备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）05（Word版附解析）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13．74 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（13分）
【解】（1）当时，，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，，
又，，.
（2）由题意知：，
设直线与相切于点，
则，消去得：，解得：，
则，解得：.
16．（本小题满分15分）
【解】（1）连接，
因为依次是底面上的两个三等分点，
所以四边形是菱形，设，则为中点，且，
又因为，故是等边三角形，
连接，则，
又因为面，，所以面，
因为面，所以，
因为依次是底面上的两个三等分点，所以，所以，
又因为AB是半球O的直径， P是半球面上一点，所以，
因为面，，所以面，
又因为面，所以
（2）因为点在底面圆上的射影为中点，
所以面，
因为面，所以，
又因为，
所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
所以，
设平面的法向量，
则，令，则，
设直线与平面所成角为，
则
所以直线与平面所成角的正弦值为
17．（本小题满分15分）
【解】（1）依题意，列联表如下：
零假设：该中学学生喜欢足球与性别无关，
的观测值为，
，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.
（2）依题意，的所有可能取值为，
，
所以的分布列为：
数学期.
18．（本小题满分17分）
【解】（1）不妨设，，由得，
所以点P处的切线方程为．
令，得，所以．
所以点Q为线段PR的中点．所以．
（2）设，由法线定义得，所以，
又，
即．
因为，，
所以，．
因为，，
所以．
设，，
则．
令，得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以当时，．
故面积的最小值为．
（本小题满分17分）
【解】（1）是数表，
（2）由题可知.
当时，有，
所以.
当时，有，
所以.
所以
所以
或者，
或者，
或，或，
故各数之和，
当时，
各数之和取得最小值.
（3）由于数表中共个数字，
必然存在，使得数表中的个数满足
设第行中的个数为
当时，将横向相邻两个用从左向右的有向线段连接，
则该行有条有向线段，
所以横向有向线段的起点总数
设第列中的个数为.
当时，将纵向相邻两个用从上到下的有向线段连接，
则该列有条有向线段，
所以纵向有向线段的起点总数
所以,
因为,所以.
所以必存在某个既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，
即存在
使得，
所以，
则命题得证.1
2
3
4
5
6
7
8
B
B
A
B
B
B
D
D
9
10
11
AC
ACD
ACD
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
30
20
50
女生
15
35
50
合计
45
55
100
0
1
2
3