因为在点P（x0，y0）的切线方程为：，
令y＝0得，所以点，
则，
当点P（x0，y0）在顶点（1，0）时，仍然满足S△AOB＝b，故C项错误；
对于选项D，因为，所以，
又因为，所以，解得：，
即：，代入得，
所以
＝，
＝，
因为，所以，
所以，
解得：c2＝4或6，所以离心率为或，故D项错误．
故选：AB．
60．（多选）（2023•南通模拟）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，是C上一点，若C的离心率为，连结AF2交C于点B，则（ ）
A．C的方程为
B．∠F1AF2＝90°
C．△F1AF2的周长为
D．△ABF1的内切圆半径为
【解答】解：，是C上一点，C的离心率为，
则，解得，
∴双曲线，故A正确；
∵F1（﹣2，0），F2（2，0），，
∴，，，
∴F1A⊥F2A，故B正确；
，，|F1F2|＝2c＝4，周长＝，故C错误；
令|BF2|＝m，
则，，
在Rt△ABF1中，，
∴，
设△ABF1的周长为l，内切圆半径为r，
则l＝|AF1|+|AB|+|BF1|，
，
∴，故D正确；
故选：ABD．
双曲线常用结论：
(1)如图：①动点P到同侧焦点F2的距离最小值为：|PF2|最小＝|A2F2|＝c－a；
②焦点到渐近线的距离为：|F2M|＝b；
(2)渐近线求法结论：可直接令方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)等号右边的常数为0，化简解得；
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a>0，b>0)
性质
图形
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或 x≥a，y∈eq \a\vs4\al(R)
y≤－a或 y≥a，x∈eq \a\vs4\al(R)
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：eq \a\vs4\al(2a)；
虚轴：线段B1B2，长：eq \a\vs4\al(2b)；
半实轴长：eq \a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq \a\vs4\al(b)
离心率
e＝eq \a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x